PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ MITC3+ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ VỚI HÀM BUBBLE (bCS – MITC3+)

Với những ưu điểm nổi trội như kết quả tính toán có độ chính xác cao, mạnh mẽ khi phân tích các bài toán phức tạp, kết hợp tốt các lý thuyết khác nhau trong quá trình phân tích...Tuy nhi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN HOÀNG PHÚC

PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ MITC3+

ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ VỚI HÀM BUBBLE (bCS – MITC3+)

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG

VÀ CÔNG NGHIỆP - 60580208

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10/2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 2016

Nguyễn Hoàng Phúc

Vì kiến thức và thời gian thực hiện luận văn thạc sĩ có hạn nên không tránh khỏinhững hạn chế và thiếu sót Tôi rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 2016

Nguyễn Hoàng Phúc

TÓM TẮT

Trong luận văn này, kỹ thuật biến dạng trơn trên miền phần tử được phát triểncho phần tử vỏ phẳng 3 nút được xây dựng từ các hàm dạng bậc 2 bằng cách thêm vào nút bubble tại trọng tâm phần tử Hiện tượng “khóa cắt” khi chiều dày của phần

tử tiến về không được khắc phục bằng kỹ thuật MITC3+ do Lee và cộng sự đề xuấtnăm 2014 Nhờ kết hợp kỹ thuật làm trơn và khử “khóa cắt” MITC3+, phần tử đượcphát triển trong luận văn này, gọi là bCS-MITC3+, có khả năng tính toán các kếtcấu tấm, vỏ dày và mỏng

Sự hiệu quả và thiết thực của phần tử bCS-MITC3+ được đánh giá bằng việcgiải quyết một số bài toán của kết cấu tấm, vỏ Đầu tiên, phần tử bCS-MITC3+ vượtqua các bài toán kiểm tra phần tử Thứ hai, một số bài toán kết cấu tấm với dạng hình học khác nhau được giải quyết Cuối cùng, phần tử bCS-MITC3+ được sửdụng tập trung giải quyết các bài toán kết cấu vỏ với các dạng hình học, tải trọng và điều kiện biên phức tạp Kết quả tính toán bằng phần tử bCS-MITC3+ tương tự vớikết quả của các phần tử vỏ 3 nút khác, đặt biệt cho kết quả tốt hơn trong một sốtrường hợp

ABSTRACT

In this thesis, the cell-based strain smoothing approach was developed for a three-node triangular flat shell element that uses second-order shape functions to approximate the displacement fields by adding a bubble node at the centroid of the element The “shear locking” phenomenon, which occurs when the thickness of the element goes to zero, is eliminated by employing the MITC3+ technique derived by Lee et al., 2014 Thanks to strain smoothing and MITC3+ techniques, the proposed element, namely bCS-MITC3+, can compute both thin and thick plate and shell structures

The efficiency and robustness of the bCS-MITC3+ element are evaluated by solving some plate and shell problems Firstly, the bCS-MITC3+ element passed the patch test and isotropic element test Secondly, some plate structures with different geometry are solved Lastly, the bCS-MITC3+ element is used to solve several benchmark shell problems As compared to other similar shell elements, the bCS-MITC3+ element can give numerical results in good agreements, or more accuracy

in some cases

MỤC LỤC

Quyết định giao đề tài

Xác nhận hoàn thành luận văn

Lý lịch khoa học i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Tóm tắt iv

Abstract v

Mục lục vi

Danh sách các ký hiệu viii

Danh mục bảng xi

Danh mục hình xii

Chương 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, các kết quả trong nước và ngoài nước đã công bố 1

1.1.1 Giới thiệu 1

1.1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu 3

1.1.3 Tình hình nghiên cứu trong nước 4

1.1.4 Tình hình nghiên cứu nước ngoài 5

1.2 Mục đích nghiên cứu 6

1.3 Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài 6

1.4 Phương pháp nghiên cứu 6

Chương 2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT CHO VỎ 8

2.1 Giả thiết 8

2.2 Trường chuyển vị đặc trưng 9

2.3 Trường biến dạng 9

2.4 Trường ứng suất 11

2.5 Các thành phần nội lực 12

Chương 3 CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN bCS-MITC3+ 16

3.1 Giới thiệu 16

3.2 Xây dựng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút sử dụng hàm bubble trong hệ tọa độ cục bộ 17

3.2.1 Phần tử màng tam giác 3 nút sử dụng hàm bubble 17

3.2.2 Phần tử tấm tam giác 3 nút sử dụng nút bubble 19

3.2.3 Kỹ thuật khử khóa cắt của phần tử MITC3+ 23

3.2.4 Công thức phần tử hữu hạn trơn bCS – MITC3+ 24

3.2.4.1 Làm trơn biến dạng màng 24

3.2.4.2 Làm trơn biến dạng uốn 26

3.2.5 Kỹ thuật nén bậc tự do của nút bubble 28

3.3 Phần tử vỏ phẳng bCS–MITC3+ trong hệ trục tọa độ toàn cục 29

Chương 4 VÍ DỤ SỐ 31

4.1 Bài toán kiểm tra sự không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút của phần tử 31

4.2 Kiểm tra bài toán Patch test 32

4.3 Tấm vuông liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều 33

4.4 Tấm xiên tựa đơn chịu áp lực phân bố đều 37

4.5 Tấm tròn liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều 39

4.6 Vỏ trụ liên kết ngàm chịu tải trọng tập trung 42

4.7 Mái vòm ngàm hai cạnh chịu tải phân bố đều 44

4.8 Vỏ yên ngựa chịu trọng lượng bản thân 46

4.9 Vỏ bán cầu khoét lỗ ở giữa chịu tải trọng tập trung 48

Chương 5 KẾT LUẬN 51

5.1 Kết luận 51

5.2 Kiến nghị 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

PHỤ LỤC 54

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU

u, v, w Chuyển vị tại điểm bất kỳ theo phương x, y, z

u0, v0, w0 Các thành phần chuyển vị được tính tại mặt trung bình

x

xy

W ,Wxz, Wyz Ứng suất cắt trên các mặt có vector pháp tuyến là x, y, z

d e Vector chuyển vị nút của phần tử

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1: Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d=1/10000 23

Bảng 4.1: So sánh chuyển vị tại điểm đặt lực khi phân tích tấm bằng phần tử bCS-MITC3+ theo các trường hợp khác nhau 32

Bảng 4.2: So sánh chuyển vị w5góc xoay Ʌx5, Ʌy5 và mômen m x5 , m y5 , m xy5 khi phân tích tấm bằng phần tử bCS-MITC3+ và giá trị chính xác [30] 33

Bảng 4.3: So sánh kết quả chuyển vị tương đối tại tâm của tấm 34

Bảng 4.4: So sánh kết quả chuyển vị tương đối tại tâm của tấm với t/L nhỏ dần 34

Bảng 4.5: So sánh kết quả chuyển vị tương đối lớn nhất trong tấm với t/L = 0.001. 38

Bảng 4.6: So sánh kết quả chuyển vị tương đối lớn nhất trong tấm 40

Bảng 4.7: So sánh kết quả chuyển vị w (10-5) tại điểm đặt lực của vỏ 43

Bảng 4.8: So sánh kết quả chuyển vị lớn tại điểm A của vỏ 45

Bảng 4.9: So sánh kết quả chuyển vị w (10-3) tại điểm E (x = L/2, y = 0) của vỏ 47

Bảng 4.10: So sánh kết quả chuyển vị tại điểm đặt lực 50

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Một số dạng kết cấu vỏ trong tự nhiên hoặc nhân tạo [Internet] 1

Hình 2.1 Góc xoay pháp tuyến trong giả thiết Mindlin 9

Hình 2.2 Các thành phần ứng suất phân bố theo bề dày tấm 11

Hình 2.3 Các thành phần nội lực trong tấm 12

Hình 3.1 Mô hình phần tử vỏ phẳng trong hệ trục tọa độ toàn cục (X,Y,Z) và hệ tọa độ cục bộ (x,y,z) 17

Hình 3.2 Phần tử màng tam giác 3 nút có nút bubble 17

Hình 3.3 Mô hình phần tử tấm tam giác 3 nút sử dụng thêm nút bubble ở trọng tâm 19

Hình 3.4 Điểm buộc của phần tử MITC3+ 23

Hình 3.5 Ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 3 nút 1, 2, 3 và điểm trọng tâm của tam giác 25

Hình 4.1 Mô phỏng tấm tam giác theo các trường hợp đánh thứ tự nút khác nhau 31 Hình 4.2 Mô phỏng tấm Patch test 32

Hình 4.3.Tấm vuông liên kết ngàm bốn cạnh chịu tải phân bố q 33

Hình 4.4 Chuyển vị tương đối tại tâm của tấm với t/L=0.1 35

Hình 4.5 Chuyển vị tương đối tại tâm của tấm với t/L=0.001 36

Hình 4.6 Sai số chuyển vị tương đối tại tâm của tấm với t/L=0.001 36

Hình 4.7 Tấm xiên bốn cạnh tựa đơn chịu tải phân bố q 37

Hình 4.8.Chia lưới phần tử cho tấm xiên 30o 38

Hình 4.9 Chuyển vị tương đối lớn nhất trong tấm xiên với t/L=0.001 38

Hình 4.10 Tấm tròn liên kết ngàm chịu tải phân bố q 39

Hình 4.11 Chia lưới 24 phần tử cho ¼ tấm tròn liên kết ngàm chịu tải phân bố q 40

Hình 4.12 Chuyển vị tương đối lớn nhất trong tấm tròn với t/L=0.2 41

Hình 4.13 Chuyển vị tương đối lớn nhất trong tấm tròn với t/L=0.02 41

Hình 4.14 Vỏ trụ liên kết ngàm ở hai đầu chịu tải trọng tập trung 42

Hình 4.15 Chia lưới 8x8 phần tử tam giác 43

Hình 4.16 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ với các kiểu phần tử khác nhau 43

44

Hình 4.17 Biểu đồ so sánh sai số chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ 44

Hình 4.18 Mái vòm liên kết ngàm ở hai đầu chịu tải trọng bản thân 45

Hình 4.19 Chia lưới 8x8 phần tử tam giác 45

Hình 4.20 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm A của vỏ với các kiểu phần tử khác nhau 46Hình 4.21 Vỏ yên ngựa ngàm một biên chịu trọng lượng bản thân 47Hình 4.22 Chia lưới 8 x 8 phần tử tam giác 47Hình 4.23 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm E của vỏ với các kiểu phần tử khác nhau 48Hình 4.24 ¼ vỏ bán cầu khoét một lỗ 180chịu tải tập trung 49Hình 4.25 Chia lưới 8x8 phần tử tam giác 49Hình 4.26 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ với các kiểu phần tửkhác nhau 50

vỏ có tính thẩm mỹ cao và đã truyền cảm hứng thiết kế cho rất nhiều kiến trúc sưsáng tác ra những công trình vĩ đại

Hình 1.1 Một số dạng kết cấu vỏ trong tự nhiên hoặc nhân tạo [Internet].

Mục tiêu trong việc thiết kế kết cấu vỏ là bề dày của vỏ mỏng nhất có thể đểgiảm thiểu trọng lượng bản thân, tiết kiệm vật liệu và có tính thẩm mỹ cao Việc phân tích chi tiết một kết cấu vỏ theo yêu cầu để có được một thiết kế hiệu quảthường là một vấn đề khó khăn và đầy thử thách Điều đó đã thúc giục những nỗ lựcnghiên cứu không ngừng của các nhà khoa học trong việc xây dựng những phương pháp phân tích kết cấu vỏ một cách tốt nhất.

Những lý thuyết vỏ khác nhau đã được xây dựng và phát triển kèm theo đó là các phương pháp để giải quyết bài toán mà điển hình nhất là phương pháp giải tích

và phương pháp số Tuy nhiên phương pháp giải tích chỉ áp dụng tính toán cho những kết cấu vỏ đơn giản, đối với những bài toán phức tạp, phương pháp này gặpnhiều khó khăn trong quá trình giải các phương trình toán học Khi kết cấu vỏ có hình dạng, tải trọng và điều kiện biên phức tạp

Cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học máy tính, các phương pháp sốđược xây dựng và có những phát triển quan trọng Một trong những phương pháp sốđược sử dụng phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Với những ưu điểm nổi trội như kết quả tính toán có độ chính xác cao, mạnh mẽ khi phân tích các bài toán phức tạp, kết hợp tốt các lý thuyết khác nhau trong quá trình phân tích Tuy nhiên, các phương pháp phần tử hữu hạn thông thường vẫn còn những hạn chếnhất định liên quan đến kỹ thuật rời rạc phần tử, độ chính xác, tính ổn định… Do

đó, việc đề xuất những cải tiến cho các phương pháp phần tử hữu hạn hiện hữu luôn giữ vai trò quan trọng Hướng nghiên cứu này luôn mang tính thời sự trong nhiềuthập kỷ qua

Một trong những loại phần tử phổ biến dùng để phân tích kết cấu vỏ là phần tửđẳng tham số Tuy nhiên, trong quá trình phân tích kết cấu vỏ phần tử này thường xuất hiện hiện tượng “khóa cắt” (shear locking) khi chiều dày vỏ rất nhỏ so với kích thước hai phương còn lại (vỏ mỏng) khi đó năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng cắt sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần uốn gây ra Hiện nay có rất nhiều phương pháp đã và đang được

nghiên cứu đưa ra để giải quyết hiện tượng khóa cắt như Discrete shear gap method (DSG), Mindlin plate element (MIN), Mix interpolation of tensorial components (MITC)…

Hiện nay, để cho kết quả chính xác hơn khi sử dụng các phương pháp DSG,MIN, MITC, đã có nhiều nghiên cứu trên thế giới kết hợp một số phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) thay thế phương pháp phần tử hữu hạn thông thường

để phân tích kết cấu vỏ cho kết quả chính xác hơn như: ES-DSG, NS-DSG, DSG, ES-MIN3, CS-MIN3, Sử dụng 3 phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) cơ bản: làm trơn trên cạnh (Egde), nút (Node) hoặc phần tử (Cell) Hiện tại, chưa có nghiên cứu nào đề cập đến việc kết hợp khử “khóa cắt” bằng kỹ thuậtMITC3+ và làm trơn trên phần tử (Cell) sử dụng hàm bubble để phân tích kết cấuvỏ

CS-Đề tài này phân tích kết cấu vỏ dựa trên các cơ sở lý thuyết đã được nghiên cứu

là cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên phần tử (CS-FEM) sử dụng hàm bubble kết hợp với phần tử tam giác 3 nút MITC3+

để phân tích kết cấu vỏ Phần tử này gọi là bCS-MITC3+

1.1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Phương pháp phần tử hữu hạn MITC được nghiên cứu và phát triển để khử hiệntượng khóa cắt rất hữu hiệu khi nghiên cứu tấm/vỏ mỏng, với các nghiên cứu ban

tấm/vỏ, sau đó được mở rộng phát triển đên 9 nút (MITC9) và 16 nút (MITC16)

những kết quả rất tốt

Phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) được xây dựng bởi Tác giả Liu và

làm trơn trên nút (NS-FEM), làm trơn trên phần tử (CS-FEM)…, để phân tích kếtcấu tấm/vỏ đã đạt được những thành công nhất định

Là một trong các phương pháp đang được nghiên cứu hiện nay để giải quyếthiện tượng khóa cắt Phần tử MITC được nghiên cứu và phát triển kết hợp với các phương pháp làm trơn như: CS-FEM, NS-FEM, ES-FEM, bES-FEM Và áp dụng

để nghiên cứu kết cấu tấm/vỏ một cách mạnh mẽ

1.1.3 Tình hình nghiên cứu trong nước

Hiện nay, tại Việt Nam một số nghiên cứu đã đề cập đến bài toán phân tích tấm/vỏ bằng phương pháp phân tử hữu hạn trơn, một số công trình nghiên cứu như:

cấu tấm/vỏ” sử dụng lý thuyết cắt bậc nhất kết hợp với kỹ thuật làm trơn cho phần

tử vỏ phẳng giải quyết một số ví dụ từ đó đưa ra kết luận

nhiều lớp sử dụng lý thuyết Layerwise bằng phần tử hữu hạn trơn CS-MIN3” đã ứng dụng phần tử hữu hạn trơn CS-MIN3 giải quyết một số bài toán phân tích tĩnh

và dao động tự do cho vỏ Composite nhiều lớp từ đó đưa ra kết luận

structures via a smoothed four-node flat element” Đã sử dụng phần tử hữu hạn trơncho phần tử vỏ phẳng tứ giác 4 nút để phân tích phi tuyến hình học kết cấu dạngtấm/vỏ

tuyến hình học kết cấu tấm/vỏ composite sử dụng phần tử tứ giác trơn” Đã giảiquyết một số bài toán kết cấu tấm/vỏ composite và đưa ra kết luận

Các nghiên cứu trong nước về phương pháp phần tử hữu hạn trơn phân tích kếtcấu tấm/vỏ còn ít và chưa có nghiên cứu nào đề cập đến phương pháp phần tử hữuhạn trơn dựa trên phần tử sử dụng hàm bubble kết hợp phần tử MITC3+ để phân tích kết cấu vỏ

1.1.4 Tình hình nghiên cứu nước ngoài

Phân tích tấm vỏ bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã được nghiên cứu bởinhiều tác giả trên thế giới, một số nghiên cứu như:

triangular shell finite elements” đã đề xuất và xây dựng phần tử hữu hạn MITC cho phần tử tấm/vỏ tam giác 3 nút (MITC3) và 6 nút (MITC6) để phân tích và khử hiệntượng khóa cắt cho kết cấu tấm/vỏ

với hàm bubble đặt ở trọng tâm tam giác trong đề tài “The MITC3+ shell element and its performance”

(S-FEM) với nhiều phương pháp làm trơn như: Làm trơn trên cạnh (ES-(S-FEM), làm trơn trên nút (NS-FEM), làm trơn trên phần tử (CS-FEM)…, để phân tích kết cấutấm/vỏ đã đạt được những thành công nhất định

finite element method softened with a bubble function (bES-FEM) for solid mechanics problems” đã kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn trên cạnh

sử dụng hàm bubble tạo thành phương pháp (bES-FEM) giải quyết bài toán 2D

để phân tích kết cấu vỏ phẳng tứ giác bốn nút Cho ra kết quả phân tích rất tốt

Dựa trên những nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trơn nền tảng trước

phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-DSG3 sử dụng phần tử tam giác 3 nút Phương pháp này sử dụng kỹ thuật DSG để khử hiện tượng “khóa cắt” kết hợp vớiphương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM khi phân tích vỏ với những ưu điểmvượt trội đã cho kết quả rất tốt

Qua các đề tài trên cho thấy hầu hết các nghiên cứu ngoài nước đều sử dụng kỹthuật DSG hoặc MIN3 để khử hiện tượng “khóa cắt” khi phân tích tấm/vỏ, một số

tác giả sử dụng MITC để nghiên cứu vỏ nhưng chưa có đề tài kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn bCS-FEM kết hợp phương pháp MITC3+ Trong đề tài này sẽ

đề xuất phần tử bCS-MITC3+ để giải quyết hiện tượng “khóa cắt” khi phân tích vỏ

Vì vậy, tác giả chọn đề tài này mang tên “Phân tích kết cấu vỏ bằng phần tử

MITC3+ được làm trơn trên phần tử với hàm bubble (bCS-MITC3+)”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là nhằm phân tích kết cấu vỏ sử dụng phần

tử vỏ MITC3+ kết hợp phương pháp làm trơn trong phần tử CS-FEM tạo nên phần

tử vỏ phẳng bCS-MITC3+

Nghiên cứu này sẽ đánh giá khả năng ứng dụng của phần tử bCS-MITC3+ cho phân tích kết cấu vỏ bằng cách so sánh kết quả đạt được với kết quả tham khảo

1.3 Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài

Nhiệm vụ của đề tài là thiết lập công thức phương pháp phần tử hữu hạn vỏphẳng kết hợp giữa phần tử MITC3+ và kỹ thuật làm trơn trên phần tử có sử dụng nút bubble

Áp dụng giải quyết một số bài toán kết cấu vỏ đàn hồi tuyến tính tĩnh bằng phầnmềm Matlab sau đó so sánh kết quả với các nghiên cứu trước đó

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu được thực hiện trong đề tài này là phương pháp nghiên cứu lý thuyết tấm/vỏ biến dạng cắt bậc nhất, nghiên cứu và phát triển công thứcphần tử hữu hạn vỏ phẳng bCS-MITC3+

Công thức lý thuyết sau khi thiết lập sẽ được lập trình tính toán để mô phỏngmột số các bài toán điển hình của kết cấu tấm/vỏ

Kết quả mô phỏng số của một số bài toán kết cấu vỏ điển hình sẽ được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước đó, để đánh giá tính hiệu quả và chính xác củanghiên cứu này.

Giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm cổ điển của Kirchoff [17]là: bỏ qua ứng suất

bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến dạngcắt ngang (ɀxz= ɀyz= 0) Tuy nhiên, khi tính tấm dày hoặc tấm nhiều lớp thì việc bỏqua các biến cắt ngang sẽ không hợp lý

Để kể đến biến dạng cắt, Reissner xem rằng các góc xoay của các đoạn thẳng

vuông góc mặt trung bình trong các mặt phẳng xz và yz, cùng với hàm độ võng được

đã đơn giản hóa giả thiết này và xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến này vuông góc với mặt trung gian trước khi biến dạng, sau khi biến dạng vẫn thẳng nhưng không vuông góc với mặt phẳng biến dạng (ɀxz≠ Ͳǡɀyz≠ 0) tức là góc xoay trung bình củamặt cắt ngang có thể xem như góc xoay của pháp tuyến cộng thêm góc xoay do biến

bằng 0 như giả thiết Kirchoff

Hình 2.1 Góc xoay pháp tuyến trong giả thiết Mindlin

2.2 Trường chuyển vị đặc trưng

Theo giả thiết của Mindlin – Reissner, trường chuyển vị được biểu diễn như sau:

0 0 0

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

x y

E E

Trong đó các giá trị u0, v0, w0 là các thành phần chuyển vị được tính tại mặt

trung bình, βx, βy là góc xoay tương ứng quanh trục y và trục xcủa các đoạn thẳng

pháp tuyến sau khi biến dạng nhưng tuy vẫn còn thẳng nhưng không còn vuông góc với mặt trung hòa

2.3 Trường biến dạng

Từ trường chuyển vị (2.1) các biến dạng được xác định như sau:

Biến dạng trong mặt phẳng:

(2.1)

y

xy

u x v y

y y

y x

EH

EE

m

u x v y

y x

z x z y

EEEE

Biến dạng ngoài mặt phẳng (biến dạng cắt):

0 0

x x

Kết cấu tấm, vỏ được phân tích theo trạng thái ứng suất phẳng như Hình 2.2.

Hình 2.2 Các thành phần ứng suất phân bố theo bề dày tấm.

Khi đó mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được biểu diễn thông qua định luật Hooke như sau:

1 2

Trong đó v, E là hệ số poisson và mô đun đàn hồi của vật liệu

Có thể viết lại công thức (2.7) và (2.8) như sau

Hợp lực của các ứng suất phân bố theo bề dày tấm trên một đơn vị dài như Hình

2.3 được gọi là thành phần nội lực tấm Mối quan hệ giữa nội lực và ứng suất

2 2

­ ½ ­ ½

® ¾ ® ¾

¯ ¿ ³ ¯ ¿

Với k=5/6 là hệ số hiệu chỉnh cắt cho vật liệu đẳng hướng, công thức (2.26) có

thể được viết lại như sau:

h

s h

Từ các công thức (2.20), (2.25) và (2.29) ta có phương trình biểu diễn mối quan

hệ giữa nội lực và biến dạng mặt trung bình thông qua định luật Hooke như sau:

m b s

nhưng có độ cong không đổi hoặc thay đổi theo các phương x và y Có thể coi kết

cấu tấm phẳng là trường hợp riêng của kết cấu vỏ, khi bán kính cong bằng vô cùng

Có nhiều loại phần tử vỏ đã được xây dựng và phát triển như: phần tử vỏ phẳng, phần tử vỏ cong, phần tử vỏ khối,… trong đó phần tử vỏ phẳng là loại xuất hiệnsớm nhất khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính vỏ Phần tử vỏ phẳng làm giảm tính chất phức tạp của bài toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác của kết quả

Khi vỏ được chia thành một số hữu hạn các phần tử có kích thước đủ nhỏ, thì mỗi phần tử có thể xem như là phần tử tấm phẳng chịu uốn với một phương xác định trong không gian Tuy nhiên, mỗi phần tử này lại có phương véctơ pháp tuyếncủa mặt khác nhau (Hình 3.1), vì vậy biến dạng uốn trong phần tử này có thể gây ra biến dạng trong mặt phẳng cho phần tử kế tiếp [17]

Kết quả là, một phần tử vỏ có thể được xác định như là tổ hợp của một phần tử

minh họa trong Hình 3.1.

Hình 3.1 Mô hình phần tử vỏ phẳng trong hệ trục tọa độ toàn cục (X,Y,Z) và hệ tọa

3.2.1 Phần tử màng tam giác 3 nút sử dụng hàm bubble

Xét một phần tử màng tam giác 3 nút sử dụng thêm nút bubble đặt ở trọng tâm,

mỗi nút có 2 bậc tự do là chuyển vị u và v theo phương x và y tương ứng như Hình

3.2

Hình 3.2 Phần tử màng tam giác 3 nút có nút bubble.

Trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử được xấp xỉ như sau:

Lần lượt là hàm nội suy song tuyến tại nút 1, 2, 3 và nút bubble của phần tử[13]

Từ công thức (2.5) và (3.1) các thành phần biến dạng trong mặt phẳng được xác định bằng đạo hàm của chuyển vị theo tọa độ được biểu diễn như sau:

0

4 0

1

00

i

i i

dmlà vector chuyển vị nút của phần tử

Bmlà ma trận quạn hệ giữa biến dạng và chuyển vị màng

Từ mối liên hệ giữa biến dạng với chuyển vị và biểu thức năng lượng biến dạng

3.2.2 Phần tử tấm tam giác 3 nút sử dụng nút bubble

Phần tử tấm tam giác 3 nút chịu uốn và chịu cắt sử dụng nút bubble ở trọng tâm

Ʌy là chuyển vị xoay quanh trục x, y tương ứng Tại nút bubble ở trọng tâm chỉ kểđến 2 bậc tự do là Ʌxvà Ʌy

Hình 3.3 Mô hình phần tử tấm tam giác 3 nút sử dụng thêm nút bubble ở trọng tâm.

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Trường chuyển vị trong phần tử được xấp xỉ thông qua các bậc tự do ở các nút ởđỉnh và nút bubble như sau:

y i

x

i xy

Trong đó: dblà vetor chuyển vị nút của phần tử

Bb là ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn

i

yi

T T

­ ½

° ° ® ¾