Bài tập Đại số tuyến tính bao gồm bài tập các chương: hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức, không gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính, véc tơ riêng, chéo hóa và dạng toàn phương, đường bậc hai phẳng và mặt bậc hai. Cuối tài liệu có đáp án cho các bài tập.
Trang 1GV LÊ VĂN HỢP
CHƯƠNG V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Trong chương này, m và n là các số nguyên 1 Ta viết gọn dimRV là dimV
1.1/ ĐỊNH NGHĨA: Cho ánh xạ f : R n R m , nghĩa là
= (x1 , x 2 , … , x n) R n, ! f () = (y 1 , y 2 , … , y m) R m
a) Nếu H R n thì ảnh của H qua ánh xạ f là f (H) = { f () | H } Rm
b) Nếu K R m thì ảnh ngược của K bởi ánh xạ f là
Khi m = n, ta viết gọn L(R n ,R n ) = L(R n ) = { g : R n R n | g tuyến tính }
Nếu g L(R n) thì g còn được gọi là một toán tử tuyến tính trên Rn
= (x,y,z,t) R 4 Ta có thể kiểm tra f thỏa (3) nên f L(R 4 ,R 3)
Thật vậy, = (x, y, z, t), = (u, v, w, h) R 4 , c R, f (c. + ) =
= f (cx + u, cy + v, cz + w, ct + h) = [3(cx + u) 8(cy + v) + (cz + w) 4(ct + h), 7(cx + u) + 5(cy + v) + 6(ct + h), 4(cx + u) + (cy + v) 9(cz + w) (ct + h)] = = c(3x 8y + z 4t, 7x + 5y + 6t, 4x + y 9z t) + (3u 8v + w 4h,
Trang 2Ngoài ra ta có thể giải thích g L(R 3) do các thành phần của g() đều là các biểu thức bậc nhất theo các biến x, y và z
1.3/ TÍNH CHẤT :
Cho f L (R n ,R m) Khi đó ,, 1 , …, k R n , c 1 , … , c k R, ta có a) f (O) = O và f ( ) = f ()
Nếu có A Mn x m(R) thỏa f (X) = X.A X R n thì f L(R n ,R m) Thật
vậy, X,Y R n, f (c.X + Y) = (c.X + Y).A = c.(X.A) + Y.A = c.f (X) + f (Y),
nghĩa là f thỏa (3) của (1.2)
1.6/ KHÔNG GIAN ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
Cho f L(R n ,R m) và xét trường hợp đặc biệt H = Rn R n
a) Ta có f (H) = f (R n ) = { f () | R n } R m
Ta đặt f (R n) = Im(f ) và gọi Im(f ) là không gian ảnh của f
b) Tìm một cơ sở cho Im(f ) : Chọn cơ sở A tùy ý của R n ( ta thường chọn A
là cơ sở chính tắc Bo ) thì < f (A) > = Im(f ) Từ đó ta có thể tìm được một
cơ sở cho Im(f ) từ tập sinh f (A) [ dùng (5.7) của CHƯƠNG IV ]
Ví dụ: f : R 4 R 3 có f (X) = (x + 2y + 4z 7t, 3x 2y + 5t, 2x + y z 2t)
X = (x,y,z,t) R 4 Ta kiểm tra dễ dàng f L(R 4 ,R 3)
Đặt A = B o = { 1 = (1,0,0,0), 2 = (0,1,0,0) , 3 = (0,0,1,0) , 4 = (0,0,0,1) }
Trang 3là cơ sở chính tắc của R 4 thì < f (A) > = Im(f ) = f (R 4)
f (A) = { f ( 1 ) = (1,3,2), f ( 2 ) = (2,2,1), f ( 3 ) = (4,0,1), f ( 4 ) = (7, 5,2) }
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( )
f f f f
0 0
Im(f ) có cơ sở C = { 1 = (1,3,2), 2 = (0,4,3) } và dim(Im(f )) = | C | = 2
1.7/ KHÔNG GIAN NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
Cho f L(R n ,R m ) và xét trường hợp đặc biệt K = {O} R m
a) Ta có f 1(K) = f 1(O) = { R n | f () = O } R n
Ta đặt f 1(O) = Ker(f ) và gọi Ker(f ) là không gian nhân của f
b) Tìm một cơ sở cho Ker(f ) : Ta thấy Ker(f ) chính là không gian nghiệm của
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất f () = O với ẩn Rn Từ đó ta có
thể tìm được một cơ sở cho Ker(f ) [ dùng (5.8) của CHƯƠNG IV ]
Ví dụ: Xét lại ánh xạ tuyến tính f trong Ví dụ (1.5)
Ker(f ) ={ = (x,y,z,t) R 4 | f () = O }
={ = (x,y,z,t) R 4 | (x + 2y + 4z 7t, 3x 2y + 5t, 2x + y z 2t) = O } ={ = (x,y,z,t) R 4 | x + 2y + 4z 7t = 3x 2y + 5t = 2x + y z 2t = 0 }
Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính trên:
Hệ có vô số nghiệm vói 2 ẩn tự do : z, t R, x = 2z t, y = 4t 3z
Ker(f ) ={ = (2z t, 4t 3z, z,t) = z(2,3,1,0) + t(1,4,0,1) | z, t R } Như vậy
Ker(f ) = < D > với D = { 1 = (2,3,1,0), 2 = (1,4,0,1) } độc lập tuyến tính
Do đó Ker(f ) có một cơ sở là D = { 1, 2 } và dimKer(f ) = | D | = 2
1.8/ MỆNH ĐỀ: Cho f L(R n ,R m) Khi đó
dimKer(f ) + dimIm(f ) = dimR n = n
dimKer(f ) gọi là số khuyết của f và dimIm(f ) gọi là hạng của f
Ví dụ: Xét lại ánh xạ tuyến tính f trong Ví dụ (1.5) và (1.6)
Ta có dimKer(f ) + dimIm(f ) = 2 + 2 = 4 = dimR 4
II MA TRẬN BIỂU DIỄN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
2.1/ ĐỊNH NGHĨA: Cho f L(R n ,R m ) R n và R m lần lượt có các cơ sở là
A = { 1 , 2 , …, n } và B = { 1 , 2 , …, m }
a) Đặt [ f ] A,B = ( [ f ( 1 )] B [ f ( 2 )] B … [ f ( n )] B ) M m x n(R)
Ta nói [ f ] A,B là ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở
A (của Rn ) và B (của R m)
Trang 4Muốn tìm tọa độ của các vector f (1 ), f ( 2 ), … , f ( n ) theo cơ sở B, ta giải n hệ phương trình tuyến tính, mỗi hệ có m phương trình và m ẩn số Các hệ này cùng có vế trái là ( 1t
2t
… t
m
) và các vế phải của chúng lần lượt là các cột f ( 1 )t , f ( 2 )t , …, f ( n )t Do đó ta có thể giải đồng thời n
c) Nếu A và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của R n và R m thì [ f ] A,B
được gọi là ma trận chính tắc của f Biểu thức của f và ma trận chính tắc
của f có thể suy ra lẫn nhau một cách dễ dàng
Ví dụ:
a) Xét f L(R 3 ,R 2 ) với f (u,v,w) = (3u + 4v w, 2u + v + 3w) (u,v,w) R 3 Cho A = { 1 , 2 , 3 } và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của R 3 và R 2
Ta có f (1) = f (1,0,0) = (3,2), f (2) = f (0,1,0) = (4,1) và f (3) = f (0,0,1) = = (1,3) nên có ngay ma trận chính tắc
f (3) = f (3,1,1) = (14,8)
Ta tìm [ f ] C,D = ( [ f ( 1 )] D [ f ( 2 )] D [ f ( 3 )] D ) bằng cách giải đồng thời các hệ
1 114 93 28 0
Trang 5 = (x,y) R 2, h() = h(x,y) = (x + 2y) 1 + (2x + 9y) 2 + (x + 3y) 3
= (x + 2y)(1,2,4) + (2x + 9y)(5,1,2) + (x + 3y)(3,1,1) = (14x + 56y, 3x + 10y, 9x + 29y)
2.2/ ĐỊNH NGHĨA: Cho f L(R n)
R n có một cơ sở là A = { 1 , 2 , …, n }
a) Đặt [ f ] A = [ f ] A,A = ( [ f ( 1 ) ] A [ f ( 2 ) ] A … [ f ( n ) ] A ) M n(R)
Ta nói [ f ] A là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính f theo cơ sở A
Muốn tìm tọa độ của các vector f ( 1 ), f ( 2 ), … , f ( n ) theo cơ sở A, ta giải n hệ phương trình tuyến tính, mỗi hệ có n phương trình và n ẩn số Các hệ này cùng có vế trái là ( 1t
2t
… t
n
) và các vế phải của chúng lần lượt là các cột f ( 1 )t , f ( 2 )t , …, f ( n )t Do đó ta có thể giải đồng thời n
c) Nếu A là cơ sở chính tắc của R n thì [ f ]A được gọi là ma trận chính tắc
của f Biểu thức của f và ma trận chính tắc của f có thể suy ra lẫn nhau một cách dễ dàng
Ví dụ:
a) Xét f (u,v,w) = (2u v, u + 3v + w, u + 2v w) (u,v,w) R 3 thì f L(R 3) Cho A = { 1 , 2 , 3 } là cơ sở chính tắc của R 3 Ta có f ( 1 ) = f (1,0,0) = (2,1,1)
f (2) = f (0,1,0) = (1,3,2) và f (3) = f (0,0,1) = (0,1,1) nên có ngay ma trận chính tắc [ f ] A = ( [ f ( 1 ) ] A [ f ( 2 ) ] A [ f ( 3 ) ] A ) =
Trang 6Cho C = { 1 = (1,2,2), 2 = (2,0,1), 3 = (2,3,3) } là một cơ sở của R 3 với
c c c
Trang 72.3/ CÔNG THỨC THAY ĐỔI CƠ SỞ TRONG MA TRẬN BIỂU DIỄN: Cho f L(R n ,R m)
R n có các cơ sở lần lượt là A và C với S = (A C) M n(R)
R m có các cơ sở lần lượt là B và D với T = (B D) Mm(R)
a) Ta có công thức [ f ] C,D = T 1.[ f ] A,B S và do đó [ f ] A,B = T.[ f ] C,D S1
b) Suy ra [ f ] C,B = [ f ] A,B S ( lúc này T = (B B) = I m và T 1 = I m )
[ f ]A,D = T 1.[ f ]A,B ( lúc này S = (A A) = In )
c) Suy ra [ f ]A,B = [ f ]C,B.S1 và [ f ]A,B = T.[ f ]A,D
Ghi chú : Nếu A và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của Rn và R m thì dễ dàng có được S và T
Ví dụ: Xét lại f L(R 3 ,R 2 ) và h L(R 2 ,R 3 ) trong Ví dụ của (2.1)
a) Xét f L(R 3 ,R 2 ) với f (u,v,w) = (3u + 4v w, 2u + v + 3w) (u,v,w) R 3 Cho A = { 1 , 2 , 3 } và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của R 3 và R 2
với A, B, C, D, S và T được hiểu
như trên Ta có ma trận chính tắc [ h ] B,A = S[ h ] D,C T 1 =
2.4/ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: Cho f L(R n)
R n có các cơ sở lần lượt là A và C với S = (A C) M n(R)
a) Ta có công thức [ f ] C = S1.[ f ] A S và do đó [ f ] A = S.[ f ] C S1
b) Suy ra [ f ]C,A = [ f ]A.S và [ f ]A,C = S1.[ f ]A
c) Suy ra [ f ] A,C = [ f ] C S1 và [ f ] C,A = S.[ f ] C
Ghi chú : Nếu A là cơ sở chính tắc của Rn thì dễ dàng có được S
Trang 8Ví dụ: Xét lại f , h L(R 3 ) trong Ví dụ của (2.2)
a) Xét f L(R 3) với
f (u,v,w) = (2u v, u + 3v + w, u + 2v w) (u,v,w) R 3
Cho A = { 1, 2, 3 } là cơ sở chính tắc của R 3
Trang 93.3/ XÁC ĐỊNH ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DỰA THEO ẢNH CỦA MỘT CƠ SỞ:
Ta trình bày cách xác định ánh xạ tuyến tính f trong (3.2)
a) Cách 1: dùng tọa độ vector theo cơ sở
R n, tìm [ ]A =
1 2
n
c c
b) Cách 2: dùng ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
Gọi C và D lần lượt là các cơ sở chính tắc của R n và R m với S = (C A) Viết [ f ] A,D = ( [ f ( 1 ) ] D [ f ( 2 ) ] D … [ f ( n ) ] D ) = ( 1t
2t
… t
m
) Ta có ma trận chính tắc [ f ]C,D = [ f ]A,D S1 Từ đó suy ra ngay f () R n
Cách 1: = (x,y,z) R 3, tìm [ ] A =
1 2 3
c c c
Trang 11BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (GV LÊ VĂN HỢP)
1/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây (nghiệm duy nhất) và kiểm tra ĐL Kronecker Capelli :
4/ Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây theo các tham số thực m, a, b, c và d
rồi kiểm tra Định lý Kronecker Capelli :
Trang 12CHƯƠNG II : TÍNH TOÁN MA TRẬN VÀ MA TRẬN VUÔNG KHẢ NGHỊCH
Tính E = CDBA, F = DBAC và G = ACDB
2/ Tính Ak theo k nguyên 0 nếu A là một trong các ma trận thực sau :
6/ Cho A, B, C Mn(R) và số nguyên k 1
a) Khai triển (5A 2B + 3C)(6B C 4A)(2C + 3A + B)
b) Giả sử A2 = A Khai triển và rút gọn (ABA AB)2 và (ABA BA)2
c) Giả sử C2 = In Tính Ck
d) Giả sử A2 = A và B = (2A In) Tính Ak và Bk
e) Giả sử A2 = On và C = (A + In) Tính Ck và Sk = In + C + C2 + … + Ck
f) Giả sử Ak = On và AB = BA Tính (AB)k và Am với m nguyên k
g) Giả sử AB = On Chứng minh (BA)m = On m nguyên 2 Cho ví dụ để thấy có thể BA On h) Giả sử A3 = On = B4 và AB = BA Chứng minh (cA + dB)6 = On c,d R
Tổng quát hóa kết quả trên khi có r, s nguyên 1 thỏa Ar = On = Bs và AB = BA
i) Ký hiệu Tr là hàm vết (trace) lấy tổng các hệ số trên đường chéo chính của một ma trận vuông
Chứng minh Tr(A B) = Tr(A) Tr(B) và Tr(AB) = Tr(BA) Suy ra (AB BA) cIn c R \ {0}
Trang 13
7/ Dùng phương pháp Gauss - Jordan để xét tính khả nghịch của các ma trận thực sau và tìm ma trận nghịch
đảo của chúng ( nếu có ) :
Trang 142/ Khi nào các ma trận thực sau có định thức bằng 0 ?
1 1 1
1/ Tập hợp nào dưới đây là không gian vector con của R n ( n = 3, 4, 5 ) ? Tại sao ?
a) W = { X = (x,y,z) R 3 / 2x | y | + 3z = 0 } b) W = { X = (x,y,z) R 3 / xy + yz + zx = 0 } c) W = { X = (x,y,z) R 3 / y 4x + 3z = 0 = 5x + 8y 7z }
d) W = { X = (x,y,z,t) R 4 / x y + 9z = 3t x z = 2t 7y 5z = 8x + 4y t }
e) W = { X = (x,y,z,t) R 4 / x + 5y 2z 4t 0 } f) W = { X = (x,y,z,t) R 4 / x2 y + 3z t3 1 }
g) W = { X = (x,y,z,t) R 4 / (5x + 4y + z 6t)2 + (9x y + 7z + 2t)2 + (8x 6y + 3z t)2 0 }
h) W = { X = (x,y,z,t,u) R 5 / 3x = 2y = 6z = 9t = 4u }
Trang 152/ Khi nào = (u,v,w) ( hay = (u,v,w,t)) W = < S > nếu
a) S = { X = (1,1,2), Y = (2,3,3) } R 3 b) S = { X = (3,1,1), Y = (1,5,7), Z = (1,2,3) } R 3
c) S = { X = (1,2,1,0), Y = (2,1,0,1), Z = (0,1, 2,1) } R 4
d) S = { X = (2,1,3,1), Y = (1,4,0,3), Z = (3,6,6,5), T = (2,1,3,1) } R 4
e) = (m, 4, m + 2) R 3 và S = { X = (1,1,2), Y = (1,2,1), Z = (1,1,4) } R 3
3/ Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các tập hợp dưới đây :
a) S = { X = (3,1,1), Y = (1,5,7), Z = (1,2,3), T = (9,0,4) } R 3
b) S = { X = (3,2,7,1), Y = (9,6,21,3) } R 4 c) S = { X = (2,1,0,9), Y = (5,7,3,4) } R 4
d) S = { X = (1,1,7,2), Y = (5,1,1,18), Z = (5,2,8,16) } R 4
e) S = { X = (1,2,3,4), Y = (3,3,5,1), Z = (5,8,13,6) } R 4
f) S = { X = (1,2, 3m + 1), Y = (3,1,m 3), Z = (m + 5, 2,4) } R 3
4/ Tập hợp nào dưới đây là cơ sở của R 3 ? ( s = sinx và c = cosx )
a) S = { X = (3,2,7), Y = (8,2,3) } b) S = { X = (1,1,7), Y = (5,1,1), Z = (5,2,8), T = (4,0,3) }
c) S = { X = (3,2,1), Y = (2,1,1), Z = (12, 1,1) } d) S = { X = (2,3,1), Y = (4,5,2), Z = (5,7,3) }
e) S = { X = (1,1,c), Y = (1,1,s), Z = (s,c,1) } f) S = { X = (0,1,s), Y = (1,0,c), Z = (s,c,0) }
5/ Giải thích B là một cơ sở của không gian W = < B > V = R n ( n = 3, 4, 5 ) rồi tìm điều kiện để
= (u,v,w) ( hay = (u,v,w,t) hay = (u,v,w,t,z) ) W
Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V
a) B = { X = (2,3,1), Y = (4,6,5) }( V = R 3 ) b) B = { X = (0,3,1,2), Y = (0,9,3,8) }( V = R 4 )
c) B = { X = (1,4,2,5), Y = (2,5,3,9), Z = (1,2,1,4) }( V = R 4 )
d) B = { X = (0,2,1,7,3), Y = (0,6,0,25,10), Z = (0,4,13,34,13) }( V = R 5 )
e) B = { X = (1,2,5,2,3), Y = (4,8,16,7,6) }( V = R 5 )
6/ Tìm một cơ sở B cho không gian W = < S > V = R n ( n = 3, 4 ) rồi tìm điều kiện để = (u,v,w) W ( hay = (u,v,w,t) W ) Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V a) S = { X = (2,3,1), Y = (3,1, 5), Z = (1,5,3) } R 3 b) S = { X = (1,2,3), Y = (2,1,4), Z = (3,0,5), T = (2,7,8) } R 3
c) S = { X = (1,2,4,0), Y = (2,3,3,1), Z = (1,4,2,3), T = (1,9,3,5) } R 4 d) S = { X = (2,17,43,12), Y = (0,5,5,2), Z = (1,11,19,7), T = (1,1,29,3) } R 4 7/ Chỉ ra một tập sinh hữu hạn S cho W để thấy W V = R n ( n = 3, 4 ) Sau đó tìm một cơ sở B cho W = < S > rồi tìm điều kiện để = (u,v,w) ( hay = (u,v,w,t)) W ? Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V
a) W = { U = (2a + 3b + c, 3a b 5c, a + 5b 3c) / a,b,c R }
b) W = { U = (a 2b 3c + 2d, 2a b + 7d, 3a + 4b + 5c 8d) / a,b,c,d R }
c) W = { U = (a + 2b + c d, 2a + 3b 4c + 9d, 4a + 3b + 2c + 3d, 5d b 3c) / a,b,c,d R }
d) W = { U = (2a c + d, 5b 17a + 11c d, 5b + 43a 19c + 29d, 2b 12a + 7c 3d) / a,b,c,d R }
8/ Tìm một cơ sở B cho không gian W = { X R n / AX = O } ( n = 4, 5 ) nếu A là
a)
b)
c)
d)
Nếu W R n , hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của R n
Trang 169/ Kiểm tra S và T là các cơ sở của R 3 rồi viết P(S → T) và P(T → S)
Tìm X, [ X ] T , [ Y ] S , [ Y ] T , Z và [ Z ] S nếu
a) S = { X 1 = (1,1,2), X 2 = (2,1, 2), X 3 = (1,0,3) }, T = { Y 1 = (2,5,2), Y 2 = (2,1,3), Y 3 = (1,2, 2) } [ X ] S =
2 1 3
10/ Cho S = { X , Y , Z } là một cơ sở của R 3 và T = { E, F, G } R 3
Kiểm tra T cũng là một cơ sở của R 3 rồi viết P(S → T) và P(T → S) nếu
a) E = 2X 2Y 3Z, F = 3X + 2Y + 4Z và G = 4X + 3Y + 6Z
b) X = E F + G, Y = 3E F + 2G và Z = E + 3F + G
11/ Cho S = { X = (a,c), Y = (b,d) } R 2 thỏa ab + cd = 0 và a2 + c2 = 1 = b2 + d2
Chứng minh S là một cơ sở của không gian vector R 2 Tìm [ Z ]S nếu Z = (u,v) R 2
12/ Cho V = R 3 ( hay V = R 4 ) và X = (u,v,w) ( hay X = (u,v,w,t)) V Xét S,T V và W = < S > V
Tìm điều kiện để X W rồi giải thích S và T là các cơ sở của W Tính [ X ]S ( khi X W ) và viết
Trang 17CHƯƠNG V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1/ R 2 , R 3 và R 4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là A, B và C
a) Cho f(u,v,w) = (u2v+3w, vw+3u, 4w2u3v, 5u3v+5w) (u,v,w) R 3 Giải thích f L(R 3 , R 4)
và viết [ f ]B,C Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im(f) và Ker(f) Khi nào Y = (x,y,z,t) Im(f) ? b) Giải thích D = { 1 = (4,3), 2 = (3,2) } và E = { 1 = (1,2,2), 2 = (3,2,3), 3 = (2,3,3) } lần
lượt là các cơ sở của R 2 và R 3 Xét g, h L(R 2 , R 3) có [ g ] A,B =
Tìm biểu thức của g và viết [ g ] D,B , [ g ] A,E và [ g ] D,E
c) Viết [ h ] D,B , [ h ] A,E và [ h ] A,B rồi suy ra biểu thức của h
2/ R 2 , R 3 và R 4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là A, B và C
a) Cho f(u,v,w,t) = (2v+4wu3t, 2u+v2w+5t, 3u+4v+7t) (u,v,w,t) R 4 Giải thích f L(R 4 , R 3)
và viết [ f ]C,B Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im(f) và Ker(f) Khi nào Y = (x,y,z) Im(f) ? b) Giải thích D = { 1 = (5,2), 2 = (3,1) } và E = { 1 = (5,1,3), 2 = (3,1,2), 3 = (1,0,1) } lần lượt
là các cơ sở của R 2 và R 3 Xét g,h L(R 3 , R 2) có [ g ] B,A = 1 1 2
c) Viết [ h ] B,D , [ h ] E,A và [ h ] B,A rồi suy ra biểu thức của h
Tìm biểu thức của g và viết [ g ] E , B , [ g ] B,E và [ g ] E
c) Viết [ h ] B , [ h ] B,E và [ h ] E,B rồi suy ra biểu thức của h Xác định các không gian Im(h) và Ker(h)
Tìm biểu thức của g và viết [ g ]E,B , [ g ]B,E và [ g ]E
c) Viết [ h ] B , [ h ] B,E và [ h ] E,B rồi suy ra biểu thức của h Xác định các không gian Im(h) và Ker(h)
Trang 18j n
a
M m x n(R)
Đặt B = 1
1
i n ij
j m
b
M n x m(R) sao cho bij = a ji (1 i n, 1 j m), nghĩa là
ma trận B được suy từ A bằng cách viết các dòng (hay cột) của A lần lượt thành các cột (hay dòng) của B
Ta nói B là ma trận chuyển vị của A và ký hiệu B = At (t = transposition)
j n
ca
Mm x n(R)
Ta có 1.A = A, 0.A = O m x n , (1).A = 1
1
i m ij
Trang 191.3/ PHÉP CỘNG MA TRẬN:
Cho A = 1
1
i m ij
j n
b
M m x n(R)
n
v v
k p
b
M n x p(R) thỏa điều kiện
(số cột của A) = n = (số dòng của B)
Trang 20Ta quan tâm m dòng A 1 , A 2 , , A m của A (mỗi dòng có n số hạng) và quan tâm p cột B 1 , B 2 , , B p của B (mỗi cột có n số hạng)
Ta thực hiện phép nhân ma trận A Mm x n(R) với B Mn x p(R) bằng cách
nhân vô hướng mỗi dòng của A với mỗi cột của B để được ma trận tích
C = 1
1
i m ik
k p
c
Mm x p(R) như sau:
C = A.B =
1 2
m
A A
k p
c
M m x p(R)
với c ik = (dòng A i )(cột B k ) = a i1 a i2 a in
1 2
k k
nk
b b
Trang 211.8/ TÍNH CHẤT:
Cho A M m x n(R), B, C Mn x p(R), D Mp x q(R) và c R Khi đó:
a) (AB)D = A(BD) = ABD (phép nhân ma trận có tính kết hợp)
b) (AB)t = BtAt và (cA)B = A(cB) = c(AB)
a) Phép nhân ma trận không giao hoán Nếu AB và BA cùng xác định thì
không nhất thiết BA = AB
Nếu AB = BA thì A và B là hai ma trận vuông có cùng kích thước b) Có thể nhân liên tiếp nhiều ma trận nếu số cột của ma trận đi trước bằng
số dòng của ma trận đi sau
II CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN VUÔNG:
2.1/ PHÉP NHÂN VÀ LŨY THỪA: Cho A, B Mn(R)
a) Ta có AB M n(R), BA Mn(R) và không nhất thiết AB = BA
Trang 22Đường chéo (chính) của A bao gồm các hệ số aii (1 i n)
a) A là ma trận (đường) chéo nếu các hệ số ở ngoài đường chéo đều bằng 0
và các hệ số của đường chéo thì tùy ý (nghĩa là a ij = 0 khi 1 i j n)
b) A là ma trận tam giác trên nếu các hệ số ở phía dưới đường chéo đều bằng
0 và các hệ số khác thì tùy ý (nghĩa là a ij = 0 khi 1 j < i n)
c) A là ma trận tam giác dưới nếu các hệ số ở phía trên đường chéo đều bằng
0 và các hệ số khác thì tùy ý (nghĩa là a ij = 0 khi 1 i < j n)
d) A là ma trận tam giác trên ngặt nếu A là ma trận tam giác trên có đường
chéo gồm toàn các hệ số bằng 0 (nghĩa là a ij = 0 khi 1 j i n)
e) A là ma trận tam giác dưới ngặt nếu A là ma trận tam giác dưới có đường
chéo gồm toàn các hệ số bằng 0 (nghĩa là a ij = 0 khi 1 i j n)
Ví dụ: Các ma trận dạng đặc biệt (ma trận đường chéo, tam giác trên, tam giác
dưới, tam giác trên ngặt và tam giác dưới ngặt) :
Trang 23a) Tổng, hiệu, tích và lũy thừa nguyên dương các ma trận đường chéo cũng là
ma trận đường chéo Các phép toán thực hiện tự nhiên trên đường chéo b) Tổng, hiệu, tích và lũy thừa nguyên dương các ma trận tam giác cùng loại cũng là ma trận tam giác cùng loại
2.5/ MỆNH ĐỀ: Cho A, B Mn(R) thỏa AB = BA Khi đó
các hằng đẳng thức trong R vẫn có hiệu lực đối với A và B
k 2, (AB)k = AkBk, (A + B)k =
0
k
i i k i k i
Ví dụ: Cho A, B Mn(R) thỏa AB = BA Khi đó
(AB)4 = ABABABAB = AAAABBBB =A4B4
A5 + B5 = A5 (B)5 = (A + B)(A4 A3B + A2B2 AB3 + B4)
(4A 5I n )3 = (4A)3 3(4A)2(5I n ) + 3(4A) (5I n )2 (5I n )3
= 64A3 240A2 + 300A 125In
2.6/ GHI CHÚ: Nếu A, B Mn(R) thỏa AB BA thì các hằng đẳng thức trong
R không thể áp dụng cho A và B Các phép tính phải dùng định nghĩa
Trang 24Ví dụ: Cho A, B Mn(R) thỏa AB BA Ta có
Khi n = 1, ta trả lời dễ dàng câu hỏi trên: nếu a = 0 R = M1(R) thì không có
a’ R thỏa a’a = aa’ = 1 và ta nói a = 0 là số không khả nghịch
Nếu a R \{ 0} thì có a’ = a1 R = M1(R) thỏa a’a = aa’ = 1 và ta nói a là
số khả nghịch cũng như ký hiệu a1 = a’ là số nghịch đảo của số a
Ta sẽ đưa ra câu trả lời cho câu hỏi trên khi n 2
3.2/ ĐỊNH NGHĨA: Cho A Mn(R)
a) Ta nói A là ma trận khả nghịch nếu có A’ Mn(R) thỏa A’A = AA’ = In
b) A’(nếu có) thì duy nhất và lúc đó ta ký hiệu A’ = A1 là ma trân nghịch đảo
của ma trận A
c) Nếu A khả nghịch (có A1) thì ta định nghĩa thêm các lũy thừa nguyên âm cho
A như sau: A2 = (A1)2, A3 = (A1)3, … , Ak = (A1)k k nguyên 2
Cho A Mn(R) Ta xác định được SA, RA và r(A) n
Các phát biểu sau đây là tương đương với nhau:
a) A khả nghịch b) SA có các hệ số trên đường chéo đều 0 c) R A = I n d) r(A) = n
3.4/ HỆ QUẢ: (nhận diện ma trận không khả nghịch)
Cho A Mn(R) Ta xác định được SA, RA và r(A) n
Các phát biểu sau đây là tương đương với nhau:
a) A không khả nghịch b) SA có ít nhất một hệ số 0 trên đường chéo c) R A I n d) r(A) < n
Trang 25Ta thấy A khả nghịch (để ý các hệ số trên đường chéo của S A đều 0, R A = I 3
và r(A) = 3) và B không khả nghịch (để ý có hệ số = 0 trên đường chéo của S B ,
3.6/ PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO:
Cho A M n(R) Ta thường kiểm tra A khả nghịch và tìm A1 cùng một lúc
theo sơ đồ sau (phương pháp Gauss – Jordan):
Trang 273.8/ MỆNH ĐỀ: (nhận diện 2 ma trận đều khả nghịch và là nghịch đảo của nhau)
Cho A, B Mn(R) Các phát biểu sau là tương đương với nhau:
a) A khả nghịch và A1 = B b) B khả nghịch và B1 = A c) AB = I n d) BA = I n
D = (I n + KH) cũng khả nghịch và D1 = E trong đó E = (I n KC1H)
Theo 3.8, ta chỉ cần chứng minh DE = In là xong Ta có
DE = (I n + KH) (I n KC1H) = I n + KH KC1H KHKC1H
= I n + KH K(I n + HK)C1H = I n + KH KCC1H = I n + KH KH = I n
3.9/ LIÊN HỆ GIỮA TÍNH KHẢ NGHỊCH CỦA MA TRẬN VUÔNG VÀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B với A Mn(R) và B Mnx1(R)
a) Nếu A khả nghịch thì hệ trên có nghiệm duy nhất
Nếu A không khả nghịch thì hệ trên vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm
b) Suy ra: Nếu A khả nghịch thì hệ AX = O có nghiệm duy nhất là X = O Nếu A không khả nghịch thì hệ AX = O có vô số nghiệm
x x x
Trang 28Nếu v + w u 0 thì hệ CX = B vô nghiệm
Nếu v + w u = 0 thì hệ CX = B có vô số nghiệm với một ẩn tự do
[ x 3 = a (a R), x1 = 2a + (v + 2u)/4, x 2 = a + (v 2u)/4 ] u,v,w R
Suy ra hệ CX = O (u = v = w = 0) có vô số nghiệm với một ẩn tự do
Ta có AX = B (A1A)X = A1B X = A1B (nghiệm duy nhất)
Đặc biệt AX = O X = A1O = O (nghiệm duy nhất tầm thường)
b) Phương trình XA = B ( B M m x n(R) và ma trận ẩn X Mm x n(R) )
Ta có XA = B X(AA1) = BA1 X = BA1 (nghiệm duy nhất)
Đặc biệt XA = O X = OA1 = O (nghiệm duy nhất tầm thường)
c) Phương trình AXC = B ( B Mn x m(R) và ma trận ẩn X Mn x m(R) )
Ta có AXC = B (A1A)X(CC1) = A1BC1 X = A1BC1(duy nhất)
Đặc biệt AXC = O X = A1O C1 = O (nghiệm duy nhất tầm thường)
Trang 292 3 5
j n
x
bao gồm mn ẩn số thực x ij (1 i m, 1 j n)
Viết f(X) = O thành một hệ phương trình thực theo mn ẩn số thực xij
(1 i m, 1 j n) Nếu hệ này giải được (chẳng hạn nó là một hệ phương
trình tuyến tính) thì ta tìm được các ma trận X thỏa phương trình ma trận đã cho
Ví dụ: Giải các phương trình ma trận sau:
Trang 30Ta có hai hệ phương trình tuyến tính [ hệ (I) theo x, y, z và hệ (II) theo u, v, w ]
và có thể giải chung trong cùng một bảng ma trận như sau (vì ma trận hệ số ở vế trái của hai hệ trùng nhau) :
* Nếu y = 0 : từ (PT1) và (PT4), ta có x = t = 0 Lúc này (PT 3) cũng thỏa với z R
* Nếu y thực tùy ý 0 : t = x (PT 2), z = x2/ y (PT 1) với x thực tùy ý Lúc này (PT 3) và (PT 4) cũng thỏa
Vậy phương trình ma trận có vô số nghiệm như sau :
Trang 31ĐỀ CƯƠNG MƠN TOÁN ĐẠI SỐ B1 ( ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH )
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ( 45 TIẾT )
CHƯƠNG I : MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
Ma trận tương đương dòng
Hệ phương trình tuyến tính và các nghiệm
Phương pháp Gauss và phương pháp Gauss - Jordan giải hệ phương
trình tuyến tính
Dạng bậc thang và dạng bậc thang rút gọn của ma trận
Hạng của ma trận Định lý Kronecker – Capelli
CHƯƠNG II : CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN – MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
Phép chuyển vị ma trận Phép nhân số thực với ma trận
Phép cộng và phép nhân ma trận Ma trận đơn vị Phép nhân và phép lũy thừa ma trận vuông Các hằng đẳng thức và nhị thức Newton dùng cho các ma trận vuông giao hoán
Các ma trận vuông đặc biệt : ma trận đường chéo, ma trận tam giác trên và tam giác dưới Các phép tính cho ma trận đường chéo và tam giác
Ma trận vuông khả nghịch Điều kiện cần và đủ cho sự khả nghịch của
ma trận vuông Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để kiểm tra
ma trận vuông khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó
Dùng ma trận khả nghịch giải các phương trình ma trận đặc biệt
Giải một số phương trình ma trận đơn giản
CHƯƠNG III : ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Khái niệm định thức Định thức các ma trận vuông cấp 1, 2, 3
Định thức các ma trận vuông cấp n được tính theo định thức của các
ma trận vuông cấp ( n – 1 ) dựa theo một dòng hay một cột bất kỳ
Định thức các ma trận vuơng cĩ dạng đặc biệt
Ảnh hưởng của các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hay trên cột đối với định thức Aùp dụng để tính các định thức cấp cao
Kiểm tra ma trận khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức
Qui tắc Cramer giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn
Trang 32CHƯƠNG IV : KHÔNG GIAN VECTOR R n
Tổ hợp tuyến tính các vector Không gian con sinh bởi tập hợp hữu hạn Điều kiện để vector thuộc về không gian sinh
Tập hợp độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều của không gian vector
Tìm cơ sở cho các không gian con sinh bởi tập hợp hữu hạn và khơng gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Tìm cơ sở cho không gian giao và không gian tổng
Tọa độ của vector theo cơ sở Ma trận đổi cơ sở
Công thức đổi tọa độ theo cơ sở
Các khái niệm cơ bản về ánh xạ tuyến tính
Không gian nhân và không gian ảnh của ánh xạ tuyến tính
Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính theo cặp cơ sở
Sự thay đổi ma trận biểu diễn khi thay đổi cặp cơ sở
Xác định ánh xạ tuyến tính từ ma trận biểu diễn theo cặp cơ sở
Xác định ánh xạ tuyến tính khi biết ảnh của một cơ sở
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Đại số tuyến tính và ứng dụng ( Tập 1), Bùi Xuân Hải (chủ biên),
NXB Đại học quốc gia TPHCM, 2011
2/ Đại số tuyến tính, Nguyễn Hữu Việt Hưng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2004 3/ Đại số tuyến tính, Ngơ Việt Trung, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001
4/ Algèbre, Jean - Guégand & Jean – Pierre, Prépa H.E.C ellipses, 1995
5/ Algèbre linéaire, Voiévodine, Édition MIR Moscou,1976
6/ Receueil de problèmes d’algèbre linéaire, H Ikramov, Édition MIR Moscou,1977 7/ Linear algebra and its applications, David C.Lay, Addition Wesley, 1994
Trang 331.1/ KHÁI NIỆM: Với mỗi A Mn(R), người ta xác định duy nhất một giá trị
thực cA gắn liền với A và gọi c A là định thức (determinant) của A
Ta ký hiệu cA = det(A) hay cA = | A |
Giá trị det(A) = | A | biểu thị tính khả nghịch hoặc không khả nghịch của A Nếu | A | 0 thì A khả nghịch Nếu | A | = 0 thì A không khả nghịch
aei, bfg, cdh và 3 đường chéo ngược là ceg, af h, bdi)
Ta có qui tắc SARRUS tính định thức của A theo 6 đường chéo như sau:
| A | = (aei + bfg + cdh) (ceg + af h + bdi)
Trang 341.3/ KÝ HIỆU:
Cho A M n(R) với n 2 và 1 i, j n
Đặt A(i, j) là ma trận A xóa dòng (i) và cột (j), nghĩa là A(i, j) Mn 1(R)
Ta nói A(i, j) là ma trận đồng thừa của A tại vị trí (i, j)
Ta có thể tính | A | theo bất kỳ một dòng hay một cột nào của A
| A | được tính theo dòng (i) như sau :
| A | = a i1 1
A i
C + a i2 2
A i
C + … + a inC in A =
1
n A
ik ik k
kj kj k
| A | được tính theo dòng (1) như sau : | A | = a11C11 + a12C12 + a13C13 =
= 4(1)1+ 1| A(1,1) | (1)1+ 2| A(1,2) | + 2(1)1+ 3| A(1,3) | =
| A | được tính theo cột (2) như sau : | A | = a 12C12 + a 22C22 + a 32C32 =
= (1)1+ 2| A(1,2) | + 3(1)2+ 2| A(2,2) | + 2(1)3+ 2| A(3,2) | =
Trang 351.5/ NHẬN XÉT:
Cho A = a ij 1 ,i j n
M n(R) Xét 1 r, s n
Nếu ars = 0 thì arsCrs = 0 mà không cần tính Crs Như vậy ta sẽ tính | A |
theo dòng hay cột nào có nhiều nhất các hệ số bằng 0
c) Nếu A là ma trận tam giác trên hoặc dưới (đặc biệt là ma trận đường
chéo) thì | A | = a11 a 22 a nn ( tích các hệ số trên đường chéo chính)
Trang 36II ĐỊNH THỨC VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG VÀ CỘT CỦA MA TRẬN:
2.1/ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN CỘT:
Cho A M m x n(R) Xét 1 i j n
Có 3 hình thức biến đổi sơ cấp trên cột cho ma trận:
a) Hoán vị cột (i) với cột (j) Ta ghi (i)’ (j)’
b) Nhân cột (i) với số c R \ {0} Ta ghi (i)’ c(i)’
c) Thế cột (i) bằng [ cột (i) + c.cột (j) ] với số c R
Ta ghi (i)’ [(i)’ + c(j)’]
Các phép biến đổi đảo ngược của các phép biến đổi sơ cấp trên cột trên lần
lượt là (i)’ (j)’, (i)’ c1(i)’ và (i)’ [(i)’ c(j)’]
Giả sử A A’ bằng phép biến đổi sơ cấp (i) (j) [ hoặc (i)’ (j)’]
Khi đó | A’ | = | A | (đổi dấu)
Trang 37Giả sử A A’ bằng phép biến đổi sơ cấp (i) c(i) [ hoặc (i)’ c(i)’]
Khi đó | A’ | = c | A | (bội c)
2.4/ HỆ QUẢ: Cho A Mn(R) và c R Khi đó
a) | cA | = cn | A | (vì A cA bằng cách nhân n dòng của A với c)
b) Có thể rút thừa số chung ở mỗi dòng (hay mỗi cột) của A ra ngoài dấu
Trang 38sẵn hệ số 1, ta lại dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hay cột) thích hợp để tạo 1
Trang 40A không khả nghịch | A | = 0 (a = b) hay (b = c) hay (c = a)
3.2/ MỆNH ĐỀ: Giả sử A Mn(R) và A khả nghịch (nghĩa là | A | 0)
Ta xác định ma trận nghịch đảo A1 bằng phương pháp định thức như sau:
* Tính các hệ số đồng thừa C ij = (1)i+j | A(i, j) | (1 i, j n) của A