CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ

Lượng giác đóng vai trò quan trọng trong toán dãy số: không những là một dạng toán khó mà còn là một phương pháp giải. Phương pháp mà ta sẽ đề cập trong phần này chính là phương pháp lượng giác hóa các bài toán. Tuy vậy, khác với các phần toán dãy số trước, phương pháp này không hề có cơ sở hay định lý rõ ràng nào, mà cần nhiều sự khéo léo cũng như tất cả kiến thức giải tích và lượng giác. Do vậy, thông qua từng bài toán, ta sẽ tìm được lối đi riêng cho bản thân.

Trang 1

Chuyên đề Lượng giác và các bài toán dãy số (BDHSG), 2015-2016 1

LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TÓAN DÃY SỐ

Đặng Hồng Vinh – THPT Trần Hưng Đạo

Lượng giác đóng vai trò quan trọng trong tóan dãy số: không những là một dạng tóan khó mà còn là một phương pháp giải Phương pháp mà ta sẽ đề cập trong phần này chính là phương pháp lượng giác hóa các bài tóan Tuy vậy, khác với các phần tóan dãy số trước, phương pháp này không hề có cơ sở hay định lý

rõ ràng nào, mà cần nhiều sự khéo léo cũng như tất cả kiến thức giải tích và lượng giác Do vậy, thông qua từng bài tóan, ta sẽ tìm được lối đi riêng cho bản thân

CÁC BÀI TÓAN CHỌN LỌC:

Bài 1: ( Tổng quát của bài 3, Olympic 30/4/2005 )

Cho hai dãy {an},{bn} như sau: a < b cho trước

1

2

a b

 ; b1  b a 1

1 1

2

 ; b2  a b2.1

1 1

2

n n n

 ; b n  a b n n1 a.Tìm lim n

n b



b.Tìm lim n

n a



Nhận xét:

Bài toán đã giấu đi tính lượng giác rất khéo Ta hãy quan sát thật kĩ, do a< b nên ta có thể đặt

b

  hoặc sin a

b

  Vậy nên chọn là sin hay cos?

Ta thử đặt:

- Nếu sin a

b

1

b

2

b

Ta sẽ không thể giải tiếp Vậy ta sẽ không đặt với sin

- Nếu cos a

b

1

cos

b

Trang 2

1 2cos2 cos

! Vậy ta tiến hành giải

Giải:

a.Đặt cos a

b

2





   

Ta có

2 1

1

cos 2 cos 2



 





 













Bằng quy nạp ta dễ dàng có:

2 1

.sin cos

2 cos cos cos

2 sin 2 sin cos cos cos

2 sin 2

n

n n

b

















n n

n

b



sin lim n

n

b





b.Ta cũng có: cos

2



2

   

Chú ý: Với a=2005, b=2006 ta sẽ có bài 3 Olympic 30/4/2005

Bài 2: ( Kỳ thi quốc gia lần XXXI-1993 )

Cho a 0 = 2,b 0 = 1 Lập hai dãy số{a n },{b n }với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau:

1

2 n n

n

n n

a b a

 

 ;b n1  a n1.b n

Trang 3

Chứng minh rằng các dãy {a n },{b n } có cùng một giới hạn khi n  Tìm giới hạn đó

Nhận xét:

Dễ thấy dãy {a n } là dãy trung bình điều hòa, {b n } là dãy tựa trung bình nhân Để chứng minh hai dãy

cùng giới hạn thì nhất thiết phải tìm công thức tổng quát

Trong trường hợp này, lượng giác hóa là biện pháp tối ưu nhất

Giải:

Ta chú ý: 0 2 1 1

1 cos

a     , b0 1

0 0 1

2

a b a

1 cos 6

Từ đó, bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:

1



1



sin 3

2 sin

2 3

n n

n



Ta có: 2 sin2 3  1

sin cos

n n n

n

a



2 sin

2 3 sin 3

n n n

b



Từ (1), (2) tồn tạilim n

n a

 vàlim n

n b



Ngòai ra:

2 sin

2 3

9

n n n

n

a



2 3 lim lim lim cos

9

2 3

    

Trang 4

Vậy hai dãy {a n },{b n}có cùng giới hạn chung là2 3

9



Bài 3: Cho dãy {un} xác định bởi: 2n 2 2 2 2

n

Tìmlim n

n u



Giải:

Đây là bài toán đơn giản và quen thuộc Ta sẽ chứng minh:

  1

2



Rõ ràng với n = 1 thì (1) hiển nhiên đúng

Giả sử đúng khi n = k, nghĩa là: 2 cos 1

2



2

     

2.2 cos2 2 2 cos 2

Vậy (1) đúng khi n = k+1, suy ra (1) đúng với mọi n

2



2 sin1 2 1.2 2.sin 2

2

1 lim lim 2 sin

n



  

2

sin

lim 2 2

n n

n



  







lim

2

n

n u 



Bài 4: (Olympic 30/4/2003)

Cho dãy{un}định bởi:

 

1

3

n n

n

u

u u

u



 

 



Tính u2003

Trang 5

Nhận xét:

Bài này giải theo hai hướng:

- Hướng 1 (hướng cơ bản):

Ta đưa về dạng: n 1 n

u

au b u

cu d





 Sau đó thực hiên tuyến tính hóa, rồi dùng phương trình sai phân tính công thức tổng quát

- Hướng 2:

Ta chú ý quan sát công thức xác định dãy giống với công thức lượng giác nào mà ta đã biết?

Câu trả lời là :  

tga tgb

tg a b

tga tgb



 Vậy ta sẽ giải theo cách 2

Giải:

Ta có:

   

1

3

*

n n

n

u

u u

u



 

 



8

tg  

2

2 8

1

8

tg



 

   

   tg 8 2 1

Từ (*) ta có: 1 8 1 

1

8

n n

n

u tg u

u tg







 Theo nguyên lý quy nạp, từ (1) và u1  3.suy ra

n

u tg  n 

u tg   tg 

     2 3

Bài 5: (Bài tóan đề nghị Olympic 30/4/2008)

Cho dãy {un} như sau:

3 1

2

3

n n n

u u  u n

 

 







Trang 6

a.Chứng minh rằng:1 u n e; n

e



   

b Lập dãy số {vn} biết:  1

1 .2 n

v  u u u Tìmlim n

n v



Nhận xét:

Trước hết ta hãy trả lời cho câu hỏi: Có thể tiến hành lượng giác hóa cho bài tóan được hay không?

Để trả lời, ta cần quan sát thật kĩ điều kiện:

3 cos



1 cos 3 2



  Vậy ta sẽ tiến hành giải

Giải:

a Ta chứng minh u n   0, n 

Thật vậy u1 0,u2 0.Giả sử u n   0, n k

Ta có

3 1 1

0

k k k

u u

u





  Vậyu n   0, n 

Ta lại có:

3 cos



2 1

cos 6 2



  Giả sử cos6 ,

n n



 

cos 6

cos

n

n n

n

u e







n n





  

Ta lại có1 cosn6

e



  và là hàm đồng biến trên 

 đpcm

b Ta có:

cos cos cos

1 .2

n n

n

  

    

Đến đây áp dụng công thức tính tổng của bài 1, chương I, ta có:

 2 1 

1

2 sin 12

n n

n









 1 

1 cos sin

sin 12

n n n

e







Trang 7

Mặt khác ta có:



 



n v e

  

Bài 6: (Tạp chí tóan học và tuổi trẻ năm 2005)

Dãy {hn} được cho bởi điều kiện 1 1

2

h 

và

2 1

2

n n

h

Đặt

1

;

n

i



   Hãy chứng minh rằng: lim n 1, 03

n

S





Nhận xét:

Bài tóan này nếu không lượng giác hóa thì sẽ đi vào thế bế tắc Thật vậy, vì phương pháp sai phân không thể giải quyết bài tóan có nhiều căn như vậy

Bây giờ ta chú ý đại lượng 2

1h n , điều này cho ta một cảm giác gần giống công thức

2

1 sin x hay 1cos2 x! Vậy ta tiến hành giải

Giải:

Ta có: 1 1 sin sin

3.2

Ta sẽ chứng minh rằng: sin

3.2



Giả sử rằng: sin sin

3.2



2

sin

h



2

   

1

n

i



1

2 3.2



 

Trang 8

Do Sn là dãy tăng nênlim 1 1, 03

2 3.2

n n



  

đpcm

Bài 7: Cho dãy {un} và {vn} như sau:

0

2 1

2 2 2

2

u











0

2 1

1

n

v

v v

v















2n u n   2n v n

Nhận xét:

Với dãy {un} ta thấy có biểu thức 2

1u n , ta nghĩ ngay đến lượng giác hóa bằng sin, cos

Còn dãy {vn}? Câu trả lời nằm ở biểu thức 1v n2 vàv0 1 , cho ta suy nghĩ nên sử dụng hàm tg và cotg

Giải:

Ta có: 0 2 sin 2 , 1 2 1 cos 2 sin 3

2

 

2

1 1

2

tg









Bằng cách xét: f x sinxx,   ; 0;

2

g x tgxx x   

 

2

x x tgx x   

    

 

2n 2n tg2n

     2 2

2n.u n  2n v n

Bài 8: (Kỳ thi quốc gia lầnXXV-1987)

Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng với số hạng đầu 1

1987

u  

và công sai là

3974



Trang 9

Tính giá trị:S cos u1 u2 u1987ở đó tổng  chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các cách khác nhau có thể được để lấy dấu cộng hay trừ trước các sốu u1, 2, ,u1987

Nhận xét:

Ta thấy rằng số 1987 là cố ý cho trùng với năm thi Điều đó chứng tỏ có thể tổng quát hóa bài tóan Đôi khi việc này khiến bài tóan dễ dàng hơn và không còn che giấu như bài tóan nguyên thủy

Giải:

Ta sẽ chứng minh từ bài tóan tổng quát hơn Bài tóan thực chất là:

 1n

j

u

1

n n

j j



Ta chứng minh bằng quy nạp:

Với n = 1:

 

cosu cos u 2cosu

Với n = 2:

cos u u cos u u cos u u cos  u u

 

2cos cosu u 2cos u cosu 4cos cosu u

Giả sử bài tóan đúng với n, khi đó:

1



2 cos u u u cosu n

     

cos u u u

   

Trở lại bài tóan ta có: 19871987

1

j



Do {uj} là cấp số cộng nên:

1987 2.1987 2

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	594,62 KB