Slide hình học cơ sở: Tiên đề liên tục . Giáo trình của nguyễn mông hy

Slide hình học cơ sở: Tiên đề liên tục . Giáo trình của nguyễn mông hy

8.Lê Thị Tuyết Nga 9.Phạm Lan Phương

 1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV

1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV

Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho:

-Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà

thôi

-Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai

 Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp

Có thể coi điểm này là điểm cuối cùng của lớp thứ nhất.Hoặc là điểm đầu tiên của lớp thứ hai

Hình 1

1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV

Định nghĩa 16:Người ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm

trên một đường thẳng thành hai lớp trong tiên đề Đơđơkin là

một lát cắt Đơđơkin của đường thẳng

Chú ý: Sau khi trên một đường thẳng đã có một lát cắt

Đơđơkin ta có thể chọn một trong hai lớp làm lớp thứ nhất và khi đó lớp còn lại là lớp thứ hai Việc lựa chọn này thực chất là việc xác định hướng cho một đường thẳng

2 Các định lý

2.1.Định lý 31:

Chứng minh:

Giả sử trên đường thẳng có hai lát cắt C1 và C2

Lấy một điểm P thuộc đoạn C1C2

Hình 2

P ở giữa C1 và C2 nên P vừa thuộc lớp thứ nhất vừa thuộc lớp thứ hai điều này mâu thuẫn ( vì theo tiên dề đơđơkin điểm P chỉ có thể thuộc một và chỉ một lớp mà thôi vậy suy ra trên một đường thẳng có một lát cắt đơ đơ kin thì điểm đó là duy nhất (đpcm)

2 Các định lý

2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto)

Trên một đường thẳng a bất kì nếu ta có một dãy vô hạn các đoạn thẳng A1B1, A2B2,…,AnBn ,…sao cho mỗi đoạn sau đều nằm trong đoạn trước đó (AiBi Ai-1Bi-1)

Cho trước bất kì một đoạn thẳng AB nào ta cũng có một

số tự nhiên n để cho đoạn AnBn của dãy bé hơn đoạn AB, thì khi đó có một điểm C duy nhất thuộc tất cả các đoạn AiBi của dãy.

2 Các định lý

2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto)

Chứng minh:

Trước hết ta chứng minh sự duy nhất của điểm C.

Giả sử có hai điểm C1 và C2 cùng thuộc tất cả các đoạn thẳng của dãy tức là C1C2 AnBn với n bất kì.Điều này trái với giả thiết là bất cứ đoạn thẳng AB nào cho

trước( ở đây là C1C2 ) ta cũng có một số tự nhiên n đủ lớn

để cho đoạn AnBn của dãy bé hơn đoạn thẳng C1C2 đó

Vậy điểm C là duy nhất.

Ta chọn một hướng trên đường thẳng a và giả sử các điểm

Ai đều đi trước Bi.

2 Các định lý

2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto)

Chứng minh:

Ta chia các lớp điểm Ai , Bi với i=1,2,…,n,… đó như sau:

Tập hợp các điểm A i thuộc lớp thứ nhất và tập hợp các điểm B i

thuộc lớp thứ hai.

Theo giả thiết với i j ta có đoạn A j B j thuộc đoạn A i B i

Vì A j ở giữa A i và B j nên A i đi trước B j

Tương tự vì Bj ở giữa Aj và Bi nên Aj đi trước Bi.

Như vậy với i,j bất kì ta có Ai đi trước Bj.Sự phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên đề Đơ đơkin nên trên đường thẳng a có một lát cắt C Điểm C này ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp và là điểm

thuộc bất cứ đoạn AnBn nào.

Thật vậy nếu có một đoạn AnBn nào không chứa điểm C thì hai điểm đó sẽ thuộc cùng một lớp( trái với giả thiết).

2 Các định lý

Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)

Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kì.Khi đó có một sốhữu hạn các điểm A1 ,A2 ,….,An thuộc đường thẳng AB sắp xếpsao cho A1 ở giữa A và A2 , A2 ở giữa A1 và A3 , …., An-1 ở giữa

An-2 và An, B ở giữa A và An và sao cho các đoạn AA1,

A1A2,….,An-1An đều bằng đoạn CD

2 Các định lý

Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)

Chứng minh:

Ta chọn chiêu trên đường thẳng AB sao cho A đi trước B

Giả sử đối với hai đoạn thẳng AB và CD nào đó tiên đề

Acsimet không đúng nghĩa là với mọi n ta đều có điểm An đi trước điểm B

2 Các định lý

Ta chia tập hợp các điểm của đường thẳng AB ra hailớp như sau:Mỗi điểm đi trước một điểm Ai nào đó ( những điểm

này cũng đi trước các điểm Ai+1, Ai+2,….), được xếp vào lớp thứ nhất.Tất

cả các điểm còn lại của đường thẳng AB đượcxếp vào lớp thứ hai Mỗilớp này đều không rỗng vì lớp thứnhất chứa các điểm Ai và lớp thứ hai

Điểm Ak+1 cũng thuộc lớp thứ nhất nên Ak+1 đi trước X.

Vậy đoạn XM chứa đoạn AkAk+1 XM mà XM trùng CD nên ta suy ra

AkAk+1 trùng CD (vô lý)

2 Các định lý

Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)

Chú ý: Dựa vào các nhóm tiên đề I, II, III cùng với các tiên

đề Cangto và Acsimet người ta có thể chứng minh được tiên đề

Đơđơkin Như vậy là tiên đề Căngto và Acsimet tương đương với tiên

đề Đơđơkin

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Định nghĩa 17:

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một đoạn thẳng AB Đường tròn tâm O bán kính r là tập hợp tất cả các điểm M của mặt phẳng sao cho OM ≡ r Tập hợp các điểm X của mặt phẳng sao cho

OX < r gọi là những điểm trong đường tròn(H.64)

Tập hợp các điểm Y của mặt phẳng sao cho OY > r gọi là những điểm ngoài đường tròn

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Định lý 34:

Cho đường tròn tâm O bán kính r Nếu một đường thẳng d đi

qua một điểm P của đường tròn thì cắt đường tròn đó tại hai điểm

và chỉ hai điểm mà thôi

Chứng minh:

Ta xét hai trường hợp:

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Định lý 34:

Chứng minh:

a/ Trường hợp đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn

Vì d đi qua tâm O của đường tròn,O chia D thành 2 tia bù

nhau.Ta giả sử là Ox và Oy

Theo định lí 18,trên tia Ox ta xác định được duy nhất

điểm M sao cho OM≡r

Tương tự trên tia Oy ta xác định được duy nhất điểm N sao

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

b/ Trường hợp đường thẳng d không đi qua O

#) Chứng minh d cắtđườngtròntại 2 điểm

Định lý 34:

Chứng minh:

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Từ O hạ đường vuông góc xuống d ,cắt d tại A.Khi đó A có

thể trùng với P(Vì P là điểm bất kì nằm trên đường thẳng d)

Theo quan hệ đường xiên và đường cao thì OA ≤ OP Mà P nằmtrong đường tròn

Điểm A nằm trong đường tròn tâm O

Ta lại có điểm A chia đườngthẳng d thành 2 tia bù nhau,ta gọi làAa’và Aa’’ trong đó Aa’ là tia chứa điểm P

Ta lại chia tập hợp tất cả các điểm của Aa’ ra làm 2 lớp:

Lớp 1:gồm những điểm X của tia Aa’ sao cho AX < r

Lớp 2:gồm những điểm Y còn lại của tia Aa’

Định lý 34:

Chứng minh:

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Nhận xét :

+Tồn tại ít nhất điểm P thuộc lớp 1 nên lớp này khác rỗng

+Trên tia Aa’ ta xác định được duy nhất điểm Y saocho AY ≡r(theo định lí 18)

Trong tam giác vuông OAY có : OY>AY(quan hệ đường xiên)

Ta cần chứng minh :Mỗi điểm X của lớp 1 đều đi trước mọi

=> Từ (1) và (2) ta suy ra sự phân chia Ax thành 2 lớp đã thoả

mãn các tiên đề của Đơđơkin Khi đó có một điểm C luôn luôn

ở giữa 2 điểm bất kì thuộc 2 lớp

Ta chứng minh OC ≡ r Thật vậy,ta tiến hành xét 2 trường hợp

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Định lý 34:

Chứng minh:

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

TH1: OC<r

Trên Ax lấy điểm E sao cho CE=r – OC và thoả mãn C đi trước E

Trong ▲OCE có : OC + CE >OE

↔ OC + r – OC >OE ↔r >OE

E phải thuộc lớp 1 và E đi trước C(trái giả thiết) (3)

Định lý 34:

Chứng minh:

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

 TH2 :OC>r

Trên Ax ta lấy điểm D đi trước C sao cho :DC≡ OC – r

Trong ▲OCD ta có : OD >|OC - DC|

↔OD >|OC – OC +r| =|r| =r

↔OD > r

D phải thuộc lớp 2,và C phải đi trước D (điều này

trái giả thiết) (4)

Định lý 34:

Chứng minh:

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

 Từ (3) và (4) ta suy ra OC ≡ r, C thuộc đường tròn tâm O bán kính r và C là giao điểm của Aa’ với đường tròn

 Chứng minh tương tự, ta cũng có : C’ thuộc đường tròn tâm O, bán kính r và C’ là giao điểm của Aa’’ với đường tròn

Như vậy ta suy ra d cắt đường tròn tại 2 điểm

Định lý 34:

Chứng minh:

##)Chứng minh :d cắt đường tròn tại đúng 2 điểm

Thật vậy,ta giả sử C’’ là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn

=>OC = OC’ =OC’’=r

=>▲OCC’ và ▲OCC’’ cân tại O

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CC’ và CC’’ suy ra OE là đường cao của cân OCC’ và OF là đường cao của tam giác cân OCC’’

(trong tam giác cân đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao)

=> OE VÀ OF cùng vuông góc với đường thẳng d Điều này là vô lí

 Vậy d cắt đường tròn tâm O tại 2 điểm và chỉ 2 điểm mà thôi

(đpcm)

3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Định lý 34:

Chứng minh:

4 Đo đoạn thẳng

Định nghĩa 18 :

Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất một hàm số f(AB) thỏa mãn các điều kiện sau đây :

1 Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(AB) > 0.

2 Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ bằng nhau thì f(AB) = (A’B’).

3 Nếu có một điểm C ở chính giữa A và B thì :

f(AC) + f(CB) = f(AB)

4 Có một đoạn OE sao cho f(OE) = 1.

Hàm số f(AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB Đoạn OE gọi là đơn

vị dài hay là đoạn thẳng đơn vị

CHÚ Ý :

Bốn điều kiện nêu trong định nghĩa trên thực chất là các tiên đề về độ dài đoạn thẳng Như vậy là ứng với một đoạn thẳng AB ta có một số thực dương xác định gọi là độ dài của đoạn thẳng đó

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Với mỗi đơn vị dài cho trước , mỗi đoạn thẳng có một độ dàiduy nhất

Để chứng minh định lí này chúng ta cần hai bổ đề sau :

Bổ đề 1: Nếu AB > A’B’ thì f( AB) > f( A’B’).

Bổ đề II: Nếu ta chia đoạn thẳng đơn vị OE làm 2n phần bằng nhau (bằng cách chia làm 2 phần , 4 phần , 8 phần ) thì độ dài mỗi đoạn thẳng ứng với với mỗi phần đó bằng 1/ 2n

A

Do đó f(AB) > f (A’B’) vì độ dài đoạn thẳng là một số thực dương

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Bổ đề II: Nếu ta chia đoạn thẳng đơn vị OE làm 2n phần bằng nhau (bằng cách chia làm 2 phần , 4 phần , 8 phần ) thì độ dài mỗi đoạn thẳng ứng với với mỗi phần đó bằng 1/ 2 n

An

Ta chia đôi đoạn An – 1 An bằng điểm P1 Khi đó :

Nếu điểm B trùng với điểm P1 ta có f(AB) = n – 1/2

Nếu điểm B không trùng với P ta xét hai trường hợp:

Nếu điểm B thuộc đoạn nào đó,ta gọi tên đoạn đó là M1

M1',với M1 đi trước M1'

Nếu điểm B trùng với điểm ta có :

 f(AB ) = f(A) + f() = f(A)+ ¼

Nếu điểm B không trùng với P2 mà lại thuộc đoạn M1P2 hoặc đoạn P2M’1 thì khi đó ta có :

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Số tìm được là số đo của đoạn thẳng AB ,hay còn gọi là độ dài đoạn thẳng AB số này là 1 số thực (có thể là số nguyên hay số

hữu tỉ) và được xác định 1 cách duy nhất

Bây giờ ta cần chứng minh rằng độ dài của đoạn thẳng được xác định như trên thỏa mãn bốn điều kiện nêu ra trong định nghĩa:

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

Điều kiện 1:

Theo cách đo đoạn thẳng AB thực hiện như trường hợp 1 và

2 như trên thì f(AB) là một số dương

Điều kiện 2:

Giả sử AB=A’B’theo cách chia như trên thực hiện với các đoạn thẳng AB và A’B’với các điểm tương ứng là Mi và Ni

Ta có:

f(AM1) = f(A’N1) ; f(AM2) = f(A’N2) ; … ; f(AMp) = f(A’Np)

do đó đến giới hạn ta có : f(AB) = f(A’B’)

Theo tiên đề ASCIMET ta có 2 điểm Ak, Ak+1 và sao cho điểm

Ak thuộc đoạn CA hay trùng với A và đoạn C Ak+1 chứa điểm A

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Định lí 35:

Chứng minh định lí 35:

4 Đo đoạn thẳng

Điều kiện 4:

Áp dụng phép đo thực hiện như trên với đoạn OE ta có f(OE)=1

Vậy f(AB) là độ dài đoạn thẳng AB vì nó thỏa mãn 4 điều kiện

nêu trong định nghĩa

Để chứng minh định lý này ta hãy biểu diễn số thực a

dưới dạng: a = n + 0, n1n2n3…Trong đó n là số nguyên và

0, n1n2n3… là một số nhị phân, với n1, n2, n3, …bằng 0 hay bằng 1. Gọi OE là đơn vị dài

Ta kí hiệu nửa đoạn thẳng lấy được là l1 Tiếp tục chia đôi đoạn l1 bằng điểm P2 tùy theo n2 = 0 hay n2 = 1 ta lấy nửa trái hay nửa phải của đoạn l1 đó Ta gọi nửa trái hay nửa phải của đoạn l1 đó là đoạn l2

Cứ tiếp tục làm như vậy ta được một dãy các đoạn thẳng là: l1, l2, l3

4 Đo đoạn thẳng

Nếu số nhị phân mà hữu hạn và kết thúc ở con số nk(khi

đó nk = 1 vì nếu nk = 0 thì số nhị phân đó phải coi là kết thúc trước số nk) thì khi đó đoạn APk có độ dài bằng f(APk) và f(APk) = n + 0, n1n2… nk

Ta có APk là đoạn thẳng cần tìm

Định lý 36:

Chứng minh:

4 Đo đoạn thẳng

Nếu số nhị phân là vô hạn ( ta không kể trường hợp một số hữu hạn viết thành vô hạn như 1, 011 được viết thành 1,0101111…) Theo cách dựng các đoạn l1, l2, l3 thì mỗi đoạn trong dãy này từ l2 trở đi thì có đầu mút trùng với đầu mút của đoạn trước đó và có tất cả các điểm nẳm trong đoạn trươc đó Tuy nhiên không thể xảy ra tình trạng là kể từ một đoạn lk nào đó trở đi tất cả các đoạn của dây đều có chung nột đầu mút (vì theo giả thiêt số nhị phân nói trên là vô hạn nên không thể xảy ra trường hợp

kể từ một con số nhị phân nào đó trở đi ta có toàn số 0 hay số 1) Vì vậy trong số các đoạn từ l k trở đi thề nào cũng có một đoạn nào đó có cả hai đầu mút đều nằm trong l 1 Ta gọi đó là đoạn l k1 (H.77) Tiếp tục xét các đoạn từ l k1 trở đi, thế nào cũng có một đoạn mà cả hai đầu mút đều nằm trong đoạn l k1 và gọi đoạn đó là l k2 , vv… như vậy ta có một dãy các đoạn

l 1 , k k1 , l k2 … trong đó mỗi đoạn đều chứa hai đầu mút của đoạn đi liền sau

đó nghĩa là lk1 C lk(i-4) C …C lk1 C l1

Định lý 36:

Chứng minh:

thẳng như vậy thì dù ta gấp đoạn thẳng đó lên bao nhiêu lần đi nữa

không bao giở ta có một đoạn lớn hơn đoạn OE là mâu thuẫn với tiên

đề Acsimet Do đó dãy các đoạn l1, kk1, lk2,… thỏa các điều kiện của tiên

đề Căngđơ nên có một điểm B duy nhất thuộc tất cả các đoạn của dãy

đó Nếu bây giờ ta thực hiện phép đo đoạn thẳng AB như đã thực hiện

ở định lý 35 ta thấy độ dài của đoạn AB đúng bằng số thực a dương cho trước

5 Tọa độ của một điểm

Dựa vào việc đo đoạn thẳng ta xây dựng được khái niệm tọa độ trên một đường thẳng bằng cách chọn trên đó một điểm O làm gốc và

chọn một trong hai tia được tạo nên làm tia dương, tia còn lại là tia âm.

Với mỗi điểm A trên đường thẳng đó khác với O ta cho ứng với một số

thực a dương là độ dài của đoạn OA Ta lấy dấu cộng cho số a nếu điểm

A thuộc tia dương và lấy dấu trừ cho số a nếu điểm A thuộc tia âm Số

a sau khi thêm dấu cộng hoặc trừ gọi là tọa độ của điểm A trên đường

thẳng Điểm O được chọn với tọa độ bằng 0 Ngược lại với một số thực

b (số âm hay dương) ta tìm được một điểm B duy nhất trên đường

thẳng đó.

Như vậy giữa hai tính chất lien tục của điểm trên đường thằng và tính chất liên tục của các số thực có mối liên quan rất mật thiết vì giữa tập hợp các điểm trên đường thẳng và tập hợp các số thực ra đã xây dựng được một song ánh.

5 Tọa độ của một điểm

Chú ý: Muốn xây dựng khái niệm tọa độ trong mặt phẳng hoặc trong không gian ta cần thiết lập được một song ánh giữa các tập hợp sau đây:

Tập hợp các điểm của một mặt phẳng với tập hợp các cặp số thực sắp thứ tự có dạng (x, y)

Tập hợp các điểm của không gian với tập hợp các bộ ba số được sắp xếp thứ tự có dạng (x, y, z)

5 Tọa độ của một điểm

Việc xây dựng các song ánh trên đây được thực hiện theohình vẽ sau đây

Chú ý:

Khi muốn đưa khái niệm tọa độ vào mặt phẳng ta cũng phải xác định hướng của mặt phẳng và không gian Tuy nhiên cách xây dựng mặt phẳng trong tọa độ và trong không gian có hơi khác với cách làm thong thường bởi ở đây ta chưa có tiên

đề Ơcơlit nên hai đường thẳng vuông góc với hai trục Ox, Oy của hệ tọa độ Đề các thong thường trong mặt phẳng chưa chắc

đã cắt nhau Trong không gian chúng ta cũng sẽ gặp vấn đề

tương tự Mặt khác ở đây chúng ta chưa có công thức tính

khoảng cách giữa hai điểm nếu biết tọa độ hai điểm đó vì ở đây chúng ta chưa biết định lí Pitago là một hệ quả của tiên đề

Ơcơlit.

5 Tọa độ của một điểm