Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết.

Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS TẠ THỊ HOÀI AN

THÁI NGUYÊN – 2008

Môc lôc 1Lêi më ®Çu 2

1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh 51.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh 131.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®­êng cong chØnh h×nh 17

2 §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt 202.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî 202.2 C¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt 31KÕt luËn 41

1

Lý thuyết Nevanlinna ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20 và đãnhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Lý thuyếtNevanlinna cổ điển nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình f thôngqua hàm đặc trưng T (f, a, r) - hàm đo cấp tăng của hàm phân hình, hàm đếm

N (f, a, r) - đếm số lần hàm f nhận giá trị a trong đĩa bán kính r, và hàmxấp xỉ m(f, a, r) - đo độ gần đến a của hàm f (xem Định nghĩa 1.1.3, 1.1.1,

và 1.1.2) Trọng tâm của lý thuyết này là hai định lý cơ bản Định lý cơ bảnthứ nhất thể hiện sự độc lập của hàm đặc trưng với mọi giá trị a ∈ C ∪ {∞}

Định lý cơ bản thứ hai nói rằng với hầu hết các giá trị a, hàm đếm N(f, a, r)trội hơn hẳn hàm xấp xỉ m(f, a, r) Điều này dẫn đến định nghĩa số khuyếtcủa hàm f tại giá trị a như sau

δ(f, a) 6 2

Mặt khác, Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy rằng số khuyết của hàm phânhình tại một giá trị nào đó nằm trong đoạn [0, 1] Hơn nữa người ta đã chứngminh được rằng tập các giá trị khuyết là đếm được Như vậy một câu hỏi tựnhiên được đặt ra là: Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, giả sử {δi} là dãy các số thựckhông âm sao cho

0 < δi ≤ 1, X

i

δi ≤ 2

2

Giả sử ai, là các số phân biệt trong C ∪ {∞} Tồn tại hay không hàm phânhình f trên C thỏa mãn δ(f, ai) = δi, và δ(f, a) = 0 cho mọi a /∈ {ai}?Câu hỏi trên còn được biết như là bài toán ngược của Nevanlinna.

Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu bài toán ngược của Nevanlinna, cụthể Nevanlinna [9], Lê Văn Thiêm [11], Hayman [4], đã giải quyết bài toánnày cho một số trường hợp đặc biệt Đến năm 1976 vấn đề trên đã được giảiquyết trọn vẹn bởi D Drasin trong [3] Trong công trình này, Drasin khôngchỉ xét bài toán ngược của Nevanlinna cho số khuyết mà còn cho số khuyết

rẽ nhánh Vậy, bài toán về sự tồn tại của hàm phân hình với hữu hạn hay vôhạn giá trị khuyết đã được nghiên cứu khá trọn vẹn

Như ta đã biết hàm phân hình có thể được xem là đường cong chỉnhhình từ C vào P1

(C) Do đó, việc mở rộng lý thuyết Nevanlinna cổ điểncho các đường cong chỉnh hình vào Pn

(C) với n > 2 là một điều tự nhiên

H Cartan [1] đã chứng minh định lý sau (được gọi là định lý Cartan cho đường cong chỉnh hình cắt các siêu phẳng)

Nevanlinna-Định lý Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn

(C) Cho H1, , Hq làcác siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh Pn

(C) Khi đóq

Xj=1δ(Hj, f ) 6 n + 1

Tương tự với trường hợp hàm phân hình, người ta cũng nghiên cứu tínhchất của số khuyết của đường cong chỉnh hình Với n > 2, các ví dụ về

đường cong chỉnh hình với hữu hạn giá trị khuyết đã được đưa ra bởi nhiềutác giả, trong khi đó, việc xây dựng đường cong chỉnh hình có vô hạn giá trịkhuyết không dễ chút nào Năm 2004, N Toda [12] đã nghiên cứu và đưa racác ví dụ cho đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn giá trị khuyết.Mục đích chính của luận văn là trình bày lại những kết quả đó của N Todamột cách có chọn lọc theo bố cục riêng của tác giả nhằm trả lời một phầncác câu hỏi trên

Luận văn được chia thành 2 chương

Chương1 Kiến thức chuẩn bị Được trình bày với mục đích cung cấp cáckiến thức cần thiết để cho người đọc dễ theo dõi chứng minh các kết quảcủa chương sau Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ

bản của lý thuyết Nevanlinna: Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình vàcho đường cong chỉnh hình, quan hệ số khuyết cho hàm phân hình và nhữngkiến thức liên quan, và chứng minh rằng tập hợp các giá trị a sao cho hàm

số khuyết của một hàm phân hình tại điểm a dương là đếm được

Chương 2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết Đây là chươngchính của luận văn Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các đường congchỉnh hình có vô số số khuyết dương Chương này được chia thành hai phần.Phần thứ nhất, chúng tôi đưa ra các kết quả bổ trợ như xây dựng lại kháiniệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng, số khuyết, giá trị khuyết, cho

đường cong chỉnh hình và một số tính chất cơ bản, dễ thấy nhưng tương đốiquan trọng vì nó được sử dụng nhiều khi chứng minh những kết quả sâu hơn

ở những phần sau

Phần thứ hai, trình bày các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trịkhuyết Kết quả chính của chương này là Định lý 2.2.8 và Định lý 2.2.9.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của

TS Tạ Thị Hoài An Dưới sự hướng dẫn của cô, tôi đã bước đầu làm quen vàsay mê hơn trong nghiên cứu toán Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng

và biết ơn sâu sắc tới cô

Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, khoa Sau đại học

ĐHSPTN, Viện Toán học Việt Nam, các thầy, cô giáo đã trang bị kiến thức,tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập, đặc biệt là thầy Hà Trần Phương.Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp củatôi ở trường THPT Lương Thế Vinh Thái Nguyên, các anh, chị học viên lớpcao học khoá 14 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập Nhân đây,tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Tuấn Long đã giúp đỡ tôi rấtnhiều trong quá trình nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình: bố, mẹ, và em gái

đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này

f − a, ∞, r

.1.1.1 Định nghĩa Hàm đếm tính cả bội N(f, a, r), (tương ứng, hàm đếmkhông tính bội N(f, a, r)), của hàm f tại giá trị a được định nghĩa như sau

N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

Z r 0

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

dt

t ,

5

(tương ứng,

N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

Z r 0

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

(ord+

z f ) log | r

z |,

trong đó D(r) là đĩa có bán kính r và ord+

zf = max{0,ordzf } là bội củakhông điểm

1.1.2 Định nghĩa Hàm xấp xỉ m(f, a, r) của hàm f tại giá trị a ∈ C được

định nghĩa như sau

m(f, a, r) =

Z 2π 0log+

1

f (reiθ) − a

dθ2π,và

m(f, ∞, r) =

Z 2π 0

log+ | f (reiθ) | dθ

2π,trong đó log+

T (f, a, r) ≥ N (f, a, r) + O(1),trong đó O(1) là một đại lượng bị chặn khi r → ∞

1.1.4 Định nghĩa Cấp của hàm phân hình f được định nghĩa bởi công thức

ρ(f ) = lim sup

r→∞

log T (r, f )log r .Nếu ρ(f) = ∞ thì f được gọi là có cấp vô hạn, nếu 0 < ρ(f) < ∞ thì f

được gọi là có cấp hữu hạn

Ta nói f có dạng tối đại nếu C = ∞, có dạng trung bình nếu 0 < C < ∞,

có dạng tối tiểu nếu C = 0

1.1.5 Ví dụ Nếu f là hàm hữu tỷ thì T (f, r) = O(log r), do đó hàm hữu tỷ

có cấp 0 Nếu f = ez thì T (f, r) = r/π + O(1), do đó ez có cấp 1, dạngtrung bình Hàm eez là hàm có cấp vô hạn

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − φ) + r2dφ+

+

MXà=1log

dϕ

Trường hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong{|z| ≤ R}, với z tuỳ ý, z = reiθ(0 < r < R)

|ω| = R |ξ − z|

|R2 − zξ|

vµ |ξ| = R ⇒ ξξ = |ξ|2

= R2suy ra

R2z

> R nghÜa lµ ®iÓm R2

z n»m ngoµi |ξ| ≤ R nªnhµm log f(ξ) 1

|ξ|=Rlog f (ξ)

= 12iZ

|ξ|=Rlog f (ξ)

1

ξ − z +

z

R2 − zξ

dξ,

R2 − r2(ξ − z) ξξ − zξ
=

R2 − r2

ξ |ξ − z|2.

Mặt khác

ξ = Reiϕ = R cos ϕ + iR sin ϕ,

z = reiθ = r cos θ + ir sin θ,

ξ − z = (R cos ϕ − r cos θ) + i (R sin ϕ − r sin θ) ,

|ξ − z|2 = (R cos ϕ − r cos θ)2 + (R sin ϕ − r sin θ)2

2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ (1.4)Lấy phần thực hai vế của (1.4) ta được

log |f (z)| = 1

2π

2πZ0log f (Reiϕ)

hội tụ đến zk 0 ∈ {|ξ| = R}và f(zk j) = 0,do đó f = 0trên một tập hợp có điểm giới hạn Điều này kéo theo f ≡ 0 suy ra vô lý.Giả sử có vô hạn không điểm {zk} , khi đó tồn tại zkj

→ z0 ∈{|ξ| = R}, z0 là điểm bất thường; vì f là hàm phân hình nên z0 là cực

điểm nghĩa là trong một lân cận của z0 hàm f chỉnh hình chỉ trừ tại z0 suy

ra vô lý vì zkj → z0 nên trong mọi lân cận của z0 đều chứa zkj nào đó màtại đó f có cực điểm

Vậy f(z) có hữu hạn không điểm và cực điểm trên biên {|z| = R} Giả

sử Z0 là không điểm hoặc cực điểm cấp k của f(ξ), Z0 ∈ ∂D Trong mộtlân cận nào đó của Z0, ta có khai triển sau:

f (ξ) = a(ξ − Z0)k+ , a 6= 0

Khi đó,

log |f (ξ)| = k log |ξ − Z0| + o(|ξ − Z0|)

Xét vòng tròn Cδ tâm Z0, bán kính δ đủ nhỏ Thay vòng tròn |ξ| = R bởivòng tròn Cδ,khi đó f không có không điểm và cực điểm trên biên của miềnmới nhận được

Quay lại trường hợp 2, ta có tích phân bên phải của bước 2 chỉ khác tíchphân ở trên vòng tròn |ξ| = R một đại lượng P

C δ

1 2πR

|ξ−Z 0 |=δ

log |f (ξ)| |dξ| Tacó

|ξ−Z0|=δ

log |f (ξ)| |dξ| → 0 Công thức được chứngminh

Trường hợp 4: Bây giờ ta xét trong trường hợp f(z) có các không điểm

và cực điểm trong |z| ≤ R

Xét hàm

ψ(z) = f (z)

QN γ=1

R(z−bγ)

R 2 −b γ z

QM à=1

R(z−a à )

R 2 −a z

Khi đó ψ(z) suy ra không có không điểm và cực điểm ở trong |ξ| 6 R vìgiả sử ngược lại ψ(z0) = 0 suy ra f(z0) = 0 Do đó ψ(ξ) bị khử đi mẫu số.Tương tự ψ(ξ) cũng không có cực điểm.

áp dụng công thức đã chứng minh ta có:

log |ψ(z)| = 1

2π

2πZ0log ψ(Reiϕ)

... 0 ∈ {|ξ| = R}và f(zk j) = 0,do f = 0trên tập hợp có điểm giới hạn Điều kéo theo f ≡ suy vô lý.Giả sử có vơ hạn khơng điểm {zk} , tồn zkj... ∈{|ξ| = R}, z0 điểm bất thường; f hàm phân hình nên z0 cực

điểm nghĩa lân cận z0 hàm f chỉnh hình trừ z0 suy

ra vơ lý zkj... Định nghĩa Cấp hàm phân hình f định nghĩa công thức

ρ(f ) = lim sup

r→∞

log T (r, f )log r .Nếu ρ(f) = ∞ f gọi có cấp vơ hạn, < ρ(f) < ∞ f