Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vecto qua dưới vi phân suy rộng

Nội dung chính của luận án bao gồm: Thiết lập các điều cần Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương và nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của bài toán cân bằng vecto có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian Banach với các hàm Lipschitz địa phương

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

TR†N THÀ MAI

I—U KI›N C†N V€ Õ CHO NGHI›M

HÚU HI›U CÕA B€I TON C…N BŒNG VECTÌ

QUA D×ÎI VI PH…N SUY RËNG

TÂM TT LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

THI NGUY–N - 2019

Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i:

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS é V«n L÷u

Ph£n bi»n 1:

Ph£n bi»n 2:

Ph£n bi»n 3:

Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p tr÷íng håp t¤i:

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n.

V o hçi gií ng y th¡ng n«m 2019

Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n::

- Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam;

- Trung t¥m håc li»u  ¤i håc Th¡i Nguy¶n;

- Th÷ vi»n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m  ¤i håc Th¡i Nguy¶n.

Mð ¦u

B i to¡n c¥n b¬ng (equilibrium problem) ÷ñc E Blum v  W Oettli ÷a

ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1994 v  nhanh châng h§p d¨n nhi·u nh  to¡n håcnghi¶n cùu do ph¤m vi ùng döng rëng lîn cõa nâ B i to¡n c¥n b¬ng vectì

âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch phi tuy¸n, nâ cho ta mët mæ h¼nhto¡n håc hñp nh§t bao gçm nhi·u b i to¡n kh¡c nhau nh÷: B i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n vectì; B i to¡n tèi ÷u vectì; B i to¡n iºm b§t ëng; B ito¡n bò vectì; B i to¡n c¥n b¬ng Nash vectì, C¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu cõa

b i to¡n c¥n b¬ng vectì bao gçm: i·u ki»n tèi ÷u; Sü tçn t¤i nghi»m; Thuªtto¡n; T½nh ch§t tªp nghi»m; T½nh ên ành nghi»m; ë nh¤y nghi»m, .Trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u nghi¶n cùu trong gi£i t½ch khæng trìn ¢tªp trung ph¡t triºn c¡c lo¤i d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau C¡c d÷îi vi ph¥n l nhúng cæng cö tèt º nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷uvîi c¡c h m khæng trìn C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c

dú li»u khæng trìn ¢ v  ang ph¡t triºn m¤nh m³ d÷îi c¡c ngæn ngú d÷îi viph¥n h m lçi, d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich, Treiman

v  d÷îi vi ph¥n suy rëng Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng (convexificator)

l  mët cæng cö tèt º thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u khæng trìn Kh¡i ni»m d÷îi

vi ph¥n suy rëng lçi, compact l¦n ¦u ti¶n ÷ñc ÷a ra bði V.F Demyanov(1994) V Jeyakumar v  D.T Luc (1999) ¢ ÷a ra kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥nsuy rëng âng, khæng lçi cho h m væ h÷îng v  Jacobian x§p x¿ cho h m vectì.Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng l  têng qu¡t hâa mët sè kh¡i ni»m d÷îi

vi ph¥n ¢ bi¸t nh÷ c¡c d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich,Treiman, Mët sè c¡c nh  khoa håc Vi»t Nam ¢ câ nhúng âng gâp ¡ng

kº trong vi»c nghi¶n cùu b i to¡n c¥n b¬ng vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùc

bi¸n ph¥n nh÷ c¡c gi¡o s÷ Ho ng Töy, inh Th¸ Löc, Phan Quèc Kh¡nh,Ph¤m Húu S¡ch, é V«n L÷u, L¶ Dông M÷u, Nguy¹n æng Y¶n v  nhi·ugi¡o s÷ kh¡c.

i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n vectì ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu F Giannessi,

G Mastroeni v  L Pellegrini (2000) ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì trong khæng gian húu h¤n chi·u C¡c

i·u ki»n tèi ÷u trong (Yang v  Zeng (2008), Yang (1993)) ÷ñc chùng minhb¬ng c¡ch thi¸t lªp sü t÷ìng ÷ìng giúa b i to¡n tèi ÷u vectì v  b i to¡nb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu gi£iquy¸t c¡c v§n · tçn t¤i nghi»m v  i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c lo¤i nghi»m cõa

b i to¡n c¥n b¬ng vectì X.H Gong (2010) ¢ thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u d÷îingæn ngú d÷îi vi ph¥n Clarke v  d÷îi vi ph¥n x§p x¿ cho c¡c nghi»m húuhi»u y¸u, nghi»m húu hi»u Henig, nghi»m si¶u húu hi»u v  nghi»m húu hi»u

to n cöc cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì vîi r ng buëc tªp X.H Gong (2012) ¢chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u cõa

b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân vîi vîi c¡c h m kh£ vi Fr²chet.X.X Long v  c¡c cëng sü (2011) ¢ chùng minh c¡c i·u ki»n tèi ÷u chonghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì

câ r ng buëc nân, r ng buëc tªp vîi c¡c h m kiºu d÷îi g¦n lçi (nearly subconvexlike) Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n MichelPenot l  mët d÷îi vi ph¥nsuy rëng Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»uHenig v  si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc qua d÷îi

C-vi ph¥n MichelPenot l  mët v§n · c¦n thi¸t v  ¥y l  mët nëi dung ÷ñcnghi¶n cùu trong luªn ¡n

Y Feng v  Q Qui (2014) ¢ nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡nc¥n b¬ng vectì câ r ng buëc trong khæng gian Banach D.V Luu v  D.D.Hang (2014) ¢ d¨n i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»mhúu hi»u, nghi»m húu hi»u to n cöc cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥nvectì c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp vîi c¡c h mLipschitz àa ph÷ìng qua d÷îi vi ph¥n Clarke, d÷îi vi ph¥n MichelPenot.D.V Luu v  D.D Hang (2015) chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u

ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vîi r ng buëcc¥n b¬ng qua d÷îi vi ph¥n Clarke Chó þ r¬ng, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n vectì l  mët tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì.

Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn câ r ng buëc nân, r ng buëc

¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng l  mët v§n · c¦nthi¸t v  ¥y l  mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n

Trong nhúng n«m g¦n ¥y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u khængtrìn ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ nghi¶n cùu qua c¡c d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau ¢

¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ µp v  s¥u s­c Khi c¡c h» sè cõa h m möc ti¶u v  c¡c

h m r ng buëc nhªn gi¡ trà kho£ng, ta nhªn ÷ñc c¡c b i to¡n tèi ÷u gi¡ tràkho£ng i·u ki»n tèi ÷u v  èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ tràkho£ng ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu H.C Wu (2008) ¢ d¨n c¡c

i·u ki»n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ tràkho£ng kh£ vi vîi c¡c r ng buëc b§t ¯ng thùc trong khæng gian húu h¤nchi·u Jayswal v  cëng sü (2016) ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u v  c¡c ành

lþ èi ng¨u cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng vîi r ng buëc b§t

¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng trong khæng gian húuh¤n chi·u Vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n Fritz John v  KarushKuhnTuckercòng vîi c¡c ành lþ èi ng¨u y¸u v  m¤nh kiºu MondWeir v  kiºu Wolfecho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc

v  r ng buëc tªp trong khæng gian Banach d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n suyrëng l  mët v§n · c¦n thi¸t v  ¥y công l  mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùutrong luªn ¡n

Möc ½ch cõa luªn ¡n l  thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥nb¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp quad÷îi vi ph¥n MichelPenot, mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa d÷îi vi ph¥n suy rëng;chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u ki»n õ cho b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n vectì vîi r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v  r ng buëc tªpqua d÷îi vi ph¥n suy rëng; thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v  KarushKuhnTucker, c¡c i·u ki»n õ v  c¡c ành lþ èi ng¨u kiºu MondWeir v kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng ÷ñc thi¸t lªp

Nëi dung ch½nh cõa luªn ¡n bao gçm:

a) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»uHenig àa ph÷ìng v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ngvectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp trong khænggian Banach vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng v  i·u ki»n ch½nh quy kiºuAbadie qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot còng vîi v½ dö minh håa cho k¸t qu£thu ÷ñc

b) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v  KarushKuhnTucker chonghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn

câ r ng buëc ¯ng thùc, r ng buëc nân lçi a di»n v  r ng buëc tªp qua d÷îi

vi ph¥n suy rëng Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz, tø

i·u ki»n c¦n Fritz John chóng tæi chùng minh ÷ñc c¡c i·u ki»n KarushKuhnTucker vîi c¡c v½ dö cö thº minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc C¡c

i·u ki»n õ ÷ñc chùng minh vîi nhúng i·u ki»n v· t½nh lçi suy rëng cho

dú li»u cõa b i to¡n

c) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n Fritz John v  KarushKuhnTucker cho nghi»mLU-tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng vîi c¡c r ng buëc

¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp trong khæng gian Banach quad÷îi vi ph¥n suy rëng vîi c¡c nghi»m l  ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe (1979).Vîi gi£ thi¸t v· t½nh lçi suy rëng, c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m LU-tèi ÷u

÷ñc chùng minh Thi¸t lªp c¡c ành lþ èi ng¨u m¤nh v  y¸u cho c¡c b ito¡n èi ng¨u kiºu MondWeir v  kiºu Wolfe Mët sè v½ dö ÷ñc cung c§p

º minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc

Luªn ¡n bao gçm ph¦n mð ¦u, bèn ch÷ìng, k¸t luªn chung, danh möcc¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n v  danh möc c¡c

t i li»u tham kh£o

C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i:

- Seminar Tèi ÷u, Vi»n To¡n håc v  Khoa håc Ùng döng Th«ng Long, KhoaTo¡n - Tin, ¤i håc Th«ng Long, H  Nëi;

- Seminar Nghi¶n cùu sinh cõa Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤ihåc Th¡i Nguy¶n

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc cì sð

º tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu v· i·u ki»n tèi ÷u v  c¡c ành lþ

èi ng¨u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng trìn, chóng tæi c¦n sû döng kh¡ini»m, t½nh ch§t cõa c¡c d÷îi vi ph¥n v  mët sè cæng cö c¦n thi¸t kh¡c TrongCh÷ìng 1, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc bê trñ c¦n thi¸t cho c¡c ch÷ìng sau cõaluªn ¡n

• Möc 1.1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· b i to¡n c¥n b¬ng vectì, b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i to¡n tèi ÷u vectì

• Möc 1.2: Tr¼nh b y kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa mët sè d÷îi viph¥n v  mèi quan h» giúa chóng

• Möc 1.3: Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ væ h÷îng hâa cõa Gong (2010)

• Möc 1.4: Mët sè kh¡i ni»m cõa h m lçi suy rëng ÷ñc nh­c l¤i º thi¸tlªp c¡c i·u c¦n õ tèi ÷u cho b i to¡n

Ch֓ng 2

i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n

b¬ng vectì qua d÷îi vi ph¥n

MichelPenot

Trong ch÷ìng n y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ c¡c r ngbuëc vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n MichelPenot ÷ñc thi¸t lªp Tø k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y chóng tæi suy ra ÷ñc mët

sè k¸t qu£ trong Gong (2010) v  Long còng cëng sü (2011)

Nëi dung cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n nëi dung b i b¡o cõaD.V Luu v  T.T Mai [A2] (trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶nquan ¸n luªn ¡n) «ng trong t¤p ch½ Numerical Functional Analysis andOptimization, 39 (2018), No 16, 1833-1854 (SCI-E)

2.1 i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng

v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng

2.1.1 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng

Cho X l  khæng gian Bannach thüc vîi C l  tªp con kh¡c réng trong X;

Q v  S l¦n l÷ñt l  c¡c nân lçi trong Rr v  Rm; F : X × X → Rr l  mëtsong h m vectì; g : X → Rm v  h : X → R` l  c¡c r ng buëc, gi£ sû vîi tªpch§p nhªn K = x ∈ C : gi(x) ≤ 0,vîi måi i ∈ I; hj(x) = 0,vîi måi j ∈ L ,vîi gi, hj (i ∈ I := {1, 2, , m} , j ∈ L := {1, 2, , `}) l  c¡c h m sè thücx¡c ành tr¶n X v  h m vectì F = (F1, F2, , Fr)

°t Fx(y) := F (x, y), Fk,x(y) = Fk(x, y),vîi måi k ∈ {1, 2, , r} v  x²t tªp

Q# = {y∗ ∈ Y∗ : hy∗, yi > 0, ∀y ∈ Q\ {0}} ;

Q∗ = {y∗ ∈ Y : hy∗, yi ≥ 0, ∀y ∈ Q}

ành ngh¾a 2.2 Vectì x ∈ K gåi l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n(CVEP) n¸u vîi méi mët l¥n cªn V cõa 0, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa 0sao cho

coneF (x, K) ∩ (U − Q) ⊆ V

Gi£ thi¸t 2.1 C¡c h m Fx, gi(∀i ∈ I(x)) l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x, hj

(∀j ∈ L) l  kh£ vi Fr²chet t¤i x v  nân Q câ cì sð l  B

ành ngh¾a 2.3 ¤o h m theo ph÷ìng MichelPenot cõa h m f t¤i x theoph÷ìng υ ∈ X ÷ñc ành ngh¾a bði

,

H(x) = [

X

º chùng minh i·u ki»n c¦n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho b i to¡n(CVEP), chóng tæi ÷a v o i·u ki»n ch½nh quy (CQ) sau ¥y

C(K; x) ⊆ T (K; x)

Mët i·u ki»n c¦n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u Henig

àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.1 Gi£ sû x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa (CVEP);

Fx(x) = 0; H(x) l  tªp âng y¸u*; Thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nhquy (CQ) Khi â, tçn t¤i µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ L) v  h m li¶ntöc, thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n

(α) n¸u y2 − y1 ∈ Q\ {0} th¼ Λ(y1) < Λ(y2);

(β) tçn t¤i β0 > 0 sao cho Λ(−b) ≤ −β0, vîi måi b ∈ B

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗

Trong tr÷íng hñp ¡nh x¤ Fx l  kh£ vi ch°t, i·u ki»n c¦n cho nghi»m húuhi»u Henig àa ph÷ìng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.3 Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n(CVEP) v  thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1 Gi£ sû Fx kh£ vi ch°t vîi

¤o h m ch°t DsFx(x) Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗, trong

â intQ∗ l  ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh cõa Y∗

ành lþ v· i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u Henig ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.4 Gi£ sû x ∈ K v  thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1 Th¶m núa, tçn t¤i

Λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

Hìn núa, gi£ sû C-lçi, ¡nh x¤ Λ ◦ Fx l  ∂M P-gi£ lçi t¤i x tr¶n C, c¡c ¡nh x¤

gi(i ∈ I(x)) l  ∂M P-tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, , h` tüa tuy¸nt½nh t¤i x tr¶n C Khi â, vectì x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP)

ành lþ sau ÷ñc ph¡t biºu trong tr÷íng hñp X, Y l  c¡c khæng gian húuh¤n chi·u

(ii) tªp C-lçi; ¡nh x¤ Λ◦Fx l  ∂C-gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi(i ∈ I(x))

l  ∂M P-tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n

C Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP)

Vîi X, Y l  c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v  F l  kh£ vi ch°t, ta câ ành lþsau

ành lþ 2.6 Cho x ∈ K Gi£ sû Fx kh£ vi ch°t t¤i x; gi(∀i ∈ I(x)) l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x; hj (∀j ∈ L) l  kh£ vi Fr²chet t¤i x v 

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

(ii) tªp C-lçi; ¡nh x¤ λ ◦ Fx gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi(∀i ∈ I(x)) l 

∂M P-tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n

C Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP)

Nhªn x²t 2.1 N¸u Q câ cì sð B l  tªp âng bà ch°n th¼ i·u ki»n λ ∈ Q4(B)trong c¡c ành lþ 2.5 v  ành lþ 2.6 câ thº ÷ñc thay bði λ ∈ int Q∗

2.1.2 i·u ki»n KarushKuhnTucker cho nghi»m si¶u húu hi»u àa

ph֓ng

i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n(CVEP) ÷ñc ph¡t biºu qua ành lþ sau

ành lþ 2.7 Cho x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa (CVEP) Gi£

sû Fx(x) = 0; H(x) l  tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy(CQ) thäa m¢n Khi â, tçn t¤i µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ L) v  h mli¶n töc, thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ành lþ 2.1 saocho

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗

Vîi X, Y l  c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v  F kh£ vi ch°t, ta câ ành

lþ sau

ành lþ 2.9 Gi£ sû x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n(CVEP) v  c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1 thäa m¢n Hìn núa, gi£ sû r¬ng Fx

kh£ vi ch°t t¤i x vîi ¤o h m ch°t DsFx(x) Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

Sû döng c¡c k¸t qu£ trong Möc 2.1.1, ta nhªn ÷ñc c¡c i·u ki»n õ tèi

÷u t÷ìng ùng cho c¡c nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP)

2.2 p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i

to¡n tèi ÷u vectì

C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»ucõa b i to¡n (CVVI) l¦n l÷ñt ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.10 Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶uhúu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVVI) Gi£ sû H(x) l  tªp âng y¸u*;Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) sao cho

(ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗, trong

â intQ∗ l  ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh trong Y∗

C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»ucõa b i to¡n (CVOP) l¦n l÷ñt ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 2.11 Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶uhúu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVOP) Gi£ sû H(x) l  tªp âng y¸u*;Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n, trong â Fx ÷ñc thaybði f Khi â,

(i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ J) v  mët h m li¶ntöc thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ành lþ 2.1 sao cho