Tinh giai duoc cua mot lop he phuong trinh elliptic khong tuyenh tinh

Tinh giai duoc cua mot lop he phuong trinh elliptic khong tuyenh tinh

§¹i häc Quèc gia Hµ Néi Tr-êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn

Tóm tắt

Lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng đ-ợc nghiên cứu đầutiên trong các công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace nh-

là một công cụ chính để mô tả cơ học cũng nh- mô hình giải tích của vật

lý Vào giữa thế kỷ XIX với sự xuất hiện của các công trình của Riemann,

lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công

cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học Cuối thế kỷ này, H Poincaré đãchỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạohàm riêng và các ngành toán học khác Sang thế kỷ XX, lý thuyết ph-ơngtrình vi phân đạo hàm riêng phát triển vô cùng mạnh mẽ nhờ có công cụgiải tích hàm đặc biệt là từ khi xuất hiện lý thuyết hàm suy rộng do S.L.Sobolev và L Schwartz xây dựng

Không dừng lại ở việc nghiên cứu định tính hoặc định l-ợng các bàitoán ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng cụ thể, lý thuyết ph-ơng trình

vi phân đạo hàm riêng còn nghiên cứu trên ph-ơng diện giải tích các môhình trong sinh học, trong kinh tế, trong hoá học và vật lý thiên văn mà

ví dụ tiêu biểu là mô hình khuyếch tán trong sinh học và trong hoá học.Khi xét một bài toán ph-ơng trình đạo hàm riêng (có thể đó là bài toánbiên, bài toán điều kiện ban đầu, bài toán điều kiện hỗn hợp, ) ta th-ờnggặp những khả năng khác nhau về nghiệm của nó nh-ng nhìn chung cácvấn đề đặt ra đối với nghiệm của một bài toán là

? sự tồn tại nghiệm của bài toán;

? tính duy nhất nghiệm;

hai chiều với ma trận

−∆u = λu + δv + f (u, v) trong Ω,

−∆v = θu + γv + g (u, v) trong Ω,

u = v = 0 trên ∂Ω,

(2)

trong đó Ω ⊂ RN (N > 1) là miền bị chặn với biên trơn

Vì vậy, trong Luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu sự tồn tạinghiệm của bài toán trên

Luận văn bao gồm 3 ch-ơng chính sau đây

1 Ch-ơng 1

Ch-ơng 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị về các khônggian Sobolev, các tính chất định tính của toán tử Laplace, nguyên lýcực đại mạnh,

2 Ch-ơng 2

Mục đích chính của ch-ơng là chứng minh sự tồn tại và tính duy nhấtnghiệm của bài toán (2) với điều kiện f, g : Ω ì R → R là các hàmLipschitz theo u, v; nghĩa là

|f (u, v) − f (eu,ev)| ≤ k1(|u − eu| + |v − ev|),

|g(u, v) − g(eu,ev)| ≤ k2(|u − eu| + |v − ev|),

đúng với mọi u, eu, v, ev ∈ R

Ph-ơng pháp sử dụng ở đây là ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt ý

t-ởng ở đây là sử dụng phân tích tổng trực tiếp

H01(Ω) = X ⊕ Y

2

trong đó X là không gian một chiều sinh bởi hàm riêng ứng với giátrị riêng đầu tiên của toán tử −∆ Với phân tích trên ta quy về xéttính giải đ-ợc của hệ

0(Ω) lên X và Y

Với mỗi (u0, v0) ∈ X ì X cố định, ta giải bài toán (4) và giả sửnghiệm nhận đ-ợc là (z0, w0) ∈ Y ì Y Thay nghiệm vừa tìm đ-ợcvào bài toán (3) để giải và giả sử nghiệm tìm đ-ợc của bài toán (3)

là (u0, v0) Khi đó nghiệm của bài toán (2) sẽ là (u0 + z0, v0 + w0)

Kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chỉ ra đ-ợc rằng với mỗi(u0, v0) ∈ X ì X cố định, hệ (4) có nghiệm duy nhất nếu

(|λ| + k1)2 + (|δ| + k1)2 + (|θ| + k2)2 + (|γ| + k2)2 ≤ λ22

Nếu

(|λ| + k1)2 + (|δ| + k1)2 + (|θ| + k2)2 + (|γ| + k2)2 ≤ λ

2 2

2và

Cũng phải nhấn mạnh ở đây rằng trong tr-ờng hợp đang xét λ1 khôngphải là giá trị riêng của ma trận thực A Đây là kết quả mới và đã

đ-ợc tác giả công bố ở Electron J Diff Eqns., 129 (2005), 1-11

3

3 Ch-ơng 3

Bài toán đ-ợc đề cập trong ch-ơng 3 là

−∆u = λu + δv + f (x, u, v) trong Ω,

Khác với ch-ơng 2, chúng tôi không giả thiết tính Lipschitz đối với

f và g tuy nhiên lại cần sự tồn tại hàm F sao cho

f (x, u, v) = ∂F

∂u (x, u, v) ,

g(x, u, v) = ∂F

∂v (x, u, v) và

2

+ δ2 6= λj , ∀j

4

trong đó λj (j ≥ 1) là tất cả các giá trị riêng của toán tử −∆ trongmiền Ω, chúng tôi chứng minh đ-ợc phiếm hàm liên kết thỏa mãn

điều kiện Palais-Smale

Bằng cách áp dụng trực tiếp định lý điểm yên ngựa chúng tôi chỉ ra

đ-ợc sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (5)

Ngoài hai ch-ơng chính đã nói ở trên, Luận văn còn bao gồm những phầnphụ nữa nh- là Mở đầu, Lời cảm ơn, Danh mục các ký hiệu, Mục lục, Luận văn đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội d-ới sự h-ớng dẫn trựctiếp của PGS.TS Hoàng Quốc Toàn

5

Một số tính chất định tính của toán tử

Laplace trong miền bị chặn

1.1 Các không gian Sobolev 2

1.2 Không gian H −1 (Ω) 4

1.3 Một số bất đẳng thức 5

1.3.1 Bất đẳng thức Poincaré 5

1.3.2 Bất đẳng thức Hăolder 5

1.4 Toán tử−∆ và các tính chất của nó 5

1.5 Nguyên lý cực đại 10

Trong ch-ơng này, chúng ta xét các tính chất cơ bản về phổ của toán

tử −∆ trong miền bị chặn

1.1 Các không gian Sobolev

Giả thiết Ω ⊂ RN là miền mở bị chặn với biên ∂Ω trơn Ta định nghĩa không gian Sobolev

Wk,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω)|Dαu ∈ Lp(Ω) ,∀α : |α| ≤ k }

với chuẩn t-ơng ứng là

kukpWk,p = X

|α|≤k

|Dαu|pp

Đặc biệt, H1(Ω) = W1,2(Ω), tức là,

H1(Ω) = {u ∈ L2(Ω)

D1u ∈ L2(Ω)}

Không gian H1(Ω) đ-ợc trang bị tích vô h-ớng

0 (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compắc trong

Ω Ký hiệu W0k,p(Ω), H01(Ω) lần l-ợt là bổ sung đủ của C0∞(Ω) trong

Wk,p(Ω) và H1(Ω) Không gian H01(Ω) đ-ợc trang bị chuẩn cảm sinh từkhông gian H1(Ω) Ngoài ra H01(Ω) cũng là một không gian Hilbert đốivới tích vô h-ớng của H1(Ω)

Cũng cần phải phân biệt rằng nếu Ω ⊂ RN thì nói chung H1

0 (Ω) 6=

H1(Ω) Tuy nhiên, nếu RN\Ω đủ mỏng và N > 2 thì H1

0 (Ω) = H1(Ω).Các hàm thuộc H1

0 (Ω) là các hàm thuộc H1(Ω) và triệt tiêu trên biên ∂Ω,

để minh họa cho đặc tr-ng này của các hàm thuộc H1

Chứng minh của định lý này có thể xem trong [6, Định lý IX.17] Từ định

lý trên ta có thể thấy ngay vai trò của không gian H1

0 (Ω) trong các bàitoán biên với điều kiện biên Dirichlet

Để đơn giản ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây

L2(Ω) := L2(Ω)ì L2(Ω) , H10(Ω) := H01(Ω)ì H01(Ω)

Trong không gian L2(Ω) ta sử dụng chuẩn

|U|22 = |u|22 + |v|22

Ta đồng nhất L2(Ω) với không gian đối ngẫu của nó và vì vậy có sơ đồsau

H01(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ H−1(Ω)với các phép nhúng liên tục và chứa trong trù mật

Định lý sau nêu bật lên đặc tr-ng của các phần tử trong H−1(Ω)

Định lý 1.2 Nếu f ∈ H−1(Ω) thì tồn tại f0, f1, , fN ∈ L2(Ω) sao cho

max

0 ≤k≤N |fk|2 = kfkH −1 Chứng minh của định lý này có thể xem trong [6, Định lý IX.20]

1.4 Toán tử −∆ và các tính chất của nó 5

∞ = 0) Giả thiết Ω ⊂ RN là miền bị chặn Khi đó ta có

1.4 Toán tử −∆ và các tính chất của nó 6

là toán tử Laplace Toán tử −∆ đ-ợc xác định bởi (1.3) và (1.4) đ-ợc gọi

là toán tử của bài toán Dirichlet với điều kiện biên thuần nhất đối vớiph-ơng trình Laplace

Xét u ∈ H1

0 (Ω) bất kỳ Từ định nghĩa (1.4) của toán tử −∆ ta có

Hơn thế nữa

1.4 Toán tử −∆ và các tính chất của nó 7

0 (Ω) trực giao với miền giá trị R (−∆) ⊂ H−1(Ω),nghĩa là

Điều đó chứng tỏ u0 là nghiệm suy rộng của bài toán (1.5) 

Ký hiệu T : H−1(Ω) → H01(Ω) là toán tử nghịch đảo của toán tử −∆.Giả sử u, v ∈ H1

0 (Ω) Ta đặt φ = −∆u, ψ = ∆v Khi đó(T φ, ψ) = (T (−∆) u, −∆v) = (u, −∆v)

= (∇u, ∇v) = (−∆u, v) = (φ, T ψ)

Từ đó suy ra

(T φ, ψ) = (φ, T ψ) , ∀φ, ψ ∈ L2(Ω)

1.4 Toán tử −∆ và các tính chất của nó 8

Điều này chứng tỏ hạn chế của toán tử T trên không gian L2(Ω) là toán

tử tự liên hợp, tức là T = T∗ Ta đã biết phép nhúng H1

0 (Ω) ,→ L2(Ω) làcompắc cho nên toán tử T hạn chế trên L2(Ω)

T : L2(Ω)→ H01(Ω) ⊂ L2(Ω)

là toán tử compắc, tự liên hợp trong L2(Ω) Vậy ta đi đến định lý

Định lý 1.4 Toán tử nghịch đảo T của toán tử −∆ là compắc, xác địnhd-ơng và tự liên hợp trong L2(Ω)

Từ Định lý 1.4 ta suy ra tồn tại một cơ sở trực giao trong L2(Ω), kýhiệu là {ϕi}∞i=1, gồm các hàm riêng của toán tử T ứng với các giá trị riêng{ài}∞i=1 trong đó ài & 0 khi j → +∞ Hơn nữa, vì

T : L2(Ω)→ H01(Ω) ⊂ L2(Ω)nên ϕi ∈ H1

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λi ≤ , λi → +∞ (i → +∞)

Vì {ϕi}i ≥1 cũng là các hàm riêng của T nên ta đi đến khẳng định sau

Định lý 1.5 Tồn tại một cơ sở Hilbert gồm những hàm riêng {ϕi}i ≥1 củatoán tử −∆ t-ơng ứng với dãy các giá trị riêng {λi} đơn điệu tăng khi

Liên quan đến giá trị riêng đầu tiên λ1 của toán tử −∆ ta có định lýsau

1.4 Toán tử −∆ và các tính chất của nó 9

Định lý 1.6 Nếu λ1 là giá trị riêng đơn đầu tiên của toán tử −∆ thì

k(−∆)−1k = 1

λ1

Chứng minh Khẳng định của định lý t-ơng đ-ơng với việc chứng minh

kT k = à1 Thật vậy, vì {ϕi}i ≥1 là cơ sở trực giao của không gian L2(Ω)nên có thể xây dựng đ-ợc một cơ sở trực chuẩn của L2(Ω) gồm cácvéc tơ riêng, vẫn ký hiệu là {ϕi}i ≥1, của toán tử −∆ ứng với các giá trịriêng λi (i = 1, 2, ) Khi đó, với mỗi u ∈ L2(Ω) ta đều có biểu diễn

Nghĩa là kTuk ≤ |à1| kà1k Từ đó suy ra kT k ≤ |à1| Mặt khác, ta lại có

T u1 = à1u1 nên |à1| ≤ kT k Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh 

Hệ quả 1.2 Hàm riêng ϕ1 của toán tử −∆ thoả mãn |∇ϕ1|2

2 = λ1.Chứng minh Từ (1.6) ta thấy

|∇ϕ1|22 = (∇ϕ1,∇ϕ1) = (−∆ϕ1, ϕ1) = (λ1ϕ1, ϕ1) = λ1|ϕ1|22

Nh- vậy |∇ϕ1|22 = λ1 và ta có điều phải chứng minh Kết quả sau đề cập đến tính trơn của bài toán Dirichlet (1.5) Chứngminh chi tiết của định lý có thể tìm thấy trong [26, Định lý 1.3, trang 304].Xét toán tử vi phân L dạng

Lu = −∆u + Xu,trong đó X là toán tử vi phân cấp 1 với hệ số trơn trong Ω

1.5 Nguyên lý cực đại 10

Định lý 1.7 Cho f ∈ Hk −1(Ω) với k = 0, 1, 2, Khi đó, nghiệm u0 ∈

H01(Ω) của ph-ơng trình Lu = f thuộc Hk+1(Ω) Hơn nữa, ta có -ớcl-ợng tiên nghiệm

kuk2H k+1 (Ω) ≤ ckLuk2H k−1 (Ω)+kuk2H k (Ω)

,trong đó c là một hằng số d-ơng nào đó và u ∈ Hk+1(Ω)∩ H01(Ω) bất kỳ

Hệ quả 1.3 Hàm riêng ϕi (i = 1, 2, ) của toán tử −∆ thuộc C∞ Ω

1.5 Nguyên lý cực đại 11

Chứng minh Tr-ớc hết ta chú ý rằng nếu Lu(x) > 0 trong Ω thì u(x)không thể đạt cực đại tại một điểm trong Ω vì rằng nếu u(x) đạt cực đạitại u0(x) ∈ Ω thì tại đó

là nửa xác định âm Do đó Lu(x0) ≤ 0 Từ đó suy ra

0 (Ω) của toán tử −∆ ứng với giá trị riêng

λ1 không đổi dấu trong Ω

2dx = |∇ϕ1|2L 2 (Ω − ),trong đó Ω± = {x ∈ Ω | ±ϕ1(x) > 0} Vì ϕ1 là trơn trong Ω nên Ω+ và

Ω− là những tập con mở trong Ω Xét các tr-ờng hợp sau đây

1 Nếu Ω+ 6= ∅ thì từ định nghĩa ta thấy ϕ+1 ≡ ϕ1, hơn nữa trong Ω+ thì

Và do đó Ω− = ∅, tức là ϕ1 mang dấu d-ơng trong Ω

2 Chứng minh t-ơng tự cho tr-ờng hợp Ω− 6= ∅ ta đi đến Ω+ = ∅, tức

là ϕ1 mang dấu âm trong Ω

Dirich-ϕ1 t-ơng ứng với giá trị riêng λ1 có số chiều bằng 1.

Chứng minh Giả sử ϕ1 và eϕ1 là hai hàm riêng độc lập tuyến tính của toán

tử −∆ ứng với cùng một giá trị riêng λ1 Ta có thể giả thiết ϕ1 và eϕ1 làtrực giao với nhau, nghĩa là

Mâu thuẫn này chứng tỏ không gian con riêng L {ϕ1} sinh bởi hàm riêng

Ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt và hệ

ph-ơng trình elliptic cấp hai nửa tuyến tính trong miền bị chặn với phần chính là toán tử Laplace

2.1 Một số ký hiệu 15

2.2 Ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt 15

2.3 Một tr-ờng hợp riêng của bài toán (2.1) 16

2.4 Kết quả chính 22

2.5 Một số ví dụ 25

2.5.1 Tr-ờng hợp một chiều 25

2.5.2 Tr-ờng hợp nhiều chiều 26

Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet sau đây

−∆u = λu + δv + f(u, v) trong Ω,

−∆v = θu + γv + g(u, v) trong Ω,

u = v = 0 trên ∂Ω,

(2.1)

trong đó Ω ⊂ RN (N ≥ 3) là miền bị chặn với biên trơn,

A =







là ma trận các số thực, f, g : R ì R → R là các hàm Lipschitz theo u, v; nghĩa là

|f(u, v) − f(eu, ev)| ≤ k1(|u − eu| + |v − ev|),

|g(u, v) − g(eu, ev)| ≤ k2(|u − eu| + |v − ev|),

đúng với mọi u, eu, v, ev ∈ R

0(Ω) Ký hiệu P và Q lần l-ợt là các phép chiếu lên X and

Y Khi đó chiếu 2 vế của (2.2) ta nhận đ-ợc

2.3 Một tr-ờng hợp riêng của bài toán (2.1) 16

u0 = P (−∆)−1[λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)],

v0 = P (−∆)−1[θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)], (2.3)và

z = Q(−∆)−1[λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0+ z, v0 + w)],

w = Q(−∆)−1[θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)] (2.4)Với mỗi (u0, v0) ∈ X ì X cố định, ta giải bài toán (2.4) và giả sử nghiệmnhận đ-ợc là (z0, w0) ∈ Y ì Y Thay nghiệm vừa tìm đ-ợc vào bài toán(2.3) để giải và giả sử nghiệm tìm đ-ợc của bài toán (2.3) là (u0, v0) Khi

đó nghiệm của bài toán (2.1) sẽ là (u0 + z0, v0 + w0)

2.3 Một tr-ờng hợp riêng của bài toán (2.1)

Trong mục này, chúng ta sẽ một tr-ờng hợp đặc biệt của bài toán (2.1), cụthể chúng ta xét khi γ = λ = λ1, k1 = k2 = k và δ = θ > 0, nghĩa là

z = Q(−∆)−1[λ1(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)],

w = Q(−∆)−1[δ(u0 + z) + λ1(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)] (2.7)

Cố định (u0, v0) ∈ X ì X, xét bài toán (2.7) Đặt

FQ(z, w) = (FQ(1)(z, w), FQ(2)(z, w)),

2.3 Mét tr-êng hîp riªng cña bµi to¸n (2.1) 17

|f(u0 + z, v0 + w)− f(u0 + ez, v0 + ew)| ≤ k(|z − ez| + |w − ew|)

|f(u0 + z, v0 + w)− f(u0 + ez, v0 + ew)|22 ≤ k2 |z − ez| + |w − ew| 22.V×

2.3 Một tr-ờng hợp riêng của bài toán (2.1) 18

|z − ez| + |w − ew| ... class="page_container" data-page="19">

Ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt hệ

ph-ơng trình elliptic cấp hai nửa tuyến tính miền bị chặn với phần tốn tử Laplace

2.1 Một...

A =







là ma trận số thực, f, g : R ì R → R hàm Lipschitz theo u, v; nghĩa

|f(u, v) − f(eu, ev)| ≤ k1(|u − eu| + |v − ev|),

|g(u,... riêng toán (2.1) 21

Chứng minh Xét (eu0, ev0) in XìX Theo Bổ đề 2.1 tồn (ez0, ew0)

Y ì Y Từ định nghĩa FP(1)(u0,