chuyên đề rèn kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀRÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TƯCùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sửdụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chun

MỤC LỤC

CHUYÊN ĐỀRÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TƯ

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sửdụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương phápdạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạtđộng học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và pháttriển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề,rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sángtạo vào thực tiễn

Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân

tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú,

đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiềuphân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Qua thực tếgiảng dạy cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinhlớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiềuhọc sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phươngpháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từngbài toán cụ thể

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinhtháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thờinâng cao chất lượng bộ môn nên chúng tôi đã chọn chuyên đề: “ Rèn kĩ nănggiải toán: phân tích đa thức thành nhân tử”

II Mục đích nghiên cứu

Chỉ ra những phương pháp giải giúp học sinh nắm chắc và vận dụngnhuần nhuyễn các dạng toán “Phân tích đa thức thành nhân tử”

Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống vềphân tích đa thức thành nhân tử.

Nâng cao chất lượng bộ môn

III Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 8 trường THCS Yên Phương

IV Phạm vi nghiên cứu

Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG

I Cơ sở khoa học của chuyên đề

2 Cơ sở thực tiễn.

Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc giúp cho học sinh có

kỹ năng trình bày lời giải các bài toán về các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử rất đa dạng và phong phú, để giải được học sinh cần có kỹ năng

tốt, biết nhiều phương pháp và cách vận dụng Tạo nền tảng kiến thức cơ bản đểhọc sinh lấy đó làm tiền đề và tiếp tục hoàn thiện khi học sang lớp 9.

Trong quá trình giảng dạy chúng tôi gặp những thuận lợi và khó khănnhư sau:

- Hầu hết các thầy cô rất ham học hỏi, nghiên cứu soạn bài, thường xuyên

sử dụng đồ dùng trong giảng dạy và dạy đúng phương pháp bộ môn

- Luôn được sự quan tâm, chỉ đạo sát sao của BGH, chi bộ Đảng đã giúpchúng tôi hoàn thành nhiệm vụ

- Cơ sở vật chất của nhà trường tương đối đầy đủ về phương tiện, thiết bịdạy học, phòng học bộ môn cho việc giảng dạy được thuận tiện

- Học sinh có nề nếp, đa số các em đều có ý thức học tập và rèn luyệnđạo đức

- Nhận thức phụ huynh ngày càng nâng cao là điều kiện tốt để giúp chúngtôi trong việc phối hợp giáo dục các em

- Một số giáo viên áp dụng CNTT vào dạy học còn chưa thành thạo nên

sử dụng soạn giảng bằng giáo án điện tử trong mỗi tiết chưa nhiều

- Tồn tại nhiều học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhậnxét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở cáclớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, dolười suy nghĩ, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ýthức học tập yếu kém

- Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo,

thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau,phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

- Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tậpcủa con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà

- Thiết bị dạy học của một số môn còn thiếu, những thiết bị hỏng chưađược thay thế, một số gia đình đi làm ăn xa để con cái ở nhà với ông bà nên việcquản lí học tập ở nhà của các em chưa tốt dẫn tới tình trạng học sinh lười học,lười làm bài tập về nhà

II Biện pháp thực hiện.

- Cần soạn giảng một cách hệ thống, câu hỏi ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu.

- Nên tạo ra tình huống có vấn đề trong giảng dạy để kích thích tư duy và

kỹ năng thực hành của học sinh

- Giáo viên thường xuyên động viên khen ngợi các em, hướng dẫn các emcách ghi chép, cách học và làm bài tập ở nhà, ra thêm các bài tập có cùng dạng

- Khi ra bài tập cần yêu cầu học sinh thực hiện một số nội dung sau

+) Đọc kỹ nôi dung bài ra+) Xác định rõ yêu cầu của bài toán+) Nhận dạng bài toán thuộc dạng nào, xác định phương pháp giảiđối với từng dạng

+) Xác định đúng yêu cầu của đề bài? Viết điều cho biết dưới dạngkhác được không?

+) Kiểm tra xem đã vận dụng hết điều đề bài đã cho chưa, sử dụngnhững kiến thức nào? Vận dụng như thế nào?

+) Tự mình tiến hành trình bày lời giải

+) Đối chiếu với cách giải của bạn, của thầy

+) Tìm thêm các lời giải khác cho bài toán ( nếu được)

+) Rút ra kinh nghiệm cho bản thân

- Giáo viên cần đưa ra các dạng bài tập với mức độ từ thấp đến cao, nângcao mức độ hấp dẫn (kể cả kiến thức và kỹ năng)

III Nội dung chuyên đề.

Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?

Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của các đa thức, đơn thức khác

Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác Ví dụ:

Bài toán chứng minh chia hết

Rút gọn biểu thức

Tính nhanh giá trị của biểu thức

Giải phương trình tích

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1 Những giải pháp của chuyên đề.

Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản

Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử:

Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành

Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

Giới thiệu 2 phương pháp: tách hạng tử và thêm,bớt cùng một hạng tử

(ngoài ra còn một số phương pháp khác như đặt ẩn phụ, hạ bậc đa thức, hệ số bất định… nhưng vì lý do sư phạm nên chúng tôi không trình bày ở đây.)

2 Các phương pháp cơ bản

2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp chung:

Ta thường làm như sau:

- Tìm nhân tư chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).

- Tìm nhân tư chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).

Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)

 Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tư chung ta cần đổi dấu các hạng tư

Ví dụ 1:

Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử

Giáo viên gợi ý:

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ? (Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )

- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ?

(Học sinh trả lời là xy )( ở các lớp học lực trung bình yếu thì giáo viênhỏi nhân tử chung của từng biến x, y)

- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy

Giải:

14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy

= 7xy.(2x – 3y + 4xy)

Ví dụ 2:

Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử

Giáo viên gợi ý:

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)

- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?

- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)?

Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)

Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x)

Phân tích đa thức 9a(a – b) – 10(b – a)2 thành nhân tử

Lời giải sai:

9a(a– b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2

= (a – b)[9a + 10(a – b)]

= (a – b)(19a – 10b)

Sai lầm của học sinh ở đây là:

Thực hiện đổi dấu sai: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2

Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử :

Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:

- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ

số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích

Lời giải sai:

(a + b)2 – (a– b)2 = (a + b + a – b)(a + b – a – b)

= (2a).0

= 0 (kết quả sai)

Sai lầm của học sinh ở đây là:

Thực hiện thiếu dấu ngoặc

Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:

- Quy tắc bỏ dấu ngoặc và quy tắc đổi dấu

- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương,bình phương của một hiệu

 Khai thác bài toán:

Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới

Giáo viên củng cố cho học sinh:

Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bàitoán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thứccho thích hợp

2.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Phương pháp chung

Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất

hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tư chung, hoặc là dùng hằng

đẳng thức Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán

- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

+ Mỗi nhóm đều phân tích được.

+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tư ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tư phải tiếp tục thực hiện được nữa

a Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:

= (x – y)(x + 0)(kết quả sai vì bỏ sót số 1)

Sai lầm của học sinh là:

bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung

(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)

Lời giải đúng:

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)

b Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Ví dụ 7:

Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử

Giải:

x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2

= (x – 1)2 – (2y)2

= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)

c Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:

Ví dụ 8:

Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử

Lời giải sai:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) = (x – 2y)(x + 2y – 2)

Sai lầm của học sinh là:

Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt sai dấu ở ngoặc thứ hai)

Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:

Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trướcdấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm

Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cầnchú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm

Lưu ý:

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tư ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tư không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.

2.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Phương pháp chung

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tư,

đặt nhân tư chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán

một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp

Ta thường xét từng phương pháp:

Đặt nhân tư chung ?

Dùng hằng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tư ?

Ví dụ 9:

Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử

Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tư chung ?

Dùng hằng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tư ?

Các sai lầm học sinh thường mắc phải

Lời giải chưa hoàn chỉnh:

a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)

b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)

= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x )

Để phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư cần chú

ý các bước sau đây:

+ Đặt nhân tư chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản

+ Xem xét đa thức có dạng hằng đẳng thức nào không ?

+ Nếu không có nhân tư chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tư vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tư chung, làm xuất hiện nhân tư chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau:

Ví dụ 12:

Phân tích đa thức A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 thành nhân tử

Ta thấy A không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì vậy trước tiên ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử

Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?

Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy

+ Đặt nhân tử chung

B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)

Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không? + Nhóm hạng tử:

Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử

Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọncách giải phù hợp nhất, gọn nhất

2.5 Phương pháp tách hạng tử

Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được

mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các phương pháp đã biết

Ví dụ 15: : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8

Giải:

= (3x+1-3)(3x+1+3)

= (3x -2)(3x+4)

*Chú ý :

Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử của tam thức bậc hai:

ax2 + bx + c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làmnhư sau :

- Tìm tích a.c

- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách

- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử

Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8

+ Tích a.c =9.(-8) =-72

+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có

giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)

-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12

Từ đó ta phân tích9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8

Từ đó ta phân tích

x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2)

Ví dụ 1 8 :

Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử

- Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)

Ví dụ 19 :

Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử

Giải:

Cách 1: Thêm x3 và bớt x3

(làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tư chung)

 Chú ý :

Các đa thức có dạng x 4 + x 2 + 1, x 5 + x + 1, x 5 + x 4 + 1, x 7 + x 5 + 1,….; tổng quát những đa thức dạng x 3m+2 + x 3n+1 + 1 hoặc x 3 – 1, x 6 – 1 đều có chứa nhân tư x 2 + x + 1

Ví dụ 2 0 :

Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử

Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2

x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2

= (x2+2)2 – (2x)2

= (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)

Ví dụ 2 1 :

Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử

Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2

Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2