SKKN sử dụng hiệu quả máy tính casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Lời giới thiệu Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm trước đây hoặc các đề thihọc sinh giỏi, các bài về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số là các bài v

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I Lời giới thiệu

Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm trước đây hoặc các đề thihọc sinh giỏi, các bài về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

là các bài vẫn thường xuất hiện, tuy nhiên nó lại là một câu khó để lấy điểm cao.Một trong những phương pháp phổ biến khi giải phương trình, bất phương trình

và hệ phương trình đại số là phương pháp phân tích thành nhân tử Mặc dù khi họccác thầy, cô đã dành khá nhiều thời lượng để giảng dạy và luyện tập cho học sinhcác kỹ thuật tách, nhóm để phân tích thành phương trình, bất phương trình tích cònhọc sinh nghe thì hiểu cách làm nhưng vẫn thắc mắc: "Tại sao lại làm như vậy?".Sách, tài liệu tham khảo và thầy cô chỉ nêu cho học sinh phương pháp và một sốkinh nghiệm khi lựa chọn phương pháp vào một số bài cụ thể nên học xong, đọcxong học sinh vẫn cảm thấy rất mơ hồ Chính vì vậy khi đứng trước một bài toánmới học sinh cảm thấy rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và không biết phảilựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, bài nào có thể áp dụng phương pháp phântích thành nhân tử và nhóm, tách ra sao để biến đổi phương trình, bất phương trìnhthành phương trình và bất phương trình tích Đối với học sinh khá - giỏi cũng phảithử hết cách này sang cách khác rất mất thời gian, đối với học sinh trung bình vàyếu thậm chí còn không tìm được lời giải

Sau một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi: "Giải toán trên máy tính cầm tay",tham khảo các tài liệu qua mạng internet và đặc biệt là bài viết của đồng nghiệp,của học sinh được chia sẻ trên facebook tôi thấy được máy tính cầm tay chính làmột "vũ khí" đắc lực trong việc giải phương trình, bất phương trình và đặc biệt là

hệ phương trình đại số

Tuy rằng, máy tính không phải là một phương pháp để giải phương trình, bất

hướng tìm cách giải nhanh và rõ ràng, đặc biệt nó có ưu thế rất mạnh trong việcphân tích một phương trình thành phương trình tích Tính năng SOLVE trên máytính cầm tay rất hay, nếu học sinh biết khai thác để phục vụ cho học tập thì rất thúvị.

Chính vì tính ưu việt của máy tính cầm tay và với mong muốn cung cấp chohọc sinh một số bí quyết trong việc sử dụng nó để nhanh chóng định hướng đượcphương pháp giải trong khi chưa có sách tham khảo hay tài liệu nào được côngkhai chia sẻ cho học sinh biết được bí quyết đó nên tôi đã đúc rút, tổng hợp nhữngkinh nghiệm của bản thân, những tài liệu của đồng nghiệp và học sinh mà tôi đãđược đọc để viết sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khigiải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số"

Thực ra, sáng kiến kinh nghiệm này đã được tôi báo cáo và sử dụng từ năm

2015 nhưng qua các năm giảng dạy tôi đã rút ra được nhiều kinh nghiệm khi ápdụng sáng kiến nên tôi quyết định bổ sung và phát triển để sáng kiến được thể hiệnlogic và đầy đủ hơn

Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn cònnhiều tồn tại Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệmcủa tôi được hoàn thiện hơn và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáoviên và học sinh

II Tên sáng kiến: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

III Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên:Vũ Thị Thanh Nga

Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân Vĩnh Tường Vĩnh Phúc

Số điện thoại: 0982843827

E_mail: vuthithanhnga.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.n

IV Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga

V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10

VI Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm 2015

VII Mô tả bản chất của sáng kiến:

 Một số lưu ý trước khi đọc bài viết

Trong toàn bộ bài viết này đều hướng dẫn sử dụng trên máy tính Casio fx 570ES, các máy tính có cùng chức năng thao tác tương tự.

Việc giới thiệu quy trình nhìn thì dài nhưng khi thực hiện rất nhanh, không mất nhiều thời gian.

1.1 Giải phương trình bậc 4

- Như ta đã biết máy tính giải được phương trình bậc 3 bất kì nhưng bậc 4 ta thìkhông Nếu phương trình bậc 4 có nghiệm nguyên hoặc hữu tỷ thì ta cũng dễ dànggiải được bằng cách dùng lược đồ Hoone để phân tích thành phương trình tích bậc

1 và bậc 3 Trong trường hợp phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ thì ta sẽ phải làmthế nào? Máy tính cầm tay sẽ hỗ trợ tích cực trong việc đó

1 Sử dụng máy tính Casio khi giải phương trình và bất phương

trình đại số

1 Sử dụng máy tính Casio khi giải phương trình và bất phương

trình đại số

 2  2 (1.1)� x Sx P d'x e x'  f ' 0. (Dạng quen thuộc đã biết cáchgiải).

 Tìm biểu thức d'x2 e x'  bằng cách chia đa thức f ' ax4 bx2  cx d

Alpha X x  Alpha X x  Alpha X x  Alpha X  

( Dấu "=" để lưu phương trình)

- Bấm shift solve Máy hỏi: Solve for X ( Nhập giá trị ban đầu)

- Bấm  9 Máy sẽ sử lí mất vài giây và cho kết quả 1.618

0

X R

 

- Lưu nghiệm này vào biến A RCL X Shift STO A Nhấn nút đẩy lên hai lần để

tìm phương trình đã lưu Sau đó bấm: shift solve Máy hỏi Solve for X , ta bấm

tiếp 0 máy báo 0.236

0

X R

- Lưu nghiệm vào biến B RCL X Shift STO B Nhấn nút đẩy lên để tìm phương

trình đã lưu Sau đó bấm: shift solve Máy hỏi Solve for X , ta bấm tiếp 9 máy

Lưu nghiệm vào biến C RCL X Shift STO C .

- Bấm: Alpha A Alpha B  , máy hiện kết quả 1.854 (lẻ nên bỏ qua).

- Bấm: Alpha A AlphaC  , máy hiện kết quả 2.618 (lẻ nên bỏ qua).

- Bấm: Alpha B AlphaC  , máy hiện kết quả 4 ( Tốt rồi, tiếp tục!)

Alpha B AlphaC�  máy hiện kết quả 1 Vậy là xong rồi Ta có lời giải như sau:

1.2 Giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Ví dụ 1: Giải phương trình

2

3 5x 4 3 x 4 4x 18x 12 0 (1.2)

Phân tích: Quan sát phương trình (1.2) rất khó để sử lí, không thể đặt ẩn phụ chỉ

có thể phân tích thành nhân tử Vậy phân tích như thế nào? Ta sẽ dùng máy tính để

3 5Alpha X  4 3 Alpha X  4 4Alpha X x 18Alpha X   12

- Bấm shift solve0 Máy cho ta nghiệm X 0 .

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách: sửa phương trình thành

2(3 5Alpha X  4 3 Alpha X  4 4Alpha X x 18Alpha X 12)�Alpha X

- Bấm shift solve máy báo X 3.797

- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

- Vậy ta chỉ có 2 nghiệm thôi, làm thế nào tìm được nghiệm lẻ nữa để kết hợp với

A để áp dụng định lí Talet đảo tìm được phương trình nhận chúng là nghiệm

* Cách 1: Mò phương trình bậc hai tạo ra nghiệm lẻ còn lại.

- Nghiệm đó là nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 bx c  0

- Thông thường là a = 1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b

- Ta đã lưu nghiệm lẻ tìm được vào A, bây giờ ta lưu lại vào X bằng cách

alpha X x alpha B alpha X alpha alpha Balpha alpha B�  

- Bấm CALL, máy hiện B? ta bấm tiếp  9

- Bấm tiếp dấu " =" cho đến khi X2 BX là số nguyên thì dừng

- Ở bài này ta dừng ở B = -3 khi X2 BX  Vậy: 3 x2 3x là nhân tử cần tìm.3

 Ta cũng có thể dùng tính năng table cho nhanh như sau:

- Bấm Mode 7.

- Máy hiện f(x) =, ta nhập: A2  XA ( X chạy và A là nghiệm), rồi bấm "=".3

- Máy hiện Start?, ta bấm -9= ( bắt đầu)

- Máy hiện End?, ta bấm 9= ( kết thúc)

- Máy hiện Step?, ta bấm 1= ( bước nhảy là 1)

Nhìn vào bảng ta thấy luôn X = -3 thì f(x) = 3 vậy: f x( )A2 3A , suy ra3

� ta phải đi tìm a, b, a', b'.

- Lưu nghiệm A = 3,79 sang nghiệm X = 3,79

- Thử xem 5x4-ax khi nào nguyên thì dừng Ở đây ta tìm được giá trị nguyên của biểu thức là 1 tại a = 1, tức a = 1 và b = 1

- Tương tự, thử xem x4-a'x khi nào nguyên thì dừng Ở đây ta tìm được giá trịnguyên của biểu thức là -1 tại a = 1, tức a = 1 và b = -1

- Thử lại ta có kết luận: Phương trình có hai nghiệm 0, 3 21

shift solve máy báo X 3.302

- Tiếp tục tìm thêm nghiệm: shift solve9 máy vẫn báo kết quả X 3.302

Điều đó cho thấy phương trình chỉ có hai nghiệm và có lẽ nghiệm X 3.302 là một trong hai nghiệm của phương trình bậc hai, còn một nghiệm bị loại Ta sẽ đi tìm phương trình bậc hai nhận X 3.302 là nghiệm.

- Ta sẽ biến đổi phương trình thành phương trình hệ quả để tìm thêm được nghiệm ngoại lai

- Nhập phương trình (1.5) vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình

- Bấm shift solve2 Máy cho ta nghiệm X  0.302 .

- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:

Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm

3

shift solve máy báo X 3.302

- Bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào B)

- Vậy là đã tìm được hai nghiệm lẻ, ta tính tổng và tích của chúng xem có ra số nguyên hay không bằng cách

- Bấm: Alpha A Alpha B  , máy hiện kết quả 3 (Đẹp quá rồi!).

- Bấm tiếp: Alpha A Alpha B�  , máy hiện kết quả 1

- Vậy (1.5) sẽ có nhân tử:  x2  x2 3x1

Bài giải

x x

Nên hàm số f'(x) đồng biến trên � Vì vậy:

31 f '( 2) f x'( ) f '( 1) 6 f x'( ) 0, x 2; 1

   � �    �   �  , vậy hàm số f(x) nghịch biến trên đoạn   , mà 92; 1  f( 1)�f x( )�f( 2) 25  nên (1.6) vô nghiệm

Vậy, trên   phương trình (1.5) vô nghiệm.2; 1

- Thử lại ta thấy phương trình (1.3) có hai nghiệm

2

3 132

x x

x x

x x

- Ép nhân tử chung x2 6x là xong.3

3 33 x2  x2   8 2 x2 15.

4 2x33x2 6x16  4 x 2 3

5  x1 x2 2x 5 4x x2 1 2�  x1

2.1.Dạng 1: Các mối quan hệ được rút ra từ một phương trình

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

- Vậy, ý tưởng chung là: từ phương trình số (2.2) biến đổi đưa về mối quan hệ của

x, y rồi thế vào phương trình (2.1)

2 Sử dụng máy tính Casio khi giải hệ phương trình

- Tuy nhiên, biến đổi phương trình (2.2) như thế nào? Đa số học sinh thường bằng giác quan: nhóm nhóm, tách tách tìm đủ mọi cách để phân tích thành nhân tử rồiđến một lúc nó sẽ ra.

- Để không phải loay hoay, mất thời gian tôi sẽ đưa ra phương pháp để lấy căn cứ biến đổi như sau:

*Sử dụng tính năng của Solve:

+ Nhập nguyên phương trình (2): X2 XY 2Y2   X 2Y bằng cách nhập trên máy tính:

 Dấu "=" trong (2.3) là dấu "=" màu đỏ Alpha trên bàn phím.

+ Sau đó bấm phím: Shift Slove .

+ Máy hiện Y? : Máy hỏi giá trị ban đầu của Y là mấy để tìm X

+ Khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0

+ Máy tính hỏi: Slove for X thì bấm 

+ Máy sẽ sử lí mất vài giây và màn hình cho kết quả: 0

0

X R



Giải thích:

 Khi Y = 0 thì X = 0( có thể ra nghiệm X = -1, không ảnh hưởng đến thuật toán).

 Sai số của nghiệm là: 0

+ Tiếp theo ấn mũi tên sang trái để quay trở lại phương trình và khởi tạo lại cho Y

= 1 thì được X = 2 cứ như vậy tới y = 5 thì được x = -6 và ta bẳng giá trị sau:

+ Việc tiếp theo đã rõ: Biến đổi (2) để xuất hiện nhân tử: "x y 1"

Vậy là nghiệm vừa rồi bị nhiễu tại Y = 0 và Y = 1 là do: "x2 "y .

+ Việc còn lại là thế vào phương trình (1):

 Khi x   : (y 1)

 Khi x2y: 4y2 2y2  y2 7� y �1

Cách 2: Cách này tuy phức tạp hơn nhưng kiểm soát được toàn bộ nghiệm.

*Với Y  ta được một nghiệm 0 X  0

*Để xem phương trình còn nghiệm khác hay không, chúng ta sẽ làm như sau:+ Ấn mũi tên sang ngang để sửa phương trình thành:

 X2  XY 2Y2  X 2Y: X 0

+ Phương trình này để bỏ nghiệm vừa tìm và tìm thêm nghiệm mới

+ Sau đó bấm lại như từ đầu và tìm được nghiệm ta tìm được X   1

+ Sau đó lại bấm lại quy trình tìm nghiệm thì máy báo "Can't solve" tức là vô

nghiệm hay phương trình ban đầu đã hết nghiệm Vậy Y 0;X 0;X   được10

 Cách này đầy đủ nhưng sẽ mất thời gian chỉnh sửa phương trình nên

trong bài viết này đa phần tác giả sẽ giải theo cách 1.

Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngoài một nghiệm đã tìm được

- Ví dụ khi Y  lúc đó máy hỏi: "solve for X" thì ta ấn "0 "0  máy sẽ tìm được nghiệm X  , ấn tiếp " 9 "0   thì được nghiệm X   , ấn tiếp "9 "1  thì được nghiệm X  Điều đó cho biết máy đã tìm được hai nghiệm 0 X  và 0 X   khi10

sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X)

- Bây giờ là việc thêm, bớt để ép phương trình (2) xuất hiện nhân tử : X Y 1

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau

điều kiện của (2.3) là x y� bởi vậy lúc khởi tạo giá trị ban đầu "solve for X" ta

phải nhập giá trị lớn hơn Y, chẳng hạn "9 =" Tại sao lại như vậy? Vì nếu ta cho3

Y  mà giá trị ban đầu X  thì máy sẽ có hai kiểu dò nghiệm:2

+ Kiểu 1 là: 2�2,1�2,2�2,3�

+ Kiểu 2 là: �1,7�1,8�1,9�2

Nhưng dù có đi theo con đường nào thì x y cũng không xác định ngay, do đó

máy dừng dò nghiệm và báo "Can't solve" Do đó phải khởi tạo giá trị ban đầu

+ Với 1 y 0� y 1: Thế vào (2.4) ta được x = 3.

+ Với x y  1 0� x y 1: Thế vào (2.4) ta được:

 Ta sẽ sử dụng máy tính để dò nghiệm nào!

 Nhập phương trình: 2alpha X x2 3alpha X 2alpha  1alpha X

( Dấu "=" trong khi nhập phương trình là dấu "=" màu đỏ, biến trong phương trình

là "X" chứ không phải "Y" vì máy tính đã mặc định như vậy rồi)

 Sau đó bấm: shift solve0,5 ( Lưu ý: do x� 0;1 nên chọn giá trị khởi đầu phải thỏa mãn điều kiện) Thật không may mắn vì máy tính cho nghiệm rất

lẻ Không sao, ta hi vọng nó là công thức nghiệm của phương trình bậc hai

 Ta sẽ tư duy như thế này nhé: phương trình (5) nếu bình phương hai vế sẽ được phương trình bậc bốn nên có thể sẽ phân tích được thành:

 x2 Sx P x  2S x P'  ' 0 Do đó nếu ta tìm được một nhân tử là xong

Ta sẽ làm xuất hiện nhân tử bằng cách sau:

2alpha X x 3alpha X 2  1 alpha X 

- Sau đó bấm: shift solve0

Máy báo: X 0,3288

- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

- Tìm tiếp nghiệm thứ 2: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

2alpha X x 3alpha X 2  1 alpha X �alpha X alpha A

Sau đó bấm: shift solve Máy hỏi A? 0,3228 , ta bấm tiếp  thì máy hiện

Slove for X ta bấm tiếp 0 máy báo X 0,6180 ta ấn phím sang trái rồi ấn

 để lưu lại phương trình và bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm

được vào B)

- Tìm tiếp nghiệm thứ 3: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

2 2

2alpha X x 3alpha X 2 1 alpha X

alpha X alpha A alpha X alpha B

nghiệm X vừa tìm được vào C)

- Tương tự ta tìm tiếp nghiệm thứ 4: Nhấn nút đẩy lên để tìm phương trình đã lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

2 2

2alpha X x 3alpha X 2alpha X 1 alpha X

alpha X alpha A alpha X alpha B alpha X alphaC

- Ta tính tổng và tích các nghiệm để tìm được phương trình bậc hai với hệ số

nguyên Sau khi thử ta thấy: BC  và 1 B C   , vậy theo định lí Viet ta có B,1

C là nghiệm của phương trình x2    x 1 0

- Vậy ta đưa phương trình (5) về dạng tích có chứa nhân tử x2   , thế là xong.x 1

Bài giải:

+ Với 1 y 0� y 1: Thế vào (2.4) ta được x = 3.

+ Với x y  1 0� y x 1: Thế vào (2.4) ta được:

5 12

1 0

2

5 1( )2

 Phân tích: Ở phương trình (6) mà dùng phương pháp hàm số khó: do

có tích x và y, mà chia thì vướng số 12 ở vế phải, trong khi đó dùng bất đẳng thức Cosi thì xuất hiện ngay y x 2  Ta sẽ dùng 12

máy tính kiểm tra luôn nhé!

Ở đây ta sẽ dùng tính năng của CALL

- Thế: y  vào phương trình (2.7) ta được: 12 x2 x38x 1 2 10x2

- Nhập phương trình và tìm được nghiệm x = 3, vậy ta sẽ biến đổi để làm xuất hiệnnhân tử: x - 3 là xong

Bài giải

- Điều kiện: 22 12

12

y x