Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

Đại học Thái Nguyên Trường Đại học sư phạm

-Bùi Thanh Đoàn

Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố

gắn kết của môđun Tor

Luận văn thạc sĩ toán học

Thái nguyên - 2010

Đại học Thái Nguyên Trường Đại học sư phạm

-Bùi Thanh Đoàn

Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố

gắn kết của môđun Tor

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số.

Mã số: 60.46.05

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Dung

Thái nguyên - 2010

Mục lục

Trang

Mục lục .1

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis 6

1.2 Biểu diễn thứ cấp 8

1.3 Chiều Noether của môđun Artin 10

1.4 Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn .12

1.5 Dãy chính quy và độ sâu của môđun 15

Chương 2 Dãy đối chính quy với chiều > s .17

2.1 Dãy đối chính quy 17

2.2 Dãy đối chính quy với chiều > s 19

Chương 3 Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor .29

3.1 Độ rộng với chiều > s 29

3.2 Kết quả hữu hạn .34

Kết luận .39

Tài liệu tham khảo 40

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân, bạn bè và tất cả nhữngngười đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viênBùi Thanh Đoàn

Mở đầu

Artin Để nghiên cứu cấu trúc của các môđun Noether và môđun Artin, người

ta thường quan tâm đến các tập iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tốgắn kết tương ứng của chúng Xuất phát từ một kết quả trong vành các số

1 pαk

tích tiêu chuẩn của số nguyên m thì tập AssZZ/InZ = {p1Z, , pkZ} là

tính chất này còn đúng khi thay Z bởi một vành giao hoán Noether tuỳ ý haykhông Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về vấn đề này mà điển hình làkết quả của M Brodmann vào năm 1979, trong đó ông đã chứng minh rằng

n  0.Tiếp theo, vào năm 1986, R Y Sharp đã chứng minh kết quả đối ngẫucho môđun Artin, đó là các tập AttR(0 :A In) và AttR(0 :A In+1/0 :A In)

M/InM ∼= TorR0(R/In, M ) và (0 :A In) ∼= Ext0R(R/In, A)

Vì thế, một cách tự nhiên khi hỏi rằng liệu các kết quả trên có thể mở rộngcho các môđunExtiR(R/In, A) và TorRi (R/In, M ), với i bất kỳ hay không.Câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên được đưa ra bởi L Melkersson và

P Schenzel vào năm 1993 Họ đã chứng minh được các tập

AssR TorRi (R/In, M )
và AttR ExtiR(R/In, A)
, n = 1, 2,

là ổn định khi nđủ lớn Đồng thời, họ cũng đặt ra câu hỏi khi nào thì hai tập

AttR TorRi (R/In, A)
và AssR ExtiR(R/In, M )
, n = 1, 2,

câu hỏi trên lại nhìn chung là phủ định, thậm chí còn tồn tại các tập

n

AttR TorRi (R/In, A)
và S

n

AssR ExtiR(R/In, M )
là vô hạn (Ví dụ của

M Katzman [6, Hệ quả 1.3]) Vì vậy, câu hỏi tiếp theo được đặt ra là tìm

Một phần câu trả lời cho câu hỏi trên đã được đưa ra bởi M Brodmann

với chiều > s và độ sâu với chiều > s của M trongI depth>s(I, M ), họ đã

{p ∈ [

n>0

AssR ExttR(R/In, M )
| dim(R/p) ≥ s}

là hữu hạn với mọi t6 r,trong đó r = depth>s(I, M )

Tiếp theo đó, vào năm 2010, phần còn lại của câu hỏi trên đã được trả lờibởi L T Nhan và N T Dung [13] Thông qua khái niệm dãy đối chính quyvới chiều > s, nếu ký hiệu

(AttRA)≥s = {p ∈ AttRA | dim(R/p) ≥ s}

là hữu hạn với mọit 6 r, với n đủ lớn và với mọi bộ số tự nhiên n1, , nk,

(x1, , xk) là hệ sinh của I

Mục đích của luận văn này là chứng minh một cách chi tiết các kết quả

về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor trong [13]:''A finitenees result for attached primes of certain Tor-modules''

Luận văn gồm 3 chương Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị trong đótrình bày lý thuyết đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether củamôđun Artin cùng với một số tính chất của hàm tử mở rộng, hàm tử xoắn,dãy chính quy và độ sâu của môđun thường được sử dụng trong các chươngtiếp theo Chương 2trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất của M-dãy đốichính quy với chiều> s và đặc trưng độ dài tối đại của dãy đối chính quy với

của nó Khái niệm độ rộng với chiều > svà kết quả về tính chất hữu hạn của

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

một số kiến thức được dùng trong các chương tiếp theo: Cấu trúc của môđunArtin, đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, môđun mở rộng vàmôđun xoắn, dãy chính quy và độ sâu,

1.1 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis

m1, ,mr thì

A = Γm1(A) ⊕ ⊕ Γmr(A) và Supp A = {m1, ,mr}

(ii) Với mỗi j ∈ {1, , r}, nếu s ∈ R \ mj, thì phép nhân bởi s cho ta

Amj ∼= Γ

m j(A), với mọi j = 1, , r

quan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan

mt, t = 0, 1, 2, Rb được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng, phép

mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r

b

đó, A có cấu trúc tự nhiên của bR-môđun Artin

Do có cấu trúc đặc biệt như vậy nên người ta có thể chuyển việc nghiêncứu môđun Artin trên một vành giao hoán bất kì về việc nghiên cứu trên vành

địa phương Hơn nữa, việc nghiên cấu trúc của môđun Artin trong một sốtrường hợp có thể chuyển về nghiên cứu trên môđun Noether nhờ lý thuyết

đối ngẫu Matlis Dưới đây là một số tính chất đối ngẫu Matlis hay được sửdụng trong luận văn

àM : M −→ DD(M ) = HomR(HomR(M, E), E)

là R-đồng cấu tự nhiên cho bởi àM(x)(f ) = f (x), với mọi x ∈ M, và

f ∈ Hom(M, E) Khi đó ta có kết quả sau (xem [18, Định lý 2.1])

duy nhất af ∈ R : f (x) = afx, ∀x ∈ E

(iv) Ann M = Ann D(M ), và nếu M là R-môđun sao cho `R(M ) < ∞,thì `R(D(M )) = `R(M )

1.2 Biểu diễn thứ cấp

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I G Macdonald [9] được xemnhư là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđunNoether

(ii) Cho M là R-môđun Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích

M = N1+ + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni Nếu

M = 0hoặcM có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được Biểudiễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi mộtkhác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi i = 1, , n

tối thiểu Khi đó tập hợp {p1, ,pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứcấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M, kíhiệu bởi AttRM Các hạng tử Ni, i = 1, , n, được gọi là các thành phầnthứ cấp của M

biểu diễn thứ cấp tối thiểu củaA Hơn nữa ta có các khẳng định sau là tương

đương với p là iđêan nguyên tố

(i) p ∈ AttRA

khi và chỉ khiAttRM 6= ∅ Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối

diễn được Khi đó ta có

AttRM00 ⊆ AttRM ⊆ AttRM0∪ AttRM00

Cho Alà một R-môđun Artin Khi đó, Alà biểu diễn được và tậpAttRA

trúc tự nhiên của bR-môđun và với cấu trúc này mỗi tập con củaAlàR-môđun

quả sau (xem [18, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7])

Mệnh đề 1.2.4 Các mệnh đề sau là đúng

(i) AttRA = {bp∩ R : bp ∈ Att

b

RA}

1.3 Chiều Noether của môđun Artin

đó pi 6= pi+1 được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n Khi đó chiều Krull của

dim M = dim R/ AnnRM = sup

p∈Ass M

dim(R/p)

Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được đưa ra bởi

R N Roberts [16] và sau đó D Kirby [8] đổi tên thành chiều Noether đểtránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho các môđun Noether.Các thuật ngữ về chiều Noether được dùng trong luận văn là theo [8]

được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

Khi A = 0,đặt N-dimRA = −1.

Với A 6= 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dimRA = d nếu

N-dimRA < d là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ các môđuncon của A, tồn tại số nguyên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, với mọi

n > n0

sinh M thì dim M = 0 nếu và chỉ nếu M 6= 0 và `R(M ) < ∞ Từ Địnhnghĩa 1.3.1 ta có một số tính chất sau về chiều Noether

Bổ đề 1.3.2 (i)N-dimRA = 0nếu và chỉ nếuA 6= 0 và`R(A) < ∞ Trong

0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0

N-dimRA = max{N-dimRA0, N-dimRA00}

(ii) N-dimRA 6 dim R/ AnnRA = max{dim R/p : p ∈ AttRA} và tồn

cấu trúc tự nhiên của bR-môđun Artin và ta có

chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho môđun

Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull cho môđunhữu hạn sinh đã được đưa ra (xem [4], [8], [16], ) Đặc biệt là kết quả sau

được R N Roberts [16, Định lý 6] chứng minh cho trường hợp vành tựa địaphương và sau đó được Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [4, Định lý 2.6]chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kỳ

Mệnh đề 1.3.3 `R(0 :A JAn) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n  0 và

−→ Hom(P1, N ) u

∗ 2

−→ Hom(P2, N ) −→

Khi đó ExtnR(M, N ) = Ker u∗n+1/ Im u∗n là môđun đối đồng điều thứ n của

đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của

M)

Định nghĩa 1.4.2 Cho M, N là các R-môđun vàn ≥ 0 là một số tự nhiên.

xoắn thứncủaM vàN và được kí hiệu là TorRn(M, N ) Cụ thể, để xây dựng

TorRn ta lấy một dải xạ ảnh của M

−→ P1 ⊗ N v

∗ 1

−→ P0 ⊗ N −→ 0

Khi đó TorRn(M, N ) = Ker vn∗/ Im v∗n+1 là môđun đối đồng điều thứ n của

dùng trong luận văn này

Mệnh đề 1.4.3 (a)Ext0R(M, N ) ∼= Hom(M, N )vàTorR0(M, N ) ∼= M ⊗N

đồng cấu nối ExtnR(M, N00) −→ Extn+1R (M, N0) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta

có dãy khớp dài

0 −→ Hom(M, N0) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N00) −→ Ext1R(M, N0)

−→ Ext1R(M, N ) −→ Ext1R(M, N00) −→ Ext2R(M, N0) −→

đồng cấu nối ExtnR(M0, N ) −→ Extn+1R (M00, N ) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta

có dãy khớp dài

0 −→ Hom(M00, N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M0, N ) −→ Ext1R(M00, N )

−→ Ext1R(M, N ) −→ Ext1R(M0, N ) −→ Ext2R(M00, N ) −→

(g) Nếu 0 −→ N0 −→ N −→ N00 −→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các

đồng cấu nối TorRn(M, N00) −→ TorRn−1(M, N0) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta

có dãy khớp dài

−→ TorRn(M, N0) −→ TorRn(M, N ) −→ TorRn(M, N00)

−→ TorRn−1(M, N0) −→ TorRn−1(M, N ) −→ TorRn−1(M, N00)

−→ TorR1(M, N00) −→ (M ⊗ N0) −→ (M ⊗ N ) −→ (M ⊗ N00) −→ 0

Hệ quả 1.4.4 Nếu M, N hữu hạn sinh thì ExtnR(M, N ) và TorRn(M, N ) là

(ii) Cho I là iđêan của R Khi đó

1.5 Dãy chính quy và độ sâu của môđun

Dãy chính quy là một trong những dãy cơ bản của đại số giao hoán màthông qua đó người ta có thể định nghĩa khái niệm độ sâu - một bất biến rấtquan trọng để nghiên cứu cấu trúc của môđun (xem [10])

và a không là ước của 0 trong M Dãy các phần tử (a1, , an) ∈ R được

(a) M/(a1, , an)M 6= 0

(b) ai là phần tử M/(a1, , ai−1)M-chính quy, với mọi i = 1, , n.Dãy các phần tử (a1, , an) ∈ R được gọi là M- dãy chính quy nghèonếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên

Chú ý 1.5.2 (i) Giả sử M là hữu hạn sinh Khi đó (a1, , an) ∈ R là

M-dãy chính quy khi và chỉ khi ai ∈/ p, ∀p ∈ AssRM/(a1, , ai−1)M

mọi dãy (a1, , an) ∈ m đều thỏa mãn điều kiện M/(a1, , an)M 6= 0,

(iii) Nếu (a1, , an) là M-dãy chính quy trong I thì (at1

1 , , atn

n) cũng là

M-dãy chính quy trong I với mọi số nguyên dương t1, , tn

Tiếp theo ta đưa ra một số tính chất củadepth(I, M )hay được dùng trongluận văn Định lí sau chỉ ra quan hệ giữa độ sâu của môđun và chiều của nó.

thứ i HIi(M ) của M ứng với iđêan I được định nghĩa bởi

HIi(M ) = Ri(ΓI(M )),

điều địa phương

(i) Ta có các đẳng thức sau

depth(I, M ) = inf{i | ExtiR(R/I, M ) 6= 0} = inf{i | HIi(R/I, M ) 6= 0}

AssR(ExttR(R/I, M )) = AssR(HIt(M ))

Chương 2

Dãy đối chính quy với chiều > s

Trong toàn bộ chương này, ta vẫn giả thiết(R,m)là vành địa phương,I là

N V Hoang trong [14] như là một sự mở rộng của khái niệm dãy đối chínhquy đưa ra bởi A Ooishi [15] và thông qua khái niệm này họ đã chứng minhmột kết quả hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin

của A

2.1 Dãy đối chính quy

Khái niệm dãy đối chính quy cho một môđun tuỳ ý được nghiên cứu bởi

A Ooishi [15], ở đó ông đã đưa ra một số tính chất cơ bản của dãy đối chínhquy khi môđun là Artin Các khái niệm và tính chất này theo một nghĩa nào

đó đối ngẫu với các khái niệm và tính chất của dãy chính quy cho môđun hữuhạn sinh trên vành Noether

x1, , xr trong R được gọi là dãy đối chính quy của M (hay M-dãy đối

chính quy) nếu thoả mãn các điều kiện sau.

(i) (0 :M (x1, , xr)R) 6= 0

(ii) xi(0 :M (x1, , xi−1)R) = (0 :M (x1, , xi−1)R), với 1 6 i 6 r

Đặc biệt, phần tửx ∈ Rđược gọi là phần tửM-đối chính quy nếu0 :M x 6= 0

và xM = M

đối chính quy tối đại trong I có chung độ dài Vì thế ta có định nghĩa sau

Width(I, A) ), là độ dài của một A-dãy đối chính quy tối đại trong I Đặc

Width A

nếu các phần tử x1, , xr ∈ m, thì theo tính chất của môđun Artin điều kiện

(0 :A (x1, , xr)R) 6= 0 trong Định nghĩa 2.1.1 luôn được thoả mãn

Các kết quả sau đây cho thấy đối với mỗi môđun Artin A, sự tồn tại của

chúng

Mệnh đề 2.1.5 ChoI là iđêan củaRvà(x1, , xn)là mộtA-dãy đối chínhquy trong I Khi đó

(1) TorRi (R/I, A) = 0 với mọi i < n

(2) TorRn(R/I, A) ∼= 0 :A (x1, , xn) ⊗R R/I

sau là tương đương:

(1) TorRi (R/I, A) = 0 với mọi i < n

(2) Tồn tại A-dãy đối chính quy (x1, , xn) trong I

Giả sử I là iđêan của R sao cho (0 :A I) 6= 0 Từ các kết quả trên ta có

thức

WidthI(A) = inf{n ≥ 0 | TorRn(R/I, A) 6= 0}

2.2 Dãy đối chính quy với chiều > s

khái niệm A-dãy đối chính quy với chiều > s được đưa ra trong [14]

Định nghĩa 2.2.1 [14, Định nghĩa 2.4], một dãy các phần tử (x1, , xk)

mọi iđêan nguyên tố gắn kết p ∈ AttR(0 :A (x1, , xi−1)R) thoả mãn

dim(R/p) > s, với mọi i = 1, , k

Chú ý rằng A-dãy đối chính quy với chiều> −1chính làA-dãy đối chínhquy đã được định nghĩa bởi A Ooishi [15]

Bổ đề 2.2.2 Giả sử x là phần tử A-đối chính quy với chiều > s Khi đó

dim(A/xA) 6 s

trong đó Ai là pi-thứ cấp Theo giả thiết x là phần tử A-đối chính quy vớichiều > s nên x /∈ pi với mọi i thoả mãn dim(R/pi) > s Không mất tínhtổng quát, ta có thể đánh số lại sao cho các môđun con thứ cấpA1, , Ai−1

thỏa mãn dim(R/pk) 6 s và Ai, , At thỏa mãn dim(R/pj) > s, với mọi

k = 1, , i − 1 và j = i, , t Khi đó xAj = Aj với mọi j = i, , t Vìthế ta có đẳng cấu sau

A/xA = (A1 + ã ã ã + At)/xA1 + ã ã ã + xAt

∼

= (A1 + ã ã ã + Ai−1)/(xA1 + ã ã ã + xAi−1) ∩ (Ai + ã ã ã + At)

chính quy với chiều > s trong I

Vì p ∈ AttRA, nên theo Định lí 1.2.2 tồn tại môđun thương A/B 6= 0

I(I(A/B)) = I(A/B) = A/B, do đó

I2(A/B) = A/B, , In(A/B) = A/B 6= 0,

dim(A/(B + IA)) = dim(R/p) > s Điều này dẫn đến

dim(A/IA) ≥ dim(A/(B + IA) > s,

mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy I 6⊆ p với mọi p ∈ AttRA thoả mãn

dim(R/p) > s Do đó tồn tại x ∈ I sao cho x /∈ p với mọi p ∈ AttRA

thỏa mãndim(R/p) > s Suy ra x là phần tử A-đối chính quy với chiều> s

trong I

ta một tương đương giữa phạm trù các môđun Artin và phạm trù các môđun

đó sử dụng đối ngẫu Matlis và địa phương hoá là bổ đề có tính chất kỹ thuậtcho việc chứng minh các kết quả tiếp theo của chương

Bổ đề 2.2.4 Một dãy(x1, , xk) các phần tử của m làA-dãy đối chính quyvới chiều> s nếu và chỉ nếu (x1, , xk) làD(A)

cho (x1, , xk) không là dãy chính quy nghèo của (D(A))

xj ∈ bq ∩ R ∈ AttR(0 :A (x1, , xj−1)R) Chú ý rằng ˆq ⊆ ˆp cho nên

dim(R/bq ∩ R) ≥ dim(R/bp ∩ R) > s Điều này mâu thuẫn với giả thiết

(x1, , xk) là A-dãy đối chính quy với chiều > s

Ngược lại, cho (x1, , xk) là dãy chính quy nghèo của(D(A))

b

p, với mọi

bp ∈ Var(Ann

b

RA) thoả mãn dim(R/bp ∩ R) > s Giả sử rằng (x1, , xk)

không làA-dãy đối chính quy với chiều> s Theo Định nghĩa 2.1.1 phải tồntại chỉ số j sao cho xj ∈ p với p ∈ AttR(0 :A (x1, , xj−1)R) thỏa mãn

dim(R/p) > s Từ Mệnh đề 1.2.4, tồn tạibq ∈ Att

b

R(0 :A (x1, , xj−1)R)

sao chobq∩ R = p.Suy rabq ∈ Ass

b R

b q



(D(A))

b q/(x1, , xj−1)(D(A))

b q

khớp các môđun cộng với mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên kết của

trên vành địa phương đầy đủ

(i) dim(TorRi (R/I, A))6 s với mọi i < n

(ii) Tồn tại A-dãy đối chính quy với chiều > s trong I có độ dàin