SKKN Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Một trong những ứng dụng của vectơ trong hình học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng.. Chứngminh 3 điểm thẳng hàng là dạng toán hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và có thể pháttriển th

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Toán học là môn học rèn luyện khả năng tư duy, logic trong giải quyết vấn đề Đặc biệt làmôn hình học đòi hỏi học sinh phải tư duy, liên kết các giải thiết và phát hiện các tính chất đặc biệt mà đề bài còn ẩn từ đó đưa ra hướng giải quyết bài toán

Vectơ là chương đầu tiên của hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế như là tính công trong vật lý Ngoài ra vectơ còn là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khó như giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức Một trong những ứng dụng của vectơ trong hình học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng Nói đến hình học

đa số học sinh đều sợ vì hình học đòi hỏi học sinh phải tuy duy nhiều và mỗi bài lại có những điểm khác nhau mà học sinh gặp khó khăn trong việc quy lạ về quen Có những bàihình học đòi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp khá nhiều khó khăn Chứngminh 3 điểm thẳng hàng là dạng toán hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và có thể pháttriển thành các bài trắc nghiệm sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng lớp 10 Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” tôi chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh giúp học sinh làm những bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng Học sinh sẽ không con thấy lo sợ khi gặp các bài toán hình học

Sáng kiến kinh nghiệm tôi viết do nhiều yếu tố khách quan nên vẫn còn nhiều tồn tại Rất mong nhận được sự đóng góp của đồng nghiệp và học sinh để sáng kiến của tôi hoàn thiện hơn

2 Tên sáng kiến: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ.

3 Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Phan Thị Kim Sang

- Địa chỉ: xã Thổ Tang - Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

-Số điện thoại: 0979909495 email: minhsang909495@gmail.com

4 Chủ đầu tư ra sáng kiến

Phan Thị Kim Sang

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

- Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng trong lĩnh vực hình học phẳng

- Sáng kiến kinh nghiệm giúp giải quyết được các bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học phẳng,

- Các bài toán trong vật lý

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

- Ngày 15 tháng 11 năm 2018

7 Mô tả bản chất của sáng kiến

- Nội dung của sáng kiến được chia làm 3 phần

Phần 1: Những bài tập về phân tích một vectơ qua 2 vectơ không cùng phương

Phần 2: Những bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng được chia theo 4 mức độ nhận thức và phát triển một số bài tự luận sang trắc nghiệm

Phần 3: Một số bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ trong một số đề thi học sinh giỏi

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến

Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” có khẳ năng áp dụng cho học sinh khá, giỏi

Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ thì điều qua trọng các em học sinh phải biết phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ không cùng phương Vì vậy phần đầu tiên tôi đưa ra bài tập về phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.

Phần 1: Phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ không cùng phương

Cơ sở lí luận: Cho 2 vectơ không cùng phương a và b Khi đó mọi vectơ x đều có thể phân tích duy nhất qua hai vectơa và b, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho

x ma nb 

  

Bài 1 Cho ABC có trọng tâm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF Đặt u                           AE; v              AF

Hãy phân tích các vectơ AI , AG,DE,DC

   

theo hai vectơ u,v

 

Bài 4 Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM=3CM, trên đoạn AM lấy

N sao cho 2AN=5MN G là trọng tâm tam giác ABC

a) Theo giả thiết ta có:

34

BMuuur= BCuuur

và

57

uuur uuuur

suy ra

34

uuur uuur uuur uuur uuur

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GAuuur uur uuur r+GB+GC= 0 suy ra GCuuur=- GA GBuuur uur

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB

và CD sao cho AB=3AM CD, =2CN và G là trọng tâm tam giác MNB Phân tích các

vectơ AN MN AG, ,

uuur uuuur uuur

qua các véc tơ uuurAB

Ta có:

12

Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng chia làm 4 mức độ

I Mức độ nhận biết

Bài tập ở phần này được chia thành nhiều phần nhỏ để dẫn dắt học sinh đến bước chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng

Bài 1 Cho tam giác ABC Đặt ar=uuur rAB b, =uuurAC

a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn:

1, 23

AM= AB CN= BC

uuuur uuur uuur uuur

c) Gọi I là điểm thỏa: MIuuur uuur=CM Chứng minh I A N, , thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a) Vì

13

Bài 3 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D là điểm đối xứng của A qua B, và E là

điểm trên đoạn AC sao cho

2 5

a) Hãy phân tích các vectơ DE DG,

cùng phương nên 3 điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 5 Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: MB2MC

 

, NA2CN

 

,0

b) Từ (1) và (2) ta có

1

, 3

II Mức độ thông hiểu

Ở mức độ thông hiểu những bài chứng minh ba điểm thẳng hàng sẽ phức tạp hơn, sẽ không có những phần gợi ý học sinh sẽ phải phân tích đề bài rồi đưa ra hướng giải quyết bài toán.

Bài 1 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là điểm

Bài 2 Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC Điểm F

thuộc cạnh AC sao cho AF=2FC, điểm I thuộc EF sao cho 4EI=3FI Chứng minh 3 điểm

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm của CD Lấy điểm M trên đoạn BI

sao cho BM=2MI Chứng minh rằng 3 điểm A, M, C thẳng hàng

Hướng dẫn giải

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

Từ (1) và (2) ta có

Bài 5 Cho 3 điểm A, B, C và O là 1 điểm tùy ý Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng khi

AK  AC

Bài 3 Cho DABC, gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho

3 4

, I là trung điểm đoạn AM, N là điểm thỏa mãnuurNA=k NBuuur. Tìm k để 3 điểm C, I, N thẳng hàng

k 

thì 3 điểm C, N, I thẳng hàng

Bài 4 Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho MA  2MC

, N là điểmthuộc BM sao cho NB  3NM

, P là điểm thuộc BC sao co PB k PC

k k

 

 

3434

Bài 1 Cho hai tam giác ABC và A B C1 1 1 ; A B C2 , 2 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác

BCA CAB ABC1, 1, 1 Gọi G G G, , 1 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC A B C, 1 1 1,

A B C2 2 2 Chứng minh rằng G G G, , 1 2 thẳng hàng và tính

GG GG

1

2

Hướng dẫn giải

Vì G G, 1 là trọng tâm tam giác ABC A B C, 1 1 1

suy ra 3GGuuuur1=GAuuur1+GBuuur1+GCuuuur1

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuuur uuur uuur uuur

Tương tự G G, 2 là trọng tâm tam giác ABC A B C, 2 2 2

suy ra 3GGuuuur1=GAuuur1+GBuuur1+GCuuuur1

Û 3uuuur2=uuur2+uuuur uuuur2+ 2

Mặt khác AA2+BB2+CC2=AA1+BB1+CC1+A A1 2+B B1 2+C C1 2

uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur

Mà A B C2 , 2 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA CAB ABC1 , 1 , 1

Suy ra 3(A Auuuur uuuur1 2+B B1 2+C Cuuuur1 2) =3(A Buuur1 +ACuuur1 +B Cuuur1 +B A C A C Buuur1 +uuur1 +uuur1 )

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur

uuur uuur uuur

Do đó AAuuur2+BBuuuur uuuur2+CC2=3(AAuuur1+BBuuur1+CCuuur1)

Þ uuuur2=uuur1+uuur1+uuur1

Vậy GGuuuur2=3GGuuuur1

Bài 2 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho MB =a MC NC, = b NA PA, =g PB

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

.Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng

3 4 Gọi O là giao điểm của CM và BN Trên đường thẳng

BC lấy E Đặt BEuuur=xBCuuur

Vì AOuuur chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua ABuuur và ACuuur suy ra

Ta có: AO = AB + AC

uuur uuur uuur

AEuuur = (1 - x AB)uuur+xACuuur

k 

thì 3 điểm B, I, E thẳng hàng

V Phát triển một số bài tập tự luận sang bài tập trắc nghiệm

ở phần ngày tôi sẽ chuyển một số bài tập trong phần III và phần IV sang dạng bài trắc nghiệm

Bài 1 ( bài 1 trong phần III )

Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn

2 3

m 

C

1 3

m 

D

2 3

m 

Bài 2 ( bài 3 trong mục III )

Cho DABC, gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho

3 4

, I là trung điểm đoạn

k 

C

3 4

k 

D

3 4

k 

Bài 3 ( bài 4 trong mục III)

Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho MA  2MC

, N là điểm thuộc BMsao cho NB 3NM

, P là điểm thuộc BC sao co PB k PC

 

Tìm k để 3 điểm A, N, Pthẳng hàng

2

k   

  C

33;

k   

 

Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

.Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng

A 1 B 2 C 2 D 1

Bài 5 (bài 4 trong phần IV)

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho

k 

C

4 17

k 

D

5 17

k 

Phần 3 Một số bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ trong một số đề thi học sinh giỏi

Bài 1 (đề HSG Hoàn Kiếm- Hà Nội năm học 2014-2015)

Cho tam giác ABC đều, O là trọng tâm của tam giác M là một điểm nằm trong tam giác

M khác O.Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh

3 2

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC

lần lượt cắt AB, AC tại A1, A2; kẻ đường

thẳng song song với AC lần lượt cắt BC,

AB tại B1, B2; kẻ đường thẳng song song

với AB lần lượt cắt BC, AC tại C1, C2

Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều,

 M, O, G thẳng hàng Vậy OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF

Bài 2 (đề HSG Hà Nam năm học 2012-2013)

Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P Đường tròn nội tiếp của tamgiác ABC tiếp xúc với AB, BC lần lượt tại N, M

Hướng dẫn giải

a Gọi Q là giao điểm của AP và

BC, suy ra P là trung điểm của

AQ, tam giác ACQ cân tại C

CQ = CA = b suy ra

BQ = BC – CQ = a – b

suy ra PM cùng phương với MN do đó P, M, N thẳng hàng

Bài 3 (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015)

Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giácABC Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, và G’ là trọng tâmtam giác MNP Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G

Khi đó với mọi điểm O ta có OA OB OC     3.OG

Do M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác OBC, OCA, OAB nên:

2.3.OG 3.3.OG' 2.OG 3.OG' O G, ,G'

                                                            

thẳng hàng

Bài 4 (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017-2018)

Cho ba dây cung song song AA BB CC1 , 1 , 1 của đường tròn (O) Chứng minh rằng trực tâmcủa ba tam giác ABC BCA CAB1 , 1 , 1 nằm trên một đường thẳng

Hướng dẫn giải

Gọi H H H1 , 2 , 3 lần lượt là trực tâm của các tam giácABC BCA CAB1 , 1 , 1

= uuur- uuuur1+uuur1- uuur=C Cuuur1 +AAuuur1

H Huuuuur1 3 =OHuuuur3- OHuuuur1=OCuuur- OCuuuur1+OBuuur1- OBuuur=C Cuuur1 +BBuuur1

Vì các dây cung AA BB CC1 , 1 , 1 song song với nhau

Nên ba vectơ AA BB CCuuur uuur uuur1, 1, 1 có cùng phương

Do đó hai vectơ H H1 2

uuuuur

và H H1 3

uuuuurcùng phương hay ba điểm H H H1 , 2 , 3 thẳng hàng

8 Những thông tin cần được bảo mật

- Không có thông tin nào

- Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm được hiệu quả thì học sinh phải được học bài tích của một số với một vectơ và học sinh có nhận thức khá giỏi.

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu

- Những bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hay bài tính tỉ số đoạn thẳng ở lớp dưới hay phải vẽ hình phụ làm cho học sinh gặp nhiều rắc rối Học sinh không hiểu vì sao lại phải

vẽ thêm hình phụ và cơ sở tư duy nào để vẽ được hình phụ Sáng kiến đã khắc phục đượcnhược điểm đó

10.1 Đánh giá lợi ích của sáng kiến thu được theo ý kiến của tác giả

- Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm với nhóm học sinh có học lực khá giỏi lớp 10A3 trường THPT Nguyễn Viết Xuân tôi thấy các em có đã làm tốt bài tập chứng minh

3 điểm thẳng hàng Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi hy vọng sẽ giúp được các em học sinh làm bài thi học sinh giỏi và bài trắc nghiệm đạt được kết quả cao

- Đối với giáo viên trong quá trình làm sáng kiến kinh nghiệm, giáo viên phải tìm tài liệu

và nghiên cứu bài tập nhờ vậy mà chuyên môn của giáo viên được nâng cao hơn

10.2 Đánh giá lợi ích thu được

Sáng kiến của tôi đã được các thầy cô trong tổ bộ môn tham khảo, và dùng trong quá trìnhgiảng dạy, đặc biệt là cô Nguyễn Thị Huyền hiện đanh giảng dạy cùng khối 10, và đãnhận được những phản hồi rất tích cực

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu

1 Nguyễn Thị Huyền THPT Nguyễn Viết

Xuân

Học sinh ôn thi thpt quốc gia

2 Phan Thị Kim Sang THPT Nguyễn Viết

Xuân

Học sinh ôn thi học sinh giỏitoán 10 và ôn thi thpt quốc gia

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Sách giáo khoavà sách giáo viên hình học 10-Bộ giáo dục đào tạo

Vĩnh Tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019