SKKN một số phương pháp tính khoảng cách trong không gian

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khánhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loạimột cách rõ nét

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Tác giả sáng kiến: NGUYỄN NGỌC TÂN

Mã sáng kiến: 28.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Tác giả sáng kiến: NGUYỄN NGỌC TÂN

Mã sáng kiến: 28.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2020

MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu ……… 2

2 Tên sáng kiến ……… 3

3 Tác giả sáng kiến ……… 3

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến ……… 3

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến ……… 3

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử ……… 3

7 Mô tả bản chất sáng kiến ……… 3

7.1 Nội dung sáng kiến.……… 3

7.1.1 Cơ sở lý thuyết……… 3

7.1.2 Thực trạng vấn đề……… 4

7.1.3 Một số giải pháp ……… 6

7.1.4 Bài tập đề nghị……… 23

7.2 Về khả năng áp dụng sáng kiến……… 24

8 Những thông tin cấn được bảo mật……… 24

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.……… 24

10 Đánh giá lợi ích thu được.……… 25

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu ……… 25

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình toán học lớp 11, 12, bài toán về khoảng cách trong khônggian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây Mặc dùvậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hìnhkhông gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường

để mất điểm trong các kì thi nói trên Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phầnnày Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiềuthời gian

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khánhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loạimột cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian

Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽhình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phầnnày còn gặp nhiều khó khăn

Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên:

“Một số phương pháp tính khoảng cách trong không gian” nhằm cung cấp cho học sinh

một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian, một

hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh khôngphải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay

ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗibài toán

Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa đượctriệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ýkiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mọi đóng góp xin gửi về: Nguyễn Ngọc Tân - Trường THPT Yên Lạc 2 - huyện Yên Lạc - tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0976994981 Email: ngoctan.vp@gmail.com

2 Tên sáng kiến: Một số phương pháp tính khoảng cách trong không gian

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Ngọc Tân

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0976994981 Email: ngoctan.vp@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Ngọc Tân

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

- Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu trong bài khoảng cách của hình học

không gian khối 11 dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi của trường THPT Yên Lạc 2 và ôn

thi THPT Quốc Gia

- Sáng kiến góp phần nâng cao hiệu quả bồi dưỡng HSG khối 12 và thi THPTQuốc Gia

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/9/2019

7 Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1 Nội dung sáng kiến

7.1.1 Cơ sở lý thuyết

Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyếtmột vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớpbài toán tương tự nhau, Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và điều khiển saocho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với những nội dung dạyhọc trong điều kiện được gợi động co, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiếnhành và có trải nghiệm thành công Do vậy việc trang bị về phương pháp cho học sinh làmột nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

Trong bài “Khoảng cách” trong sách giáo khoa lớp 11 có đưa ra 4 khái niệm vềkhoảng cách:

- Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa haimặt phẳng song song

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Do đó nếu có một hệ thống phương pháp tiếp cận và giải quyết các bài toán:

Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Bài toán 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách

giữa hai mặt phẳng song song

Bài toán 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

thì hầu hết các bài toán về khoảng cách sẽ được giải quyết

Vì vậy, việc đưa ra “Một số phương pháp tính khoảng cách trong không gian”

là một việc rất cần thiết và bổ ích cho việc dạy của giáo viên và việc học hình học khônggian của học sinh

7.1.2 Thực trạng vấn đề

Trong quá trình giảng dạy của mình và các đồng nghiệp tôi nhận thấy phần lớn họcsinh còn rất lơ mơ về hình học không gian Đặc biệt khi gặp các bài toán về khoảng cáchthường không định hình được cách giải, lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm lênđường thẳng, mặt phẳng hoặc xác định được chúng nhưng không tính được, hoặc tìmđược nhưng cách làm còn dài chưa kể đến việc vẽ hình chưa đúng hoặc chưa biết vẽ hình

Mặt khác thời gian cho bài này lại ít nên học sinh rất lúng túng không biết địnhhình thế nào khi đứng trước một bài toán Cụ thể:

- Tình huống 1: Cho hình chóp S ABCD , SH (ABCD) Tính khoảng cách từ Hđến mặt phẳng SCD 

Học sinh không biết dựng hình chiếu của H lên SCD như thế nào từ đó không

thể tính được khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD Như chúng ta đã biết H là chân

đường cao hạ từ đỉnh S lên SCD do đó việc xác định khoảng cách từ H đến mặt phẳng

SCD một cách dễ dàng.

- Tình huống 2: Cho hình chóp S ABCD , SH (ABCD), ABCD l hà h ình chữ nhật

tâm O Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SCD 

Trong tình huống này học sinh lúng túng khi dựng khoảng cách từ O đến SCD

v à h cũng không biết sử dụng tỉ số khoảng cách   

xây dựng cho học sinh cách dựng hình chiếu của một số điểm thường gặp và sử dụng tỉ lệkhoảng cách giữa các điểm để đưa về tính khoảng cách của các điểm đã biết đơn giảnhơn.

- Tình huống 3: Cho hình chóp S ABCD , SH (ABCD SA a),  , ABCD l hà h ình

vuông cạnh a Tính khoảng cách giữa AC và SD.

Với tình huống này học sinh thường hay đi dựng đường vuông góc chung của hai

đường thẳng AC và SD nhưng khó tìm được, một số học sinh biết dựng SB D chứa SD ' 

và song song với AC khi đó ta có d AC SD ,  d AC SB D , '   d A SB D , '  .

- Tình huống 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, gọi M, N là trung điểm của AB, AD H là giao điểm của CN, DM , SH (ABCD SA a),  3 Tính

khoảng cách giữa SC và DM

H A

Học sinh thường không nhận ra được vị trí tương đối giữa DM và SC có điểm đặc

biệt là vuông góc với nhau nên loay hoay dựng đường vuông góc chung không được Đưa

về khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song chứa đường còn lại, lại càngkhó và cũng dẫn đến bế tắc

Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ chohọc sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từngloại để được một đáp án đúng và suy luận có lôgíc để có hướng làm tốt tránh được tìnhhuống rối ren dễ mắc sai lầm Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giảiquyết các bài toán về khoảng cách.

7.1.3 Một số giải pháp

Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp, tôi mạnh

dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với giải pháp: Đưa ra “Một số

phương pháp tính khoảng cách trong không gian” như sau:

I BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương pháp: Cho điểm O và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên .

Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến .

Kí hiệu d O ( , )

* Nhận xét

- M  ,OM d O( , )

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH

+ Áp dụng công thức

2 Bài tập minh họa:

Bài tập 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O,

( ),

điểm của SC, AB.

O A

D S

- Trong cách 1 việc tính khoảng cách IH ta có thể linh hoạt chọn cách tính

phù hợp với các dữ kiện bài toán đưa ra

- Trong cách 2 tính khoảng cách từ S đến CM có thể làm như trên Tuy nhiên ta có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách giữa hai đểm S, I đến CM như trên.

II BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG

1 Phương pháp: Cho điểm O và mặt phẳng () Gọi H là hình chiếu của O trên () Khi

đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

() Kí hiệu d O( ,( ))

* Nhận xét

- M( ), OM d O( ,( ))

- Việc xác định hình chiếu H là vấn đề khó thực hiện hoặc mất rất nhiều thời gian để

thực hiện Do vậy tôi đưa ra các phương pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến mộtmặt phẳng như sau:

Phương pháp 1: Tính trực tiếp

Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH dựa trên một số trường đặc biệt

sau:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từđỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến củahai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau)thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao

là tâm đường tròn nội tiếp đáy

+ Nếu O lại là chân đường cao hạ từ đỉnh S thì ta có thể dựng hình chiếu H của O lên mặt (SAB) như sau:

B O

S

K H

   Theo cách này, để tính khoảng cách

từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S

Phương pháp 3: Sử dụng tỉ lệ khoảng cách giữa hai điểm

Ý tưởng của phương pháp này là: đưa việc tính d O( ,( )) về việc tính d O( ',( ))

dễ dàng hơn Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và O, O’   thì

nếu I là trung điểm của OO’ thì ( ;( )) d O  d O( ';( ))

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (

đường cao OH được tính bằng công thức 1 2 12 12 12

Phương pháp 5: Sử dụng phương pháp tọa độ

Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng cáccông thức sau:

'

u u AA d

  với ' là đường thẳng đi qua A' và có vtcp 'u

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình

học

2 Bài tập minh họa:

Bài tập 1 (Đề HSG môn toán 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011-2012).

Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại B với

AB a AA  a A C  a Gọi M là trung điểm cạnh C A , I là giao điểm của các đườngthẳng AM và A C Tính thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A tới mặtphẳng (IBC)

Giải.

Gọi H K, theo thứ tự là hình chiếu của I trên AC A C,   Khi đó do

(ABC) ( ACC A ) nên IH (ABC) Từ đó . 1· ·

S

H

B

a OK

việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt

phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các

khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến

(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C

đến (SAB).

Giải.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD,

khi đó SO  (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên

S

Bài tập 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông

góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,

SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

(AHK).

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có

chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng

nên ta có thể tính được thể tích khối chóp

OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính

được diện tích của nó

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD

AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên

D

B

S

H K

J G

I

2

2 29

OAHK AHK

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O  A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2).

Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 0;2 ; 2

Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định

được theo phương SC.

* AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC

Tương tự AK  SC Vậy SC  (AHK)

* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC  OJ  (AHK)

a

Bài tập 5 (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có đáy

phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và

(ABCD) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến

O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

a a

d B A BD

a



Bài tập 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh

bằng a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).

Phân tích: Do OASBC C, nên thay vì việc tính d O SBC ta đi tính ,  

D

C B

A S

và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuông

góc của A trên SB Tính khoảng cách từ

K

M

D

C B

A S

Cách 2: Gọi d d lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), ta có:1, 2

Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.

Phân tích Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng

(SCD) là khó khăn Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính

khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM Ta có:

* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán

bằng phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêucầu:

+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng

+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toánthành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất

III BÀI TOÁN 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

1 Phương pháp:

a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đườngthẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng () Kíhiệu d( ,( )) 

* Nhận xét

- M ,N( ), MN d ( ,( )) 

- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì củamặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu d(( );( )) 

* Nhận xét

- M( ), N( ), MN d (( );( )) 

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảngcách từ một điểm đến một mặt phẳng

2 Bài tập minh họa:

Bài tập 1 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1 Một mặt phẳng  

bất kì đi qua đường chéo B’D.

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

b) Xác định vị trí của mặt phẳng   sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp

  và hình lập phương là bé nhất

Phân tích: Với một hình lập phương ta

luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó

tạo độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng

cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở

nên dễ dàng Với phần b), ta quy việc tính diện

tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến

B A