SKKN phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Việc học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho họcsinh vì học sinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụnglinh hoạt công thức lượng giác củ

Sở Giáo dục và đào tạo vĩnh phúc

TRƯỜNG thpt NGễ GIA TỰ

Tờn tỏc giả sỏng kiến : Nguyễn Thanh Nhàn

Mó SKKN: 15.52

Lập Thạch, Năm 2020

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác” Việc

học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho họcsinh vì học sinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụnglinh hoạt công thức lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhậndạng các phương trình lượng giác của học sinh còn hạn chế đó là một trong

những lí do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm này

2 Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường

gặp

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0948028536

- E_mail: nguyenthanhnhan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

- Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sáchgiáo khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao).

- Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình toán 11

- `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi

a Kết quả khảo sát đầu năm học

Lớp sốSĩ SLGiỏi% SLKhá% Trung BìnhSL % SLYếu% SLKém%

b Nguyên nhân

* Nguyên nhân khách quan

- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều

- Phân phối chương trình Toán 11 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học Toángiảm nhiều so với chương trình cũ

* Nguyên nhân chủ quan

- Đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn

- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trongviệc học toán nói riêng và học tập nói chung

- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thứcmột cách linh hoạt vào việc giải toán, kĩ năng tính toán, kĩ năng giải phương trìnhlượng giác còn yếu

c Các giải pháp thực hiện

Để đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chủ đề “Lượng giác”đòi hỏihọc sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên

liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vậndụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuậnlợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình mônToán trung học phổ thông Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp

giảng dạy Toán ở trường THPT với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm”

kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học trong chuyên đề này tôi đưa ra giải

pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức lượng giác liên quan, công thức

nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc

học, rèn luyện và ôn tập

Phần II NỘI DUNG

A CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN:

 Công thức cộng:

 cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb  cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb

 sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb  sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb



tan tantan( )

1 tan tan

a b

 Công thức nhân đôi:

 cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  1 = 1  2sin2a

 sin2a = 2sinacosa  tan 2 2 tan2

1 tan

a a

 Công thức biến đổi tích thành tổng:

 cosa.cosb 1 cos a b  cos a b 

 cosa cos b 2cos cos

 Một số cung liên quan đặc biệt

B MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương

trình có dạng at b  0 (1) trong đó a,b là các hằng số a 0và t là một trong các

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:2cosx sin 2x 0 (Phương trình đưa về phương

trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)

Giải cosx sin 2x  0 cosx 2sin cosx x  0 cos 1 2sinx  x  0

2 cos 0

cos 0

, 1

6

x k x

1.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương

trình có dạng at2 bt c  0(2), trong đó a, b, c là các hằng số a 0 và t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ

bản

Ví dụ 3:

a) 2sin 2x sinx 3 0  là phương trình bậc hai đối với sin x

b) cos x2  3cosx 1 0  là phương trình bậc hai đối với cos2x

c) 2 tan 2 x tanx 3 0  là phương trình bậc hai đối với tan x

d) 3cot 3 2 x 2 3 cot 3x  3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x

b cos x cosx 

Đặt t c x os , điều kiện t 1 Phương trình (2) trở thành:

 

 2

3 13

â 2

3 1 0

3 13 2

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

3cos 2 7 0

x x

3 nên phương trình 3cos 2x  7 0  vô nghiệm

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là , 

Bài tập 1 Giải các phương trình sau:

a) 2cosx  3 0  b) 3 tan 3x  3 0 c) 2sin 3 3 0

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x 3cosx  1 0 b) cos2 x sinx  1 0 c) 2 cos2x 4 cosx 1

d) 2sin 2x 5sin – 3 0x  e) 3 tan 2 x (1  3) tan =0x g)sin 2 2cos 1

Câu 1 Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3cosx10 B 3sin x 40 C 3tanx10 D

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình

có dạng asinx b cosx c trong đó a b c  , , và a2 b2  0

C¸ch gi¶i:

Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:

C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được:

Chỳ ý: Phương trỡnh asinx b cosx c trong đú a b c  , , và a2 b2  0 cú nghiệm khi c2 a2 b2.

ph-ơng pháp đánh giá cho một số phph-ơng trình lợng giác

Ví dụ: Giải phơng trình: sin 2x 3cos 2x3 (1)

(sin 3cos )cos 0

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sinx cosx 1; b) 3cos 2x 4sin 2x 1;

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 2sinx 2 cosx 2 b) 3sinx 4cosx 5c) 3sinx 1 4 cos x 1  5

d) 3cosx 4sinx 5 e) 2sin 2x 2cos 2x 2 g)

Chú ý: Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên

dập khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài

Câu 2: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A 3 sin 2x cos 2x 2 B 3sinx 4cosx 5

C sin cos

4

Câu 3: Phương trình: 3.sin 3x cos3x   1 tương đương với phương trình nào sau đây:

DẠNG 3 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx

a(sinx cos ) bsinx.cosx  x  c

Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình

có dạng a(sinx cos ) bsinx.cosx  x  c

Cách giải

1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)

Dạng phương trình :

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R)(1)

Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2

4 sin

Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2

4 sin

2 4

1 sin

cosx sinx sinx.cosx

sinx+cosx t 2

t 1 sinxcosx=

Thỏa mãn điều kiện

d 3 cot x c osx 5 t anx-sinx   2 Điều kiện : sinx 0  *

Khi đó : 3 cos sin x sinx- osx 2 2sin 1 1

sinx+cosx t 2

t 1 sinxcosx=

) 3 sin cos 2sin 2 3 0

a x x  x  b) sinx cosx 4sin cosx x  1 0

3 cotx c osx  5 t anx-sinx  2

DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx

asin 2x b sin cosx ccosx  2x d

Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x là

phương trình cĩ dạng a.sin 2x b sin cosx x c c os 2x d a b c  , ,  0

 Cách giải 2 (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)

 Kiểm tra cosx 0cĩ là nghiệm khơng, nếu cĩ thì nhận nghiệm này  cosx 0chia cả hai vế cho cos x2 đưa về phương trình bậc hai theo tan x:   2

a d x b x c d  

Ví dụ: Giải phương trình

b 4sin2x – 3sinxcosx +  3 4  cos2x = 4 (2)

c 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3)

GI

Ả I a.(1) cos 2 sin 2  3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 1

1 2 sin 2

3 2 cos 2

tan tan

3

3 )

1 ( 4 4 3 3

5 ) 2 cos 1

(

7 2 sin 5 2 cos

) 3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0

a x x x  x b) 4sin2x 3 3 sin 2x 2cos2x 4

Phương trình thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung

Ví dụ 1: Giải phương trình: tanx sinxcosx cos 2 x (1)

Giải cách 1:

+ĐK: x m

+(1)  sinx sinxcos 2 x cos 3x (*) (đẳng cấp bậc 3)

+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT (vì  1  0 ; vơ lý)

+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :

x  x  x  t    t    x   x   k

4 1

tan 1 1

1 tan ) tan 1

tan 1

cos (sin

0 ) cos sin 1 )(

cos (sin

0 cos

 x x  x   x   k

4 1

tan 0

cos sin

Ví dụ 2 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp

bậc 4)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 thì sinx =  1 khơng nghiệm đúng ptrình Vậy cosx  0

+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:

sin ) sin (cos

0 2 cos 0

) sin cos

3 ( 2

x

x x

x x

Ví dụ 3: Giải phương trình : sin 6 x cos 6 x cos 2 2x sinxcosx

Và biến đổi : cos 2 2x (cos 2 x sin 2 x) 2  cos 4 x sin 4 x 2 sin 2 xcos 2 x

Thì PT (5) sin 2 cos 2 sin cos 0

0 0

4 5

t t t t

t t

t t t t

2 2

t t

t t

PT (5.2) đặt ẩn phụ

t t

Bài tập tương tự:

1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)4) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3  3   (đẳng cấp bậc 3) 5) Giải phương trình : 3 (sin 3x cosx)  cos 3x sinx (đẳng cấp bậc 3) 6) Giải phương trình : 3 (cos 3x sinx)  sin 3x cosx (đẳng cấp bậc 3) 7) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3  3   (đẳng cấp bậc 3) 8) Giải phương trình : 4 4 4

(sin x cos x )  3 sin 4x 2 (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : 8sin 6 cos 6  3 3 sin 4 2

Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2 x là:

Câu 2: Số nghiệm của phương trình sin 3 0

Bài 1: Giải phương trình sin 3 sin 2 2 cos 2 0

1 cos sin cos sin

1 cos





k x

k x x

x x x

x

Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Giải các phương trình:

a) cosxcos7x = cos3xcos5x (1) b) sin2x + sin4x = sin6x (2)c) sin 42 xsin 32 xsin 22 xsin2 x (3) d) sin3xcos3xcos 2x (4)

Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân

đôi, công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác

Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

) cos5 cos 4 cos3 cos2

) sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3

) sin 3 sin 5 sin 7 0

c x x x d) tanx tan 2x tan 3x

Giải tương tự như bài tập 1

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi

Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:

) 1 sin 2 1 tan 1 tan

a  x  x   x b) tanx tan 2x sin 3 cosx x

) tan  2  2 4

c x cot x cot x

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

) sin 2 sin 5 cos

a x x x b) 3 2sin sin 3  x x 3cos 2x

) 2sin cos 2 1 2cos 2 sin 0

Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x

Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x

KD-2004: 2cosx 1 2sinx cos   x sin 2x sinx

KB-2004: 5sinx 2 3 1 sinx tan    2 x

KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)

KD-2006: cos3x c os2x cosx 1 0

KB-2006: cotx sinx 1 t anx.tan 4

KB-2007: 2sin 22 xsin 7x 1 sin x

KA-2007: 1 sin 2xcosx1 cos 2xsinx 1 sin 2x

CĐ-2008: cos3x 3 cos3x2sin 2x

KD-2008: 2sin 1 cos 2  xsin 2x 1 2cosx

KB-2008: sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3sin cos2 x x

CĐ-2009: 1 2sin x2cosx 1 sinxcosx

KD-2009: 3 cos5x 2sin 3 cos2x x sinx0

KB-2009: sinxcos sin 2x x 3 cos3x 2 cos 4 xsin3x

KB-2010: sin 2xcos 2 cosx x2cos2x sinx0

KA-2010: 1 sin cos2 sin

KB-2011: sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

KA-2011: 1 sin 2 2cos 2

KD-2012: sin3xcos3x sinxcosx 2 cos 2x

KB-2012: 2 cos x 3sinxcosxcosx 3sinx1

KA-2012: 3 sin 2xcos 2x2cosx 1

KA-2013: 1 tan x 2 2 sin x

KA- 2014 : sinx 4cosx 2 sin2x  

THPTQG-2015 Tính giá trị của biểu thức P  (1 3cos2 )(2 3  cos2 ) biết

Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình mônToán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung Vì vậy, bản thân tôi rất chú trọngkhi dạy phần này cho học sinh

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương trình lượng giáccho học sinh Tuy bản thân rất cố gắng tìm tòi học hỏi, nhưng chắc hẳn bài viếtcòn nhiều hạn chế, mong các thầy cô chân tình góp ý và bố sung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.

2) Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục.

3) Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG các năm.

4) Giải toán Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất bản Giáo dục.

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến có thể sử dụng làm giáo án

giảng dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Trình độ chuyên môn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và cóphương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh

Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình họctập

10 Kết quả đạt được :

Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương pháp giải phù hợp Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tôi thu được kết quả cụ thể như sau:

Lập Thạch, ngày 04 tháng 02 năm 2020

Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thanh Nhàn