Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ.

Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ.

Phơng pháp đặt ẩn phụ để

giải phơng trình mũ

A/ Lý do chọn đề tài:

Để giải đợc một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng

đắn đờng lối giải bài toán đó Quá trình đi từ đờng lối đúng đắn đến việc có một lời giải tốt đòi hỏi ngời làm toán phải biết cách lựa chọn phơng pháp

và công cụ thích hợp Để giải đợc một phơng trình nói chung và phơng trình mũ nói riêng ngời làm toán đòi hỏi phải chọn đợc phơng pháp thích hợp cho từng lớp bài toán Tôi nghĩ rằng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải

ph-ơng trình là một phph-ơng pháp hữu hiệu

Biết đặt ẩn phụ thích hợp sẽ đa một phơng trình khó giải về một

ph-ơng trình theo ẩn phụ đơn giản và dể giải hơn Tất nhiên việc chọn “ẩn phụ” không đơn giản chút nào nếu ngời làm toán không biết nhìn mọi góc

độ của bài toán đã cho

Bởi vậy, hớng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải 1 phơng trình mũ là điều hết sức cần thiết cho mọi đối tợng làm toán

B/ Nội dung:

ở đề tài này tôi muốn trao đổi vài phơng pháp đặt ẩn phụ trong

ph-ơng trình mũ mà ở chph-ơng trình đại trà học sinh không đợc học ở sách giáo khoa

I Ph ơng pháp l ợng giác hóa:

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

 Nhận xét: Từ điều kiện của phơng trình ta có

x 







Bởi vậy ta có thể đặt: (2005) sin , (0; ]

2

x

t t 

 Khi đó phơng trình đã cho đa về một phơng trình lợng giác mà cách giải đơn giản hơn:

2 cos sin sin 2 ,

2

t

2

t  3

 cos 0

2

t

 (loại)

sin

2

t t

t











 



2

2005

1

2

0

x x

x x















Nhận xét: Tất nhiên ta cũng có thể đặt ẩn phụ theo kiểu khác

Từ đó ta có điều kiện: 0 1

0

t x

 









Khi đó ta đa phơng trình về dạng:

2

1   t (1 2 )( 1t  t )

2

2

(3 4 ) 0

0 3 2

t

t









 



 Với t 0  1 2005 2x 0

2005 2x 1

 x 0

 Với 3

2

1 2005

2

x

 1

2005

2

x

2005

x

Vậy phơng trình có hai nghiệm :

2005

0

x x







Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 1 2 2 2

x x

m

 Nhận xét: 0 2 2 1

x

 Đặt: 2 2 sin

x

t

2

t  

 Phơng trình có dạng:

2

1 sin  t sint m

cost sint m

  

4

m

t 

Vì 0;

2

t  

3

    nên

Phơng trình có nghiệm 0 1

2

m

Nhận xét: Ta cũng có thể giải theo những phơng pháp khác

Bài tập 1: Giải phơng trình: 4.3 2x 3x 1 1 9x

Bài tập 2: Giải phơng trình: (3 2 2)x ( 2 1)x 3

II Ph ơng pháp sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong ph ơng trình và biến đổi ph ơng trình đã cho

về dạng tích:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: 5x2  5x 6 5 1 x2 5.5 6 5  x 1

 Ta thấy 5.5 6 5  x 5 7 5  x



(x  5x 6) (1   x ) 7 5   x

 Bởi vậy ta đặt ẩn phụ:

2 5 6

u  

v 

Khi đó phơng trình có dạng:

u+v = uv+1

1

u

v







3

x



 5 1 x2 1 1 x2 0 x 1

Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x 1; x 2; x 3

Nhận xét: Bài toán này có thể hỏi nh sau:

Với giá trị nào của m thì phơng trình

2 5 6 1 2 6 5

   có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 2x 2x 1 2 2x 1 4x 2

2

 Viết phơng trình dới dạng:

2

x







 Ta có phơng trình:

u v  2u2  2v2

2

2

0

1

2

x x













Bài tập 1: Giải và biện luận phơng trình

2 2 2 1 ( 1) 2

4x x m 2x x 2x 1

Bài tập 2: Giải phơng trình: 2x2  x  1 1 2 2x2 2 x 1

III Đặt ẩn phụ thích hợp đ a ph ơng trình đã cho về 1

hệ thông th ờng hệ này đối xứng:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: 125x 4 5 5 3 x1 4

Nhận thấy PT 5 3x 4 5 5.5 3 x 4

Đặt: 5 ,x 0

u u  u3   4 5 5 3 u 4

Đặt: 3 5.u 4 v  v3  5u 4

Đợc hệ pt:

3 3





2 2

2 2

u v u v uv

2 2

0

5 0

u v

u v uv





u v

 

Ta có: u3  5u   4 0 (u 1)(u2  u 4) 0 

 Với u 1  5x  1  x 0

5

x

u    

5

5 1

2

Vậy nghiệm của phơng trình: x 0, 5 5 1

2

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 81 2 1 181

x

Viết phơng trình dới dạng:

2x 1 2  x 1 2  x 2 x 2

Đặt

1 1

x x

u v









u v , 1

Ta có uv u v 

PT

u v u v

u v uv







u 8v 18

u v uv



 

 



2 9 9, 8

u v

 









 Với u v  2 ta đợc

1 1

1

x







 



 Với

9 9 8

u v













ta đợc

1 1

4 9

8

x









 





Bài tập 1: Giải phơng trình: 3 2x 3x 5 5

Bài tập 2: Giải phơng trình: sin 2 cos 2

IV Đặt ẩn phụ, chuyển ph ơng trình đã cho thành một ph ơng trình với mội ẩn phụ nh ng các hệ số vẫn còn chứa x:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: 16x2  (x2  3)4x2  2x2   2 0

Đặt 2

t t

Khi đó PT t2  (x2  3)t 2x2   2 0

Ta có: t (x2  3) 2  4( 2  x2  2) (  x2  1) 2

1

t





 

 



2

x

t  x    x

Nhận xét: VT 1 VT=1







2

2

0

x

x x





Ví dụ 2: Giải phơng trình: 9x 2( 5)3x 9(2 1) 0

Đặt 3x

t

 ; t 0 Khi đó ta có PT:

f t  t x t x 

9 ( ) 0

t

f t

t x







x

 



2

x







Chứng minh PT 3x 2 1

x

  có nghiệm x 0;x 1

Thật vậy:

 Theo bất đẳng thức Bécnuli với 0 x 1 ta có

  

x

 Với x >1 thì 3x 1 3

x

Vậy PT 3x 2 1

x

  chỉ có nghiệm x 0;x 1

Bài tập 1: Giải phơng trình:

Bài tập 2: Giải phơng trình:

2 x  3 x  2x  2.2x 3.3x x 1

C/ Tính thực tiễn của đề tài:

Bổ sung thêm cho học sinh phơng pháp đặt ẩn phụ trong việc giải một phơng trình mũ, mà các bài toán ở trong chơng trình không học

Giúp học sinh vững tin trớc những bài toán “lạ”

Động viên, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học toán nói chung

và phơng trình nói riêng Nhằm không ngừng nâng cao việc dạy và học trong nhà trờng

Đồng Hới, ngày tháng 2 năm 2006

Ngời viết đề tài

TrÇn Minh Ch©u