SKKN kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số

Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT đặc là Giải Tích lớp 12, bài toán xét tính đơnđiệu của hàm số là một vấn đề cơ bản, quan trọng của chương trình.. Để giúp các em có những k

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu: 1

4 Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu 1

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

I Kiến thức chuẩn bị: 3

II Bài tập áp dụng 5

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không 38

9 Các điều kiện cần thiết để áp dung sáng kiến: 38

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 39

11 Danh sách những tổ chức / cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 39

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán THPT đặc là Giải Tích lớp 12, bài toán xét tính đơnđiệu của hàm số là một vấn đề cơ bản, quan trọng của chương trình Trong các kì thihọc sinh giỏi cấp tỉnh các khối không chuyên và kỳ thi trung học phổ thông quốc giaxét tốt nghiệp và lấy kết quả xét vào các trường đại học và cao đẳng đây là một vấn đềluôn được đề cập tới Để giúp các em có những kiến thức nhất định trong các kì thihọc sinh giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia, với đề tài này tôi hy vọng giúp họcsinh có được kết quả tốt hơn

2 Mục đích nghiên cứu

 Hệ thống các bài toán tính đơn điệu của hàm số

 Đưa ra các phương pháp giải toán phù hợp với đối tượng học sinh

 Rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên cho học sinh

 Hệ thống bài tập có phân loại phù hợp với trình độ của học sinh

 Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy cho học sinh

 Góp phần năng cao chất lượng dạy và học cho học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu:

 Học sinh lớp 12

 Học sinh ôn thi học sinh giỏi

 Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

4 Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu

 Chương trình Giải Tích lớp 12

 Sách Giải Tích cơ bản và nâng cao lớp 12

 Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

 Đề thi THPT Quốc Gia các năm của Bộ Giáo Giục và đề thi THPT Quốc Giacủa các sở và các trường nổi tiếng trên toàn quốc

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tính đơn điệu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số,bảng biến thiên của hàm số, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trêntập D  . tìm tham số để hàm số, đơn điệu thỏa mãn điều kiện cho trước

 Một số bài toán về thương gặp về tính đơn điệu của hàm số

 Vận dụng linh hoạt trong quá trình tính toán, giải bài tập

 Rèn luyện kĩ năng tính toán, phát huy tính tích cực của người học.

6 Phương pháp nghiên cứu

 Tự rút ra trong quá trình dạy học

 Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo

 Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp, tích lũy kiến thức trong quá trình giảngdạy

 Nghiên cứu đề thi THPT Quốc Gia của BGD và đề minh họa của BGD hàngnăm và đề thi THPT Quốc Gia của các sở, các trường những năm gần đây

NỘI DUNG

KỸ THUẬT ĐỌC BẢNG BIÊN THIÊN, ĐỒ THỊ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Kiến thức chuẩn bị:

1 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f x  ax2 bx c a , 0  Tính  b2  4ac hoặc

x x Ta có f x   cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi x     ; x1   x2;  

và f x   trái dấu với dấu của hệ số a với mọi x   x x1; 2

2 Đaọ hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp của nó

 sin x    cos x  sin u    u  cos u

  ax   axln , a a  0, a  1   au   u a  uln , a a  0, a  1.12

  ex   ex   eu   u e  u.

3 Tính đơn điệu của hàm số

3.1 Định nghĩa: Cho hàm số yf x  xác định trên tập D  

3.1.1 Hàm số y  f x   được gọi là đồng biến trên D nếu với mọi x x1, 2 D

+ Đồ thị của hàm đồng biến trên D là một đường đi lên từ trái sang phải

+ Đồ thị của hàm nghịch biến trên D là một đường đi xuống từ trái sang phải

3.2 Mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng  a b ;  và có đạo hàm liên tục trên  a b ; 

+ Nếu f x     0 với mọi x   a b ;  (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn điểm trên khoảng  a b ; ) thì hàm số y  f x   đồng biến trên khoảng  a b ; 

+ Nếu f x     0 với mọi x   a b ;  (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn điểm trên khoảng  a b ; ) thì hàm sốy  f x  nghịch biến trên khoảng a b ; 

+ Nếu f x     0 với mọi x   a b ;  thì hàm số y  f x   không đổi trên khoảng  a b ; 

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm sô y  f x  

Trong phần này tác giả đưa ra các dạng sau:

DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐẠO HÀM

+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng    ;0  và  2;   Nghịch biến trên khoảng

 0;2 

Bài 2 Xét tính đơn điệu của hàm số y  x3 3 x2 3 x

Giải + Tập xác định D 

+ y   3 x2  6 x  3  3  x  1 2  0 với mọi x   hàm số nghịch biến trên 

Bài 3 Xét tính đơn điệu của hàm sô y x  4  2 x2  3.

2 2

+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng   1;0  và  1;   Nghịch biến trên khoảng

Bài 4 Xét tính đơn điệu của hàm số 1

1

x y

+

 2

2

0 1

y

x

 với mọi x D  hàm số nghịch biến trên    ;1  và  1;  

Bài 5 Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số sau đồng biến trên 

+ Vậy với m  1;3  thì hàm số đồng biến trên 

Bài 6 Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số sau nghịch biến trên 

Bài 7 Tìm tất cả những giá trị thực của m để hàm số 2

1

x m y

x





 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

m y

x

 

 



+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi

 2

2

0 1

m y

+ Vậy với m  2 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Nhận xét: Trong bài toán trên ta không sử dụng được hàm số nghịch biến trên

   ;1    1;   khi y 0 với mọi x     ;1    1;   được vì ở đây nếu xẩy ra dầu bằng thì sẽ xẩy ra với mọi x D

Bài 8 Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số y 2 x m 6

x m

 



1) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2) Đồng biến trên khoảng     ; 6 

3) Nghịch biến trên khoảng  10;  

4) Nghịch biến trên khoảng  4;12 

x m





x m



  x D 6 3 m 0 m2

+ Vậy với m 2 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2) Hàm số đồng biến trên khoảng     ; 6  hàm số liên tục trên khoảng

m m

3) Hàm số nghịch biến trên khoảng  10;  hàm số liên tục trên khoảng

m m

4) Hàm số nghịch biến trên khoảng  4;12  hàm số liên tục trên khoảng  4;12 

m m

+ Vậy với m  2;4    12;   thì hàm số nghịch biến trên khoảng  4;12 

Nhận xét: + Tương tự như bài 7 trong bài 8 cả 4 phần ta không sử dụng được

0

y với phần 1; 2 và y 0 với phần 3;4 vì ở đây nếu dầu bằng xẩy ra thì sẽ xẩy

ra với mọi x D

+ Trong phần 2 ta có thể thay hàm số liên tục bằng trên khoảng     ; 6 

bằng hàm số xác định trên khoảng     ; 6  và các phần 3,4 tương tự

Bài 9 Hàm số yx m 3x n 3 x3 (tham số m n; ) đồng biến trên khoảng

   ;  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P4m2n2 m n bằng

Giải

Ta có y3x m 23x n 2 3x2 3x22m n x m   2n2

Hàm số đồng biến trên    ;  0

00

P  Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi 1; 0

Bài 10 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số sau ysin3x 3cos2x m sinx1

đồng biến trên đoạn 0;

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m 0 thì hàm số f t  đồng biến trên 0;1, hàm

số f x  đồng biến trên đoạn 0;

sin 3cos sin 1

y x x m x đồng biến trên đoạn

m m m

m m m

2

m m

Chú ý: Với cách đặt t cotx ta có hàm số t cotx nghịch biến trên

DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC

BẢNG XÉT DẤU CỦA ĐẠO HÀM Bài 1 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Giải

+ Cách 1: Từ bảng biến thiên ta thấy y       0 x  ; 2    0;2   hàm số nghịch biến trên khoảng     ; 2  và  0;2 

+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng     ; 2  và

 0;2   hàm số nghịch biến trên khoảng     ; 2  và  0;2 

Bài 2 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Giải

+ Cách 1: Từ bảng biến thiên ta thấy y      0 x  1;2   hàm số nghịch biến trên khoảng   1;2 

+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số lên từ trái qua phải trên khoảng

  1;2   hàm số đồng biến trên khoảng   1;2 

Bài 3 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x   3 2f x  đồng biến trên khoảng nào?

0

22

∞

g

g'

x

+ Vậy hàm số g x     3 2 f x   đồng biến trên các khoảng   2;0  và  2;  

Bài 4 Cho hàm số y  f x   liển tục trên  và ta có bảng xét dấu của f x 

x x

Bài 5 Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đơn điệu của hàm số yf x( 2  2)

Giải

+ Quan sát bảng biến thiên của hàm số yf x  ta thấy f x 0 0

2

x x

x x x

+ Dựa vào bảng xét dấu y ta được y0,  x  2;  2  0; 22;  nên hàm

4

yf  x nghịch biến trên các khoảng   2;  2 ; 0; 2 ; 2;       và y 0với      x  ; 2     2;0    2;2   hàm số yf 4  x2 đồng biến trên cáckhoảng    ; 2 ;    2;0 ;   2;2 

Bài 6 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  Bảng biến thiên của hàm số

      2 2 2   a x  4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng 2 2 ;4 a , chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 2; 4.

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Giải + Từ đồ thị hàm số y  f x   ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng     ; 1  và khoảng  0;1   hàm số nghịch biến trên khoảng     ; 1  và khoảng  0;1 

+ Từ đồ thị hàm số y  f x   ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng

  1;0  và khoảng  1;   hàm số nghịch biến trên khoảng   1;0  và khoảng

 1;  

Bài 2 Cho hàm số f x  xác định trên  và có đồ thị hàm số yf x  là đường cong trong hình vẽ Xác định các khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số

Giải + Từ đồ thị hàm số y  f x    ta thấy đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành trên khoảng     ; 2  và khoảng  0;2   f x     0      x  ; 2    0;2   hàm số nghịch biến trên khoảng     ; 2  và khoảng  0;2 

+ Từ đồ thị hàm số y  f x    ta thấy đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành trên khoảng   2;0  và khoảng  2;    f x     0    x  2;0    2;    hàm số đồng biến trên khoảng   2;0  và khoảng  2;  

Bài 3 Cho hàm sốy  f x   liên tục trên  Hàm số y  f x    có đồ thị như

hình bên Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x    f  2  x 

+ Từ bảng xét dấu g x     hàm số g x    f  2  x  đồng biến trên các khoảng

  2;1 ,   3; và nghịch biến trên các khoảng     ; 2 , 1;3   

Bài 4 Cho hàm số f x  xác định trên tập số thực  và có đồ thị f x  như hình sau Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x    f x    x

x x x

 

+ Từ bảng xét dấu g x     hàm số g x    f x    x đồng biến trên các khoảng

    ; 1 ,   2; và nghịch biến trên các khoảng   1;2 

Bài 5 Cho hàm số y  f x   liên tục trên  Biết hàm số y  f x    liên tục trên

 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số yf 3 x2 đồng biến trên

(cả 7 nghiệm đều là nghiệm đơn)

Nhận xét: Do f x  mang dấu dương khi x 2 (ta gọi là miền ngoài cùng) nên

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 1;0

Cách 2: Hàm số yf 3 x2 đồng biến khi y 0 2xf3 x2 0

0

x x x

x x x x

0

x x x

x x x x

6



Bài 6 Cho hai hàm số y  f x y g x   ,    Hai hàm số y  f x    và y g x    

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

Dựa vào đồ thị hàm sốy= f x¢( ) ta lập được bảng biến thiên của y= f x( ) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x( )£0, " Î ¡x

Xét hàm số ( ( ) )2

y= f x , ta có y¢=2f x f x( ) ¢( )

Do y  f x       0 x và f x¢ > " Î( ) 0, x ( ) (1; 2 È - ¥ -; 2) nên hàm số ( ( ) )2

nghịch biến trên khoảng (- ¥ -; 2) và ( )1;2

Bài 8 Cho hàm sốy f x  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ dưới

Đặt     1 2

2018.

2

g x f x  x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số g x  đồng biến trên 1; 3 B Hàm số g x  đồng biến trên

Dựa vào đồ thị hàm số yf x  và đồ thị y x1 ta thấy:

Đồ thị hàm số yf x  nằm “phía trên” đồ thị yx1 khi x   3; 1  3;  

A g x  nghịch biến trên khoảng 0;2.

B g x  đồng biến trên khoảng 1;0

C g x  nghịch biến trên khoảng 1;0

Câu 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x1 2 x1 3 2 x Hàm số f x 

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 6 Cho hàm số y x 3 3 x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1 và nghịch biến trên khoảng 1;

B Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1 và đồng biến trên khoảng 1;

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu 7 Cho hàm số 4 2

2 5

y x  x  Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1

B Hàm số nghịch biến với mọi x

C Hàm số đồng biến với mọi x

D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 và 1;  

Câu 8 Các khoảng đồng biến của hàm số y x 33x là

A 0;  B 0; 2 C  D  ;1 và 2; 

Câu 9 Cho hàm số 1

2

x y

x





 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

B Hàm số đã cho nghịch biến trên 

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 2  2;

D Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Câu 10 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên ?

Câu 11 Cho hàm số y x 3 3x25 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 B Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;  D Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2

Câu 12: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số 1 3 2





 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;1

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;1 và khoảng 1;

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 

D Hàm số đã cho nghịch biến trên tập \ 1 

Câu 15 Hàm số 4 2

2 14





 D y x 5x310

Câu 20 Cho hàm số y x 33x2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0 và nghịch biến trên khoảng 0; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 và đồng biến trên khoảng 0; 

C Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

Câu 21 Hàm số y x 2 4x4 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A  ; 2 B   ;  C 2; D 2;

Câu 22: Cho hàm số 2 1

1

x y







Câu 24 Cho hàm số y x33x29x1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1, 3;  ; nghịch biến trên 1;3

B Hàm số đồng biến trên 1;3, nghịch biến trên   ; 1  3; 

C Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 3, 1; ; nghịch biến trên 3;1

D Hàm số đồng biến trên 1;3, nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 1, 3;  

Câu 25: Cho hàm số 2 3

4

x y

x





 Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

B Hàm số đồng biến trên 

C Hàm số nghịch biến trên 

D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Câu 26 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y x 42x2 3



 C y x 33x2 D y2x2

Câu 28 Cho hàm số y x 3 3x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1