Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược

Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Quốc tế cũng thường xuất hiện bài toán sử dụng các tính chất của hàm lượng giác và lượng giác ngược, đó là những bài toán khó và khá mới mẻ với

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM HỮU QUYỀN

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27

tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng trong giải tích, đặc biệt là trong chương trình chuyên toán Trung Học Phổ Thông (THPT) Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Quốc tế cũng thường xuất hiện bài toán sử dụng các tính chất của hàm lượng giác và lượng giác ngược, đó là những bài toán khó và khá mới mẻ với học sinh THPT Những cuốn sách tham khảo cho học sinh về lĩnh vực này là không nhiều Đặc biệt là trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho THPT thì hàm lượng giác ngược chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ

Xuất phát từ thực tế đó, với sự hướng dẫn của GS TSKH

Nguyễn Văn Mậu, tôi chọn đề tài “ Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược” làm đề tài luận văn

thạc sĩ của mình Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản, luận văn còn có thêm một số bài tập về phương trình và bất phương trình, đồng thời đưa vào các bài toán sử dụng tính chất hàm lượng giác ngược

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài: “Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược” nhằm cung cấp thêm cho các em học sinh

THPT, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi một tài liệu tham khảo

về phương trình và bất phương trình hàm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm lượng giác

ngược và bất phương trình hàm lượng giác ngược

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của hàm lượng giác ngược

và các bài toán liên quan trong lĩnh vực phương trình và bất phương trình hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lôgic, tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn phương trình

và bất phương trình hàm

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy

6 Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận,

luận văn được chia thành ba chương :

Chương 1: Hàm lượng giác ngược và các hệ thức liên quan

Chương này trình bày một số tính chất của hàm số, các tính chất của hàm lượng giác ngược, các đẳng thức hàm sinh bởi hàm lượng giác ngược

Chương 2: Một số dạng phương trình hàm trong lớp lượng giác ngược

Chương này trình bày các phương trình hàm sinh bởi hàm arcsin, arccos, arctan và arccot

Chương 3: Bất phương trình hàm trong hàm lượng giác ngược

Chương này trình bày các bất phương trình hàm cơ bản, các bất phương trình hàm cơ bản trong lớp hàm lượng giác ngược và một

số dạng toán liên quan đến bất phương trình hàm

Định nghĩa 1.1 Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T,

tồn tại duy nhất 1 giá trị x Î X sao cho y= f x( ) thì f được gọi là đơn ánh

Định nghĩa 1.2 Hàm f x ( ) được gọi là hàm chẵn trên M,

( ) ( ),

a a

±ì" Î Þ Î

±ì" Î Þ Î

f g x( ( ))=x với mọi x thuộc miền xác định của g

g f x( ( ))=x với mọi x thuộc miền xác định của f Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm ngược

Định nghĩa 1.9 Tập AÌ¡ được gọi là trù mật trong ¡, ký hiệu A = ¡ nếu "x y, Ρ, (x< y) luôn tồn tại a ÎA,sao cho

là hàm đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trong khoảng đó

Nhận xét 1.1 Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y =

cos x, y = tan x, y = cot x, theo định lí trên, ta có các hàm lượng giác ngược tương ứng trong các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của chúng

x y

x x

x y

y x

x y

=

Bây giờ ta chuyển qua tính đạo hàm của các hàm lượng giác ngược Để thuận lợi trong tính toán, ta đổi vai trò x và y Công thức trên khi đó sẽ được viết thành:

1 ' '

x y

y x

Khi đó ta có x y' cos= y>0 với

+ Hàm y=arccosx ,(- < < 1 x 1 ) với 0 y< <p (hàm ngược của hàm x=cosy)

+ với x>0 và y'' 0< với x<0 Suy ra

hàm y = arccot x lõm với x>0 và lồi với x<0

1.3 MỘT SỐ ĐẲNG THỨC HÀM SINH BỞI HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

d) Hàm ( ) arccot p x = x có tính chất

1 ( ) ( ) ( xy ) , , , 0.

x y

+ = " Î + ¹

Từ đó theo nguyên lý quy nạp, ta có f nx ( ) = nf x ( ) , " Î x ¡

.Ta kết hợp với tính chất f ( ) - = - x f x ( ) thu

Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f x ( ) suy ra

f x = ax x " Î ¡ a = f

Thử lại, ta thấy hàm f x ( ) = ax thỏa mãn yêu cầu đề bài Vậy, hàm f x ( ) = ax là hàm cần tìm

Bài toán 2 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định

các hàm f x ( ) liên tục trên ¡ thỏa mãn điều kiện sau:

Vậy nghiệm của bài toán là f º 0 hoặc f x ( ) = a ax, > 0

Bài toán 3: Tìm hàm f ¡ ¡ ® thỏa mãn

( ) ( ) 2sin cos , ,

f x y + + f x y - = x y x y " Î ¡ Bài toán 10: Tìm hàm f g , : ¡ ¡ ® thỏa mãn

( ) ( ) 2sin cos , ,

f x y + + g x y - = x y x y " Î ¡ Bài toán 11: Tìm hàm f ¡ ¡ ® thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) cos , ,

f x y + + f x y - = f x y x y " Î ¡ Bài toán 12: Tìm hàm f ¡ ¡ ® thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( )sin , ,

f x y - - f x y + = g x y x y " Î ¡ Bài toán 13: Tìm hàm f ¡ ¡ ® thỏa mãn

sin( x y + ) = f x ( )sin y + f y ( )sin , x x y " , Î ¡

Bài toán 14: Tìm hàm , : f g ¡ ¡ thỏa mãn ® sin( x y + ) = f x ( )sin y g y + ( )sin , x x y " , Î ¡

Bài toán 15: Tìm hàm f g , : ¡ ¡ ® thỏa mãn

( ) ( )sin ( )sin , ,

f x y + = g x y g y + x x y " Î ¡ Bài toán 16: Tìm hàm f ¡ ¡ ® thỏa mãn

( ) ( ) sin sin , ,

f x y f x y + - = x - y x y " Î ¡ Bài toán 17: Tìm hàm f ¡ ¡ ® thỏa mãn

( ) ( ) ( ) sin , ,

f x y f x y + - = f x - y x y " Î ¡

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG

LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCSIN

Bài toán 18 Tìm các hàm f x ( ) xác định và liên tục trên

2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOS

Bài toán 19 Tìm các hàm f x ( ) xác định và liên tục trên

Bài toán 21 Xác định hàm f x ( ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn

điều kiện

1 ( ) ( ) ( xy ) , , 0.

x y

+ = " Î + ¹

2.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Bài toán 23 Tìm tất cả hàm f x ( ) liên tục trên R và thỏa mãn

Bài toán 26.(IMO 2004)Tìm tất cả các hàm

CHƯƠNG 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM

LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 3.1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN

Tương tự như các dạng toán về phương trình hàm chuyển đổi các phép tính số học của đối số hoặc các đại lương trung bình, trong mục này ta xét lớp các bất phương trình hàm tương ứng

Bài toán 31 Xác định các hàm số f t ( ) thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau:

Bài toán 34 Xác định các hàm số f x ( ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

= ³ " Î

³ " Î

¡

¡

Bài toán 39 Xác định các hàm số f t ( ) thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau:

2 ( ) ( ) (1) 1 và ( ) 1, , , ,

3.2.1 Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arcsin

Bài toán 42 Tìm các hàm f x ( ) xác định và liên tục trên

1,1

[ ]- và thỏa mãn điều kiện

2 2( ) ( ) 1 1 , , [ 1,1] ( ) 0, [ 1,1]

3.2.2 Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arccos

Bài toán 44 Tìm các hàm f x ( ) xác định và liên tục trên

1,1

[ ] - và thỏa mãn điều kiện

( ) ( ) 1 1 , , [ 1,1] ( ) 0, [ 1,1]

3.2.3 Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arctan

Bài toán 46 Tìm các hàm f x ( ) xác định, liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện

( ) ( ) , , , 1.

\

1 ( ) 0,

Trong phần này ta trình bày một số bài toán liên quan đến bất

phương trình hàm từ các kỳ thi Olympic các nước và quốc tế

Kết quả của luận văn nhằm tạo một tài liệu tham khảo cho các

em học sinh THPT, giúp các em hệ thống kiến thức cũng như dễ dàng tiếp cận hơn với hàm lượng giác ngược