SKKN ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn vật lý THPT

Thiết nghĩ, trong quá trình giảng dạy Vật lý, thông qua việc giải bài toán tìm cựctrị của một đại lượng Vật lý, phần nào có thể giúp giáo viên phát huy được tính chủđộng, độc lập, sáng t

MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu 1

2 Tên sáng kiến: 2

Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT 2

3 Tác giả sáng kiến: 2

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả 2

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 2

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 2

PHẦN I : NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2

I Cơ sở lý luận của vấn đề 3

1 Chất liệu từ toán học 3

2 Các dạng cơ bản về bài toán tìm cực trị trong vật lý thường gặp 4

2.1 Trong cơ học 4

Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa vật này đối với vật khác 4

Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật 4

Dạng 3: Tìm thời gian ngắn nhất, vận tốc nhỏ nhất của chuyển động 5

Dạng 4: Tìm thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu 5

2.2 Trong điện học 5

II Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm 16

PHẦN II KẾT LUẬN 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Đổi mới giáo dục toàn diện không còn là vấn đề lý luận mà trở thành thực tiễncấp bách đặt ra cho sự nghiệp giáo dục hiện nay Vì thế, mỗi giáo viên cần phải nhậnthức sâu sắc để có sự điều chỉnh, thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp với xuthế giáo dục chung, góp phần cải thiện và nâng cao chất lượng dạy - học Làm sao chosản phẩm của giáo dục là những con người năng động, sáng tạo, thích nghi tốt vớimôi trường và đáp ứng được nhu cầu thực tiễn

Thiết nghĩ, trong quá trình giảng dạy Vật lý, thông qua việc giải bài toán tìm cựctrị của một đại lượng Vật lý, phần nào có thể giúp giáo viên phát huy được tính chủđộng, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, tìm hiểu và lĩnh hội các tri thức vềkhoa học Vật Lý Một trong những mục tiêu quan trọng đối với quá trình đổi mớiphương pháp dạy học Vật Lý hiện nay ở bậc trung học

Mọi người đều biết, cuộc sống là cả một chuỗi những quá trình vận động và pháttriển, tiến hoá và đào thải Hoà nhập vào cuộc sống, con người luôn luôn mong muốnnhững sự việc, hiện tượng xảy ra xung quanh họ đạt đến sự tối ưu vì thế, con ngườimới chính là yếu tố hết sức quan trọng trong việc loại trừ những trở ngại, kìm hãm sựphát triễn theo quy luật tự nhiên Nhận thức đúng đắn về khoa học nói chung và khoahọc Vật Lý nói riêng, thiểt nghĩ vẫn không nằm ngoài quy luật trên

Một trong những biểu hiện thực tế, đáng kể của khoa học Vật Lý, là khảo sát cácbiến cố để tìm sự tối ưu: xem xét một đại lượng nào đó trong hiện tượng sao cho nóđạt đến trạng thái cực trị Tuy nhiên, tìm cực trị của một đại lượng, là bài toán phứctạp Thực tế, người học đang gặp không ít khó khăn khi tiếp cận loại toán này Việcgiải quyết vấn đề bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lý đang tuỳ thuộc vào khảnăng vận dụng toán học của giáo viên và học sinh Chính vì vậy, muốn học sinh đạtđược hiệu quả cao trong học tập, giáo viên cần có những định hướng cụ thể về cáchgiải, để khi tiếp cận, trên cơ sở những định hướng của giáo viên cộng với khả năngsáng tạo của bản thân, học sinh hình dung và vạch ra được phương án phù hợp choviệc giải quyết bài toán cụ thể

Xuất phát từ ý tưởng trên, cộng thêm những khó khăn hiện tại và nhu cầu tìmhiểu bài toán cực trị trong Vật lý của người học, bằng những kinh nghiệm đúc rúttrong quá trình trực tiếp giảng dạy Vật Lý ở Trường THPT Phạm Công Bình và thamgia bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhiều năm gần đây, tôi xin mạnh dạn sắp xếp, tổnghợp và đưa ra một vài cách giải quyết bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý,lấy chất liệu từ các ứng dụng của toán học thường dùng, thiết nghĩ là tương đối phùhợp với nhận thức của học sinh bậc THPT yêu thích và muốn tìm hiểu sâu về khoahọc Vật Lý

Dưới đây tôi xin trình bày kinh nghiệm của mình trong đề tài: ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trongmônVật lý THPT Với hy vọng đây sẽ là một tài

liệu tham khảo cho các đồng nghiệp cũng như học sinh, góp phần nâng cao chất lượnghọc tập môn Vật lý tại trường THPT Phạm Công Bình

- Khắc phục những khó khăn hiện tại, tìm ra phương án thích hợp giải quyết vấn

đề bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý

- Nhằm góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huytính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũhọc sinh khá, giỏi về bộ môn Vật lý

- Góp phần hình thành lòng say mê, hứng thú học tập môn Vật lý, từ đó hìnhthành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh

- Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn đồngnghiệp

2 Tên sáng kiến:

Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Hồng Chi

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Phạm Công Bình

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả.

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Vật lý lớp 10,11,12

- Vấn đề sáng kiến giải quyết: Dạy học ôn tập kiến thức và giải bài tập về: Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Sáng kiến được áp dụng lần đầu từ tháng 9 năm 2014, đến tháng 02 năm 2020sau khi được chỉnh sửa bổ sung được áp dụng giai đoạn 2

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

PHẦN I : NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

- Về nội dung của sáng kiến:

Giới thiệu đầy đủ các dạng bài tập tìm cực trị trong Vật lý từ cơ bản đến nângcao, tất cả bài tập dều có đáp số, những bài khó thì tác giả có soạn hướng dẫn giải

Trước khi giới thiệu mỗi dạng bài tác giả đều tóm tắt những nội dung lý thuyếtquan trọng liên quan có mở rộng và nâng cao

2

Các bài tập được tác giả lựa chọn trong các tài liệu tham khảo và một số bài dotác giả tự xây dựng theo mục tiêu sát với yêu cầu của các kỳ thi ôn thi học sinh giỏi

và thi THPTQG

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

Sáng kiến này rất thuận lợi cho cả giáo viên giảng dạy và học sinh học tự học

do đã soạn tóm tắt những nội dung lý thuyết quan trọng có mở rộng, nâng cao trướcmỗi dạng bài tập, hơn nữa các ví dụ đa dạng nhưng có chọn lọc và cô đọng tránh quátải cho học sinh

I Cơ sở lý luận của vấn đề.

1 Chất liệu từ toán học.

1.1 Tam thức bậc hai: 2

y ax bx c a 0với  x Rthì y có cực trị tại giá trị

2

b x a



2

b x a

2

b x a

+ Điều kiện: cho a b x y R, , , 

+ Nội dung: ax by 2 a2 b2 x2 y2.Dấu “ = ” xảy ra khi b a x y

+ Hệ quả: Nếu a b  1thì x y 2  2x2 y2.

1.4 Bất đẳng thức Bernuolli.

+ Nội dung: 1 a2   1 na dấu “ = ” xảy ra khi a 0 hoặcn 1

1.5 Phương pháp hình học.

1.5.1 Giản đồ véc tơ.

+ Cơ sở: Sự tương đồng giữa giao động điều hoà và chuyển động tròn đều “ Một dao động điều hoà có thể xem là hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo ”.

+ Nội dung:

* Để mô tả dao động điều hoà x = Acos(wt + j ) bằng một véc tơ quay ta làmnhư sau.

- Dựng trục Ox nằm ngang

* Gốc tại gốc toạ độ O của trục Ox

* Độ dài bằng biên độ dao động, OM = A

* Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu

( chọn chiều dương là chiều của đường tròn lượng giác)

chiếu của điểm M lên trục Ox biểu diễn dao động điều hoà x = Acos( wt + j )

Hệ quả: Để tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số

ta lần lượt biểu diễn mỗi dao động bằng một véc tơ quay trên cùng một giãn đồ véc

tơ, sau đó áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm véc tơ tổng Khi đó véc tơ tổng biểudiễn dao động tổng hợp

1.5.2 Định lý hàm sin.

+ Điều kiện: Cho ABC với AB c BC a AC b ;  ; 

+ Nội dung: sina Asinb B sinc C

Trong đó: 0 sin ;sin ;sin  A B C 1

2 Các dạng cơ bản về bài toán tìm cực trị trong vật lý thường gặp.

2.1 Trong cơ học.

Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa vật này đối với vật khác.

Ví dụ:

Bài toán 2.1.1: Hai vật A và B chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp

1

2

3

v

Bài toán 2.1.2 Hai ôtô chuyễn động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng

thời điểm khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai

bằng bao nhiêu?

Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật.

Ví dụ:

Bài toán 2.1.3: Một vật có khối lượng m được kéo lên trên một mặt phẳng

nghiêng góc a, với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối Hệ số ma sát giữa vật vàmặt phẳng nghiêng là m Hảy xác định góc b hợp bởi sợi dây và mặt phẳng nghiêng đểlực căng dây là nhỏ nhất Tính giá trị lực căng dây lúc đó

x

Bài toán 2.1.4: Cho hệ như hình vẽ (Hình 1) m =

giữa M và sàn là m2 = 0,2 Khi a thay đổi ( 0 < a < 900),

tìm F nhỏ nhất để M thoát khỏi m và tính a khi này

Bài toán 2.1.5 Xác định lực hút mạnh nhất của

Trái Đất đối với tàu vũ trụ đang ở độ cao h? áp dụng

bằng số: m = 2tấn, h = 320km,

lấy g0 = 10 m.s-2; R = 6400 km

Dạng 3: Tìm thời gian ngắn nhất, vận tốc nhỏ nhất của chuyển động.

Ví dụ:

Bài toán 2.1.6 Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A Người đó phải tới được

điểm B trên mặt hồ trong thời gian ngắn nhất Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ là

Bài toán 2.1.7 Ôtô chuyễn động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h Một hànhkhách đang ở A cách ôtô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ôtô.Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào với vận tốc nhỏ nhất là bao hiêu để đón đượcôtô?

Dạng 4: Tìm thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu.

Bài toán 2.1.8 Đồng hồ quả lắc làm bằng con lắc đơn chạy đúng với chu kỳ dao

Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 2)

giá trị R0 = 2W, R1 =3W, R2 = 2W, Rx là

biến trở con chạy Di chuyễn con chạy của

biến trở Tìm giá trị của biến trở để công

suất toả nhiệt của đoạn mạch CD đạt giá trị

cực đại Tìm giá trị cực đại đó

Bài toán 2.2.3 Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 3)

R là biến trở Đặt vào hai đầu A, B một

hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng

* Lưu ý rằng: cách phân loại trên đây chỉ mang tính tương đối, chưa thể nói là

đầy đủ, bao quát toàn bộ các dạng đối với loại bài toán đã nêu

1 Dùng tam thức bậc hai.

Bài toán 2.1.1 Hai vật A và B chuyễn động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp

1

2

3

v

Tìm hiểu:

+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ

+ Khoảng cách hai vật ở thời điểm t

Ta có: ABOB OA AB2 OB2OA2 2OA.OBcos a

Hay d2 y2 x2  2 cosxy a (2).

Thay x, y từ (1) vào (2) ta có:

0 0

2 0

2 0

0 0 1 2

v

áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra:

1

0 0

2

3 3

Hai ôtô chuyễn động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng tới giao điểm

khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai quỹ đạo

x

B O

+ Phương trình chuyển động của ôtô thứ hai:

y = y0 – v2t (m)

+ Khoảng cách hai vật ở thời điểm t

OA OB AB OA OB

áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra:

65

2

3x 0 y0

Bài toán 2.1.6 Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A Người đó phải tới được

điểm B trên mặt hồ trong thời gian ngắn nhất Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ là

(v2> v1) Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A đến B

2 2 2 2 1

2 2 2 2 1

2 2

2 1 2 2 1

2 2

2 2 2 2 2 2 1

2 2

2 2

) (

( )

d v v v v v

v y v v

y d v v v

y v

1

2 2 2 2 2 1

2 2

2 2 2 2 2 1

2 2

2 2

v v

d v v

hay ymin = d 2

1 2

2 v

2 1

dv x

v v



Bài toán 2.1.7 Vật m1 chuyển động với vận tốc V 1

(Nguồn tham khảo SKKN Nguyễn Thọ Hoài_THPT Yên Thành 3)

V0

Với cosaMax =

2 2

1 2 1

m



Bài toán 2.1.8

bức xạ gamma Lấy khối lượng các hạt nhân tính theo đơn vị u bằng số khối củachúng Khi hạt nhân X bay ra theo hướng lệch với hướng chuyển động của hạt α một

góc lớn nhất thì động năng của hạt X có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

(Nguồn câu 30 mã đề 209 đề thi THPTQG 2018)

1, 21 5 3,79 3,79

(Nguồn tham khảo SKKN Nguyễn Thọ Hoài_THPT Yên Thành 3)

Hướng dẫn giải:

* Ta có véc tơ E M

:+ E M E1M E2 M

a

Bài toán 2.2.2 Cho mạch điện như hình vẽ

R0 = 2W, R1 =3W, R2 = 2W, Rx là biến trở con chạy

Di chuyễn con chạy của biến trở Tìm giá trị của

biến trở để công suất toả nhiệt của đoạn mạch CD

đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại đó

3 6

(1).

2

2 0

AB CD

CD

CD

U P

R R

min

2

0 ) (

R là biến trở Đặt vào hai đầu A, B một

hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng

không đổi 220V-50Hz

10

UAB R0R

1 R

a Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại Tìm giá trịcực đại đó.

b Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở là cực đại Tìm giá trị cựcđại đó

Z Z r R

U R

Z

U R

I

P

C L

AB AB

R

2 )

2

2 2

2 2

Z Z r

.Vận dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

min

2

) (

Z Z r

= 2 (Z  L Z C) 2 khi R+r = Z  L Z C

) ( 2

2

r R

r

.Vân dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

U AB

Bài toán 2.2.4 Có n điện trở khác nhau: R1; R2; R3;…… ;Rn Nếu mắc chúng

R1

RMN

x, r M

B C

chúng nối tiếp nhau thì điện trở tương đương toàn mạch là R’td Chứng minh rằng:

1 1 1

2 1

R

1

1 1 1

1

1

2 1 2

+ Khi mắc nối tiếp ta có: R’td = R1 + R2 +… +Rn

+ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm:

R1 + R2 +… +Rn n.n R1R2  R n (2).

n R

R

td

td

Dấu bằng xảy ra khi có n điện trở giống nhau

Bài toán 2.2.4 Mạch điện (như Hình 10) x =

kế vô cùng lớn Phải để C ở vị trí nào thì công suất

tiêu thụ trong toàn biến trở là lớn nhất? Giá trị lớn

+ Mạch điện được vẽ lại nh hình bên (Hình 10)

=> Điện trở tương đương của toàn biến trở:

R =

CN CM

CN CM

R R

R R

2

) (

R

r R

R

r R

R  Vận dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

RCN

Hình 9

Hình 10

2 min

1 ) (

R

r R

h R

h R

Bài toán 2.1.8

nhiệt độ t0 = 250C Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là a = 5 10- 5 K-1 Khi nhiệt

Tìm hiểu:

đồng hồ chạy đúng, T là chu kì chạy sai của con lắc Thì thời gian đồng hồ chạy sai

0

T

T T

t  

+ Chu kì của con lắc chạy đúng ở nhiệt độ t0 là: T0 = 2  l g0

+ Chu kì của con lắc chạy sai ở nhiệt độ t là: T = 2 l0[1 ag(t  t0)]

R h m

Ta có: 2

1 0 0

0

)]

( 1 [ ) ( 1

1 min

0 )]

( 1 [  a t  t

2 1 )]

( 1

a Sau một ngày đêm tối thiểu đồng hồ chạy sai bao nhiêu?

b Nếu đưa đồng hồ trên lên độ cao h so với Mặt Đất mà không điều chỉnh lại (coi nhịêt độ không đổi) thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy sai tối thiểu baonhiêu?

Tìm hiểu:

đồng hồ chạy đúng, T là chu kì chạy sai của con lắc Thì thời gian đồng hồ chạy sai

0

T

T T

t  

0 0

g

l T

3

g

l T

R

h R M G

+ Gia tốc trọng trường ở độ cao h so với Mặt Đất là:

2 2

h R

M G

T T R

h h

R

R g

g T

1 1

0 0

1 ) 1

(

1

1

0 min 1 2

1

R

h T

T R

h R

Vậy thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu sau một ngày đêm là: s

5 Sử dụng phương pháp giãn đồ véc tơ.

Bài toán 2.2.3 Cho mạch điện như hình

vẽ (Hình 11) Trong đó R không đổi, độ tự

cảm của cuộn dây hoặc điện dung của tụ điện

có thể thay đổi Đặt vào hai đầu mạch một

hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng

* Khi điện dung tụ điện biến thiên.

+ Giãn đồ véc tơ như hình vẽ (Hình 12)

Z R

áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác

ABN suy ra:

sin sin

AB C

Z C

w



* Khi độ tự cảm L của cuộn dây biến thiên.

2 2

C L

Chú ý: Khi mạch ngoài có điện trở R0 và cuộn dây

có điện trở trong r thì thay R trong các biểu thức

để số chỉ vôn kế là cực đại Tìm số chỉ cực đại đó

25

L L

Tìm hiểu:

+ Giả sử gọi C là vị trí người đón được ôtô (Hình 14)

+ Ta có: AC v t BC v t 2 ;  1 với t là thời gian người đi để đón được xe

+ áp dụng định lý hàm số sin trong tam

giác ABC: sinACa sinBCb sinv2.at sinv1.bt

nên v2min khi sin b  1 Hay b  90 0

a

a

Và khi đó AC  AB tại A do vậy người đó chạy

theo hướng vuông góc với AB

II Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm.

Qua quá trình trực tiếp giảng dạy trên lớp ở các khối 10, 11, 12 và ôn thi học sinhgiỏi nhiều năm nay về bộ môn Vật lý tại Trường THPT Phạm Công Bình tôi nhận

thấy rằng: Đối với bài toán “Tìm cực trị trong Vật lý” có thể có nhiều cách tiếp cận