Biểu diễn số tự nhiên thành tổng các lũy thừa và một số dạng toán liên quan

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng họcsinh giỏi HSG về chuyên đề số học, luận văn "Biểu diễn số tựnhiên thành tổng các lũy thừa và một số dạng toán liên quan"nhằm cung c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh

Phản biện 2: GS TS Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT) Các bài toán thuộcdạng này thường ít được đề cập trong chương trình toán đại trà

mà thường xuất hiện dưới dạng các bài toán chuyên đề áp dụng

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng họcsinh giỏi (HSG) về chuyên đề số học, luận văn "Biểu diễn số tựnhiên thành tổng các lũy thừa và một số dạng toán liên quan"nhằm cung cấp một số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cậncác dạng toán chuyên đề số học và các vấn đề liên quan

2 Mục đích nghiên cứu:

Hệ thống hóa lý thuyết, ứng dụng các định lý Gauss, grange, Euler và Fermat, giải phương trình nghiệm nguyên, phươngtrình vô định và cách biểu diễn các số nguyên thành tổng các lũythừa đồng thời nắm được một số phương pháp, một số kỹ thuậttính toán liên quan

La-3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

Một số dạng toán về biểu diễn số tự nhiên thành tổngcác lũy thừa; ứng dụng các định lý Gauss, Langrangue, Euler và

Fermat để giải các phương trình nghiệm nguyên, phương trình vôđịnh.

3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Các định lý Gauss, Lagrange, Euler và Fermat trong biểudiễn các số tự nhiên thành tổng các lũy thừa, giải phương trìnhnghiệm nguyên, phương trình vô định và một số kỹ thuật tínhtoán liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, tổng hợp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Kết quả nghiên cứu của luận văn hướng tới việc bồi dưỡnghọc sinh giỏi bậc THCS, THPT và tạo được một đề tài phù hợpcho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh THCS, THPT; đóng gópthiết thực cho việc học và dạy các chuyên đề toán trong trườngTHCS, THPT

6 Cấu trúc của luận văn:

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành

ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương 2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng các lũy thừa.Chương 3 Một số dạng toán liên quan

Định nghĩa 1.3 (Số phi chính phương).

Ví dụ 1.1 Các số chính phương, các số phi chính phương,các

số không là số chính phương và cũng không là số phi chính phương.Chú ý 1.1 Số 0, số 1 là các số chính phương và là số lũy thừabậc tuỳ ý

1.1.2 Một số tính chất của lũy thừa

a) Nếu số lũy thừa bậc n chia hết cho số nguyên tố p thì số đóchia hết cho pn

b) Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì số đóchia hết cho p2

Định lý 1.3.

a) Nếu số lũy thừa bậc n là tích của hai số nguyên tố cùngnhau, tức là cn= a.b với (a, b) = 1, thì mỗi thừa số a, b là số lũythừa bậc n

b) Nếu số chính phương là tích của hai số nguyên tố cùngnhau, tức là c2 = a.b với (a, b) = 1, thì mỗi thừa số a, b là sốchính phương

Định lý 1.4 Căn bậc n của một số nguyên dương hoặc là sốnguyên dương, hoặc là số vô tỉ Nói cách khác, nếu an = d với d

là số nguyên dương mà a là số hữu tỉ thì a là số nguyên

Định lý 1.5 Giả sử a, b, m, n là các số nguyên dươnga) Nếu an là ước của bn thì a là ước của b

b) Nếu am = bn và (m, n) = 1 thì tồn tại số nguyên dương csao cho a = cn và b = cm

Định lý 1.6 Cho số nguyên s ≥ 2 thì luôn tồn tại số nguyên

nssao cho ứng với mỗi số nguyên m ≥ ns luôn tồn tại số lũy thừa

as thỏa mãn m < as< 2m

Định lý 1.7 Giả sử a, b, n là các số nguyên dương

a) Nếu số b thỏa mãn an < b < (a + 1)n thì số b không là sốlũy thừa bậc n

b) Nếu số b thỏa mãn a2 < b < (a + 1)2 thì số b không là sốchính phương

Định lý 1.8 (Định lí Liouville) Với số nguyên dương a và

n ≥ 2 thì đẳng thức (a − 1)! + 1 = an chỉ xảy ra khi a = 5.Tính chất 1.1 (Số chính phương)

a) Các số chính phương có chữ số tận cùng là một trong cácchữ số 0, 1, 4, 5, 6, 9 và không có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8.b) Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì hai chữ sốcuối cùng là 25.

c) Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàngchục là chữ số lẻ

d) Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là 4 hoặc là chữ

g) Số chính phương khi chia cho 9 có dạng 9n hoặc 9n + 1 hoặc9n + 4 hoặc 9n + 7 và không có dạng 9n + r với r bằng 2, 3, 5, 6,8

Tính chất 1.4 (Số chính phương) Nếu hai số nguyên liêntiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó bằng0.

Tính chất 1.5 (Số lũy thừa bậc ba)

a) Số lũy thừa bậc ba khi chia cho 4 không có dạng 4n + 2.b) Số lũy thừa bậc ba khi chia cho 8 không có dạng 8n + r với

r bằng 2, 4, 6

c) Số lũy thừa bậc ba khi chia cho 9 không có dạng 9n + r với

r bằng 2, 3, 4, 5, 6, 7

Tính chất 1.6 (Số lũy thừa bậc cao)

a) Số lũy thừa bậc s ≥ 3 khi chia cho 4 không có dạng 4n + 2.b) Số lũy thừa bậc s ≥ 3 khi chia cho 8 không có dạng 8n + rvới r bằng 2, 4, 6

c) Số lũy thừa bậc s ≥ 3 khi chia cho 9 không có dạng 9n + rvới r bằng 3, 6

1.2 ĐỒNG DƯ THỨC

1.2.1.Định nghĩa đồng dư thức

Định nghĩa 1.4 Cho m là một số tự nhiên khác không Tanói rằng hai số nguyên a, b là đồng dư với nhau theo modulo mnếu trong phép chia a và b cho m ta được cùng một số dư

Ký hiệu

a ≡ b (mod m) hoặc a = b (mod m) (1.1)

Hệ thức (1.1) gọi là đồng dư thức

1.2.2.Các tính chất của đồng dư thức

Tính chất 1.7

a) Với mọi số nguyên ta có a ≡ a (mod m)

b) Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m)

c) Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m).Tính chất 1.8 Nếu a ≡ b (mod m) và c là một số nguyêntùy ý thì a ± c ≡ b ± c (mod m)

a) Nếu a + c ≡ b (mod m) thì a ≡ b − c (mod m)

b) Nếu a ≡ b (mod m) thì a + km ≡ b (mod m)

c) Nếu a ≡ b (mod m) thì ak ≡ bk (mod m)

d) Giả sử f (x) = anxn−1+ · · · + a1x + a0 là một đa thức với

Tính chất 1.12 Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod m)

Tính chất 1.13 Nếu a ≡ b (mod m) và d | (a, b, m) (d > 0)thì ta có

c) Cho a là một số nguyên, nguyên tố với m và b là một sốnguyên tùy ý Khi ấy nếu x chạy qua một hệ thặng dư đầy đủmodulo m thì ax + b cũng chạy qua một hệ thặng dư đầy đủmodulo m

1.3.3 Hệ thặng dư thu gọn

1.3.4 Thặng dư toàn phương

Định nghĩa 1.5 (Thặng dư toàn phương)

Hệ quả 1.1.

1 Tích của hai thặng dư toàn phương là thặng dư toàn phương

2 Tích của thặng dư toàn phương và bất thặng dư toàn phương

là bất thặng dư toàn phương

3 Tích của hai bất thặng dư toàn phương là thặng dư toànphương

Định lý 1.10 Gọi n là các số chẵn nằm trong khoảng(p/2, p) Khi đó 2p−12 ≡ 1 (mod p) khi và chỉ khi p = 8k+1; 8k+7.Tiếp theo, ta xét định lý tương hỗ của Gauss

1 nếu a là thặng dư toàn phương (mod p)

−1 nếu a không là thặng dư toàn phương (mod p)Mệnh đề 1.1



3 a ≡ b (mod p) thì

ap



=

bp

.4



=

bp



k=1.Giả sử ka ≡ kt (mod p) Gọi n là số các số tk mà tk > p

2 khi đó

ap−12 ≡ (−1)n (mod p) hay a

p = (−1)

n.Định lý 1.11 Giả sử p là số nguyên tố lẻ Khi đó

ap



=(−1)tpvới tp =

Định lý 1.12 (Định lý tương hỗ của Gauss) Cho p, q là hainguyên tố lẻ Khi đó

nếu p và q đều có dạng 4k + 3

Bài toán 1.1 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 3p−12 ≡ 1(mod p)

Bài toán 1.2 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 5p−12 ≡ 1(mod p)

Bài toán 1.3 Tìm các số nguyên tố p để 7p−12 ≡ 1 (mod p).Bài toán 1.4 Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyêndương a thoả mãn các tính chất sau:

a) Tồn tại cặp số nguyên (x, y), (x, y) = 1 sao cho a2 = x3+y3.b) Tồn tai số nguyên b sao cho a2(a2+ 3)|b2+ 3

1.4 ĐỊNH LÍ EULER VÀ ĐỊNH LÍ FERMAT1.4.1 Định lí Euler

Định nghĩa 1.6 (Hàm Euler) Cho số tự nhiên n ≥ 1 Ta kýhiệu ϕ(n) là số các số tự nhiên bé hơn n và nguyên tố cùng nhauvới n Quy ước ϕ(1) = 1

Định lý 1.13 (Định lí Euler) Cho a, m là các số nguyên,(a, m) = 1 Khi đó,

aϕ(m) ≡ 1 (mod m)

Định lý 1.14 Hàm ϕ(n) có tính chất nhân tính theo nghĩa:

Nếu a, b là hai số nguyên tố cùng nhau thì

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

Định lý 1.15 (Euler) Giả sử n = pα1

1 pαk

k là phân tíchchính tắc của n > 1 Khi đó

pk



Định lý 1.16 (Định lý Euler mở rộng) Cho a và m là hai số

tự nhiên Khi đó ta có:

am≡ am−ϕ(m) (mod m)

1.4.2 Định lý nhỏ Fermat

Định lý 1.17 (Định lý nhỏ Fermat) Cho p là một số nguyên

tố và a là một số nguyên không chia hết cho p khi ấy ta có:

ap−1≡ 1 (mod p)

Định lý 1.18 (Định lý Fermat dạng khác) Cho p là một sốnguyên tố và a là một số nguyên tùy ý khi ấy ta có

ap ≡ a (mod p)

CHƯƠNG 2BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH

Bổ đề 2.2 Giả sử số nguyên tố q | a2+b2 Nếu q ≡ 3 (mod 4)thì q | a, q | b

Bổ đề 2.3 Tích của hai số mà mỗi số là tổng của hai bìnhphương của hai số nguyên không âm cũng là tổng bình phươngcủa hai số không âm

Bổ đề 2.4 Mọi số nguyên tố p dạng 4k + 1 đều có thể biểudiễn thành tổng bình phương của hai số nguyên dương

Ví dụ 2.2 Phương trình x2+ y2 = 50 có nghiệm vì 502 =

52+ 52= 72+ 12

Định lý 2.20 Số tự nhiên n là tổng của hai bình phương các

số tự nhiên khi và chỉ khi mọi ước số nguyên tố có dạng 4k + 3của nó có luỹ thừa chẵn trong phân tích thành thừa số nguyên tốcủa n cũng như khi thừa số 2 có mũ lẻ trong phân tích đó hoặc là

n có ít nhất một ước số nguyên tố có dạng 4k + 1

Định lý 2.21 Phương trình p = x2+ y2 với p là số nguyên

tố, p = 4k + 1 k ∈ Z có một và chỉ một nghiệm trên N(không kểtính đảo vị của nó)

Định lý 2.22 Giả sử x, y, z, t là các số nguyên dương thoả

xy = z2+t2,(z, t) = 1 Khi đó tồn tại các số nguyên dương a, b, c, dsao cho x = a2+ b2, y = c2+ d2 và z = ac + bd,t = ad − bc hoặc

z = ac − bd, t = ad + bc

Định lý 2.23 Giả sử n là số nguyên dương cho trước n = m2l,trong đó m2 là ước chính phương lớn nhất của n Khi đó n biểudiễn thành tổng của hai bình phương của hai số nguyên dương khi

và chỉ khi

1 m có ước nguyên tố dạng 4k + 1 với l = 1

2 l không có ước nguyên tố dạng 4k + 3 khi l > 1

Bổ đề 2.5 Tích của hai số lẻ, mỗi số là tổng bình phươngcủa hai số nguyên dương cũng sẽ là tổng bình phương của hai sốnguyên dương

Định lý 2.24 Nếu p là một số nguyên dương có thể biểu diễnthành tổng của hai bình phương ;

Bài toán 2.1 (Biểu diễn số tự nhiên thành tổng hai bìnhphương) Các số tự nhiên có đặc điểm gì thì viết được duới dạngtổng của hai số chính phương?

Ví dụ 2.3 Viết những số sau dưới dạng tổng của hai số chínhphương (nếu có thể) : 8,48,53, 86,170,1105,2016, 2378, 4012.Bài toán 2.2 Chứng minh rằng số tự nhiên n là tổng củahai bình phương các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau khi và chỉkhi n không chia hết cho 4 và cũng không chia hết cho các số tựnhiên có dạng 4k + 3.

Bài toán 2.3 Chứng minh rằng tổng các số chính phươngcủa hai số lẻ không phải là một số chính phương

Bài toán 2.4 Chứng minh rằng mỗi cặp số nguyên dương(m, n) mà tổng và tích của chúng đều là số chính phương thìchúng có dạng m = ka2, n = kb2, trong đó a2+ b2 = kc2 với k là

Hệ quả 2.2 Các số sau không là số chính phương:

a) Tổng các số chính phương của hai số lẻ

b) Tổng các lũy thừa bậc chẵn của hai số lẻ

Bài toán 2.6 Chứng minh rằng tổng các số chính phươngcủa k số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương với mỗi

số k bằng 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Nhận xét 2.2

1 Với k = 2 thì phương trình n2+(n+1)2= m2 ⇔ (2n+1)2−2m2= −1 ⇔ t2− 2m2 = −1 (Phương trình Pell) với t = 2n + 1,

có vô hạn nghiệm nguyên dương, chẳng hạn là 32+ 42 = 52 và

202+ 212 = 292

2 Với k = 11 thì mệnh đề trên không đúng Chẳng hạn:

182+192+202+212+222+232+242+252+262+272+282 = 772.Bài toán 2.7 Chứng minh rằng không có số chính phương

A nào có một trong hai dạng sau (n ∈ Z)

a) A = 4n + 2

b) A = 4n + 3

Nhận xét 2.3 Khi a là một số lẻ thì a2 = 4b(b + 1) + 1, do

b và b + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên trong hai số luôn có một

số chẵn Do đó a2 không những chia 4 dư 1 mà còn chia 8 dư 1

Ví dụ 2.4 Chứng minh rằng: không có số chính phương nào

Hệ quả 2.3 Số nguyên dương n biểu diễn được thành tổngcủa ba bình phương khi và chỉ khi n 6= 4m(8k + 7) với m, k ∈ N.Định lý 2.26 (Định lý Hurwitz) Tất cả các số tự nhiên n

mà n2 không phải tổng bình phương của ba số tự nhiên là các số

n = 2h và n = 2h.5 với h = 0, 1, 2,

Cách phân tích một số tự nhiên thành tổng ba bìnhphương (nếu có thể)

Bài toán 2.9 Giải phương trình sau: x2+ y2+ z2 = 515.Bài toán 2.10 Giải phương trình sau: x2+ y2+ z2 = 701.Bài toán 2.11 Giải phương trình sau: x2+ y2+ z2 = 2007

2.1.3 Tổng của ba bình phương với hai bình phươngbằng nhau

Bổ đề 2.6 Nếu p là ước nguyên tố dạng 8k + 5 hoặc 8k + 7

và p | x2+ 2y2 thì p là ước của x và y

Ký hiệu A = {n ∈ Z+: |x2+ y2 = n có nghiệm nguyên}

Bổ đề 2.7 Nếu n ∈ A, m ∈ A thì nm ∈ A

Bổ đề 2.8 Giả sử n = p là số nguyên tố Khi đó p ∈ A khi

và chỉ khi p = 2 hoặc p = 8k + 1 hoặc p = 8k + 3

Định lý 2.27 Giả sử n có phân tích chính tắc n = 2rQ ps i

i Q qtj

j ,trong đó pi = 8k + 1 hoặc 8k + 3,qj = 8k + 5 hoặc 8k + 7 Ta có

n ∈ A khi và chỉ khi tj là số chẵn với mọi j

Ví dụ 2.5 Phương trình x2+ 2y2 = 21 vô nghiệm vì 21 =3.7, 7 = 8k + 7 có số mũ lẻ

Định lý 2.28 Điều kiện cần và đủ để n biểu diễn được dướidạng n = x2+ 2y2 với x, y nguyên dương là

a) Nếu n là số chính phương thì n phải có ước nguyên tố dạng8k + 1 hoặc 8k + 3

b) Nếu n là số không chính phương thì trong phân tích chínhtắc của n các ước nguyên tố p = 2 hoặc p = 8k + 5 hoặc p = 8k + 7phải có số mũ chẵn

Bài toán 2.12 Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyêndương a, b, c sao cho: a2+ b2+ c2 chia hết cho 3(ab + bc + ca)

2.1.4 Tổng của bốn bình phương

Định lý 2.29 (Định lý Lagrange) Một số nguyên dương baogiờ cũng biểu diễn thành tổng bốn bình phương của các số nguyênkhông âm

Trước hết ta sử dụng các bổ đề sau:

Bổ đề 2.9 Tích của hai số nguyên dương mà mỗi số là tổngcủa bốn bình phương các số nguyên không âm cũng sẽ là tổng củabốn bình phương các số nguyên không âm

Bổ đề 2.10 Nếu p là số nguyên tố lẻ thì tồn tại k, 0 < k < psao cho kp là tổng của bốn bình phương các số nguyên không âm

Bổ đề 2.11 Nếu p là số nguyên tố thì p được biểu diễn thànhtổng của bốn bình phương của các số nguyên không âm

Định lý 2.30 Số nguyên dương dạng 2nvới n > 2 biểu diễnthành tổng của bốn bình phương các số nguyên dương khi và chỉkhi n chẵn

Ví dụ 2.6 Tìm a, b, c, d nguyên dương sao cho a2+ b2+ c2+

d2= 22000

Ví dụ 2.7 Các số 15 và 540 biểu diễn thành tổng bốn bìnhphương

Ví dụ 2.8 Biểu diễn 14, 55 thành tổng bốn bình phương

2.1.5.Tổng của năm bình phương

Định lý 2.31 Mỗi số nguyên dương n > 169 luôn biểu diễnđược thành tổng năm bình phương của các số nguyên dương

2.1.6 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng năm hoặclớn hơn năm bình phương dương

Định lý 2.32 (Định lý Pall) Nếu m là số tự nhiên ≥ 6 thìtất cả các số nguyên dương không phải là bình phương của m số

tự nhiên là các số 1, 2, 3, , m − 1, m + 1, m + 2, m + 4, m + 5, m +

7, m + 10, m + 13

Tiếp theo, ta sẽ xét một số bài toán:

Bài toán tổng quát 2.1 Số nguyên dương n nào biểu diễnđược đồng thời thành tổng của hai hoặc của bốn hoặc năm bìnhphương của các số nguyên dương

Bài toán 2.13 Chứng minh mọi số tự nhiên chia hết cho 8

là tổng của 8 bình phương lẻ

Bài toán 2.14 Chứng minh rằng:

a) Tổng các lũy thừa bậc chẵn của ba số nguyên liên tiếp không

là số lũy thừa bậc chẵn

b) Tổng các lũy thừa bậc chẵn bằng nhau của 9 số nguyên liêntiếp không là số lũy thừa