Báo cáo nội dung Mặt bậc hai môn Hình học giải tích gồm: 1 Giới thiệu mặt bậc hai định nghĩa và ví dụ 2 Tâm của mặt bậc hai 3 Phương và đường tiệm cận 4 Mặt phẳng tiếp xúc 5 Mặt kính liên hợp với một phương 6 Bài tập minh hoạ
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN HỌC
———————————————–
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
MẶT BẬC HAI
Nhóm thực hiện : Nhóm 10 - Sáng thứ hai tuần chẵn Giảng viên : TS Nguyễn Lê Chí Quyết
Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 11 năm 2017
Trang 2Nhóm 10
Tóm tắt nội dung Tâm - Tiệm cận - Mặt phẳng tiếp xúc Mặt kính liên hợp với một phương
Danh sách thành viên nhóm 10
• Nguyễn Phan Tuấn 43.01.101.115
• Nguyễn Thị Ánh Tuyết 43.01.101.121
• Nguyễn Thanh Tùng 43.01.101.118
• Lê Công Trứ 43.01.101.112
• Phan Vũ Hoài Linh 42.01.102.067
Mục lục
Danh sách hình vẽ
1 x2+ y2+ z2− 2xy − 2yz − 2zx − 10x − 20y + 30z = 0 3
2 x2+ 2y2+ 3z2= 4 3
3 x2+ 2y2− 5z2+ 2xy + 3z + 5 = 0 3
4 x2+ 2y2+ 2z2+ 2xy − 2x − 4y − 4z = 0 4
5 2x2+ 5y2+ 8z2+ 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = 0 5
6 2x2+ 5y2+ 8z2+ 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = 0 6
7 x2+ y2− z2= 0 7
8 y2+ z2= x 7
9 x92 +y162+z42 = 1 9
Trang 3HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI
1 Mặt bậc hai
Định nghĩa 1 Mặt bậc hai trong không gian A3 là tập hợp S gồm tất cả các điểm M có tọa độ (x, y, z) đối với mục tiêu đã cho thoả mãn một phương trình bậc hai dạng:
F (x, y, z) = a11x2+ a22y2+ a33z2+ 2a12xy + 2a23yz + 2a13zx + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44= 0 (1)
Trong đó: a211+ a222+ a233+ a212+ a223+ a213> 0
A = [aij]n là một ma trận đối xứng thực
Phần bậc hai được gọi là phần toàn phương
Phần bậc nhất gọi là phần tuyến tính
a44 là phần hệ số tự do
Các ví dụ minh hoạ
Hình 1: x2+ y2+ z2− 2xy − 2yz − 2zx − 10x − 20y + 30z = 0
Hình 2: x2+ 2y2+ 3z2= 4 Hình 3: x2+ 2y2− 5z2+ 2xy + 3z + 5 = 0
2 Tâm của mặt bậc hai
Định nghĩa 2 Gọi I(x0, y0, z0) là tâm của mặt bậc hai thì tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:
Fx0(x0, y0, z0) = 0
Fy0(x0, y0, z0) = 0
Fz0(x0, y0, z0) = 0
⇐⇒
a11x0+ a12y0+ a13z0+ a14= 0
a12x0+ a22y0+ a23z0+ a24= 0
a13x0+ a23y0+ a33z0+ a34= 0
(2)
Nhận xét 1 Tương tự như tâm của đường bậc hai trong mặt phẳng, tâm của mặt bậc hai là tâm đối xứng của nó Điều này có nghĩa là phép đối xứng qua I biến (S) thành chính nó
Chứng minh Giả sử I(x0; y0; z0) là tâm của mặt bậc hai
Gọi TOI~ là phép tịnh tiến theo ~OI có biểu thức tọa độ:
x = x0 + x0
y = y0+ y0
z = z0+ z0
Trang 4Từ đó ta có: 0 = F (x0, y0, z0) = a11(x0+ x0)2+ a22(y0+ y0)2+ a33(z0+ z0)2+
+2a12(x0+ x0)(y0+ y0) + 2a13(x0+ x0)(z0+ z0) + 2a23(y0+ y0)(z0+ z0)+ +2a14(x0+ x0) + 2a24(y0+ y0) + 2a34(z0+ z0) + a44
Đặt:
• G(x0, y0, z0) = 2x0(a11x0+ a12y0+ a13z0+ a14) + 2y0(a22y0+ a12x0+ a23z0+ a24)
+2z0(a33z0+ a13x0+ a23y0+ a34)
• H(x0, y0, z0) = F (x0, y0, z0) − G(x0, y0, z0)
suy ra: H(x0, y0, z0) + G(x0, y0, z0) = 0
Do I là tâm của mặt bậc hai nên: G(x0, y0, z0) = G(−x0, −y0, −z0) Từ đó ta có hệ phương trình:
2(a11x0+ a12y0+ a13z0+ a14) = 0 2(a12x0+ a22y0+ a23z0+ a24) = 0 2(a13x0+ a23y0+ a33z0+ a34) = 0
(i)
Do đó, nếu hệ (i) có nghiệm thực (x0, y0, z0) thì mặt bậc hai có tâm I(x0, y0, z0)
Nhận xét 2 Khi tịnh tiến mặt bậc hai tới tâm của nó (tịnh tiến theo ~OI) thì phương trình mặt bậc hai sau khi tịnh tiến là:
F (x, y, z) = a11x2+ a22y2+ a33z2+ 2a12xy + 2a23yz + 2a13zx + F (x0, y0, z0) = 0 (3) Nhận xét 3 Nếu I là tâm của (S) và I ∈ (S) thì I được gọi là điểm kỳ dị của (S)
Ví dụ 1 Cho mặt bậc hai (S) : x2+ 2y2+ 2z2+ 2xy − 2x − 4y − 4z = 0 Tìm tâm và phương trình biến biến đổi sau khi tịnh tiến (S) về tâm của nó
Hình 4: x2+ 2y2+ 2z2+ 2xy − 2x − 4y − 4z = 0
Lời giải 1 Giả sử I(x0, y0, z0) là tâm của (S)
Ta suy ra toạ độ của I thoả hệ phương trình:
Fx0(x0, y0, z0) = 0
Fy0(x0, y0, z0) = 0
Fz0(x0, y0, z0) = 0
⇐⇒
2x0+ 2y0+ −2 = 0 2x0+ 4y0− 4 = 0 4z0− 4 = 0
⇐⇒
x0= 0
y0= 1
z0= 1 suy ra tâm của (S) là: I(0, 1, 1)
Ta có: F (0, 1, 1) = 2 + 2 − 4 − 4 = −4
Phương trình sau khi tịnh tiến (S) về tâm của nó là: x2+ 2y2+ 2z2+ 2xy − 4 = 0
Trang 5HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI
3 Phương tiệm cận và đường tiệm cận
Định nghĩa 3 Ta nói ~v = (α, β, γ) 6= ~0 là vector chỉ phương tiệm cận của mặt bậc hai nếu (α, β, γ) là nghiệm của phương trình:
a11α2+ a22β2+ a33γ2+ 2a12αβ + 2a23βγ + 2a13γα = 0 (4) Chứng minh Gọi tiệm cận (nếu có) của mặt bậc hai (S) là (d) :
x = x0+ αt
y = y0+ βt
z = z0+ γt Gọi M (x00, y00, z00) là điểm bất kỳ thuộc (d)
Đặt F (x0, y0, z0) = u M (x00, y00, z00) thuộc mặt bậc hai (S) có phương trình F (x, y, z) − u = 0
Khi đó, F (x00, y00, z00) là mặt bậc hai theo t có phương trình:
0 = a11(x0+ αt)2+ a22(y0+ βt)2+ a33(z0+ γt)2
+2a12(x0+ αt)(y0+ βt) + 2a23(y0+ βt)(z0+ γt) + 2a13(z0+ γt)(x0+ αt) +a14(x0+ αt) + a24(y0+ βt) + a34(z0+ γt) + a44− u
Để (d) là tiệm cận của mặt bậc hai (S) thì lim
t→∞F (x00, y00, z00) = 0 Do đó ta có hệ số của t2 bằng 0
Từ đó suy ra:
a11α2+ a22β2+ a33γ2+ 2a12αβ + 2a23βγ + 2a13γα = 0 Kết luận Mặt bậc hai (S) có tâm I Tiệm cận của (S) là đường thẳng (d) qua I, nhận ~v = (α, β, γ) 6= ~0 làm vector chỉ phương và không cắt (S)
Nhận xét 4 Nếu (S) có tâm duy nhất và có vector chỉ phương tiệm cận ~v thì đường thẳng đi qua tâm và nhận
~v làm vector chỉ phương được gọi là đường tiệm cận của mặt bậc hai (S)
Ví dụ 2 Cho mặt bậc hai (S) : 2x2+ 5y2+ 8z2+ 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = 0 Tìm một vector chỉ phương tiệm cận của (S)
Hình 5: 2x2+ 5y2+ 8z2+ 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = 0
Lời giải 2 Ta có ~v = (α, β, γ) = (2, 0, 2) 6= ~0 là vector chỉ phương tiệm cận của (S) vì (α, β, γ) là nghiệm của phương trình:
2α2+ 5β2+ 6γ2+ 2αβ + 12βγ − 8γα = 0
4 Mặt phẳng tiếp xúc
Định nghĩa 4 Đường thẳng cắt mặt bậc hai tại hai điểm trùng nhau gọi là tiếp tuyến với mặt bậc hai tại điểm trùng đó
Quỹ tích của những tiếp tuyến tại điểm đó gọi là mặt phẳng tiếp xúc với mặt tại điểm ấy
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai tại điểm M (x0, y0, z0) có dạng:
(x − x0)Fx0(x0, y0, z0) + (y − y0)Fy0(x0, y0, z0) + (z − z0)Fz0(x0, y0, z0) = 0 (5) Chứng minh Gọi mặt bậc hai (S) : F (x, y, z) = 0 Gọi M (x0, y0, z0) ∈ (S)
Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M nhận ~v = (α, β, γ) 6= ~0 làm vector chỉ phương là:
Trang 6
x = x0+ αt
y = y0+ βt
z = z0+ γt
(t ∈ R)(i)
Thay (i) vào F (x, y, z) = 0, ta có:
0 = a11(x0+ αt)2+ a22(y0+ βt)2+ a33(z0+ γt)2
+2a12(x0+ αt)(y0+ βt) + 2a23(y0+ βt)(z0+ γt) + 2a13(z0+ γt)(x0+ αt) +a14(x0+ αt) + a24(y0+ βt) + a34(z0+ γt) + a44
Từ phương trình trên, ta suy ra phương trình bậc hai ẩn t có dạng: P t2+ Qt + R = 0 (ii)
Để (d) là tiếp tuyến của mặt bậc hai thì phương trình (ii) có nghiệm kép
Suy ra:
(
P 6= 0
Q2− 4P R = 0
Ta tính được R = F (x0, y0, z0) = 0 do đó Q = 0
suy ra: α(2a11x0+ 2a12y0+ 2a13z0+ 2a14) + β(2a12x0+ 2a22y0+ 2a23z0+ 2a24)+
+γ(2a13x0+ 2a23y0+ 2a33z0+ 2a34) = 0
⇐⇒ αFx0(x0, y0, z0) + βFy0(x0, y0, z0) + γFz0(x0, y0, z0) = 0
Từ đó ta có: (x − x0)Fx0(x0, y0, z0) + (y − y0)Fy0(x0, y0, z0) + (z − z0)Fz0(x0, y0, z0) = 0
Nhận xét 5 Mặt phẳng tiếp xúc giao nhau với mặt bậc hai theo một đường cong bậc hai suy biến
Ví dụ 3 Cho mặt bậc hai (S) : 2x2+ 5y2+ 8z2+ 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = 0 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M (1, 1, 2)
Hình 6: 2x2+ 5y2+ 8z2+ 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = 0 Lời giải 3 Ta có:
Fx0 = 4x + 2y + 6z + 8
Fy0 = 2x + 10y + 12z + 14
Fz0 = 6x + 12y + 16z + 18 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M (1, 1, 2) có dạng:
(x − 1)Fx0(1, 1, 2) + (y − 1)Fy0(1, 1, 2) + (z − 2)Fz0(1, 1, 2) = 0
⇐⇒ 27(x − 1) + 50(y − 1) + 68(z − 2) = 0
⇐⇒ 27x + 50y + 68z − 213 = 0
Vấn đề 1: Giao tuyến của hai mặt bậc hai
Ví dụ 4 Tìm giao tuyến của hai mặt bậc hai (S1) : x2+ y2− z2= a2 và (S2) : x2− y2
= 2az với a ∈ R Phương pháp Giải hệ phương trình gồm hai mặt bậc hai
Trang 7HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI
Lời giải 4 Để tìm giao tuyến của (S1) và (S2), ta xét hệ phương trình sau:
(
x2+ y2− z2= a2 (i)
Lấy (i) − (ii) vế theo vế, ta được: 2y2= (z − a)2 ⇐⇒ y√2 = z − a hay y√
2 = a − z
Lấy (ii) − (i) vế theo vế, ta được: 2x2= (z + a)2 ⇐⇒ x√2 = z + a hay x√
2 = −z − a
Do đó, hệ (7) tương đương với:
(
y√
2 = z − a hay y√
2 = a − z
x√
2 = z + a hay x√
2 = −z − a Vậy giao tuyến của (S1) và (S2) là 4 đường thẳng:
(
y√
2 − z + a = 0
x√
2 − z − a = 0 ;
(
y√
2 − z + a = 0
x√
2 + z + a = 0 ;
(
y√
2 + z − a = 0
x√
2 − z − a = 0 ;
(
y√
2 + z − a = 0
x√
2 + z + a = 0
Vấn đề 2: Giao tuyến của mặt bậc hai với một mặt phẳng
Ví dụ 5 Cho mặt nón tròn xoay (S) : x2+ y2− z2= 0 Cho mặt phẳng (P ) : Ax − By + Cz + D = 0 (1) cắt (S) theo một giao tuyến (∆) Tìm điều kiện của A, B, C, D để (∆) là một đường tròn
Hình 7: x2+ y2− z2= 0
Lời giải 5 Ta có: (S) nhận trục Oz làm trục đối xứng nên giao của mặt nón với một mặt phẳng song song với (Oxy) là một đường tròn
Do đó: (∆) là một đường tròn khi và chỉ khi (P ) k (Oxy)
suy ra: phương trình của (P ) có dạng αz + β = 0 (α 6= 0) (2)
Đồng nhất (1) và (2) ta thu được A = B = 0, C 6= 0, D ∈ R
Vậy A = B = 0, C 6= 0, D ∈ R thì (∆) là một đường tròn
Ví dụ 6 Cho mặt bậc hai (S) : y2+ z2= x Tìm giao tuyến của (S) với các mặt phẳng toạ độ
Hình 8: y2+ z2= x
Lời giải 6 Ta tìm giao tuyến của (S) với từng mặt phẳng toạ độ
Tìm giao tuyến của (S) với (Oxy) : z = 0
Hệ phương trình giao tuyến:
(
z = 0
y2+ z2= x ⇐⇒
(
z = 0
y2= x
Trang 8Vậy giao tuyến của (S) với (Oxy) là một Parabola nằm trong (Oxy) có đỉnh là gốc toạ độ O(0, 0, 0), tham
số tiêu p = 12, nhận tia Ox làm trục đối xứng
Tìm giao tuyến của (S) với (Ozx) : y = 0
Hệ phương trình giao tuyến:
(
y = 0
y2+ z2= x ⇐⇒
(
y = 0
z2= x Vậy giao tuyến của (S) với (Ozx) là một Parabola nằm trong (Ozx) có đỉnh là gốc toạ độ O(0, 0, 0), tham
số tiêu p = 12, nhận tia Ox làm trục đối xứng
Tìm giao tuyến của (S) với (Oyz) : x = 0
Hệ phương trình giao tuyến:
(
x = 0
y2+ z2= x ⇐⇒
x = 0
y = 0
z = 0 Vậy giao tuyến của (S) với (Oyz) là gốc toạ độ O(0, 0, 0)
5 Mặt kính liên hợp với một phương
Định nghĩa 5 Ta có ~v = (α, β, γ) 6= ~0 không phải là vector chỉ phương tiệm cận thì mặt kính liên hợp với phương của ~v có phương trình:
Chứng minh Gọi đường thẳng (d) bất kì có phương của ~v và cắt (S) tại hai điểm M, N
Gọi I(x0, y0, z0) là trung điểm của M N
Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I nhận ~v = (α, β, γ) 6= ~0 làm vector chỉ phương là:
x = x0+ αt
y = y0+ βt
z = z0+ γt
(t ∈ R)(i)
Thay (i) vào F (x, y, z) = 0, ta có:
0 = a11(x0+ αt)2+ a22(y0+ βt)2+ a33(z0+ γt)2
+2a12(x0+ αt)(y0+ βt) + 2a23(y0+ βt)(z0+ γt) + 2a13(z0+ γt)(x0+ αt) +a14(x0+ αt) + a24(y0+ βt) + a34(z0+ γt) + a44
Từ phương trình trên, ta suy ra phương trình bậc hai ẩn t có dạng: P t2+ Qt + R = 0 (ii)
Do M ∈ (d) và N ∈ (d) nên ta gọi:
• M (x0+ αt1, y0+ βt1, z0+ γt1)
• N (x0+ αt2, y0+ βt2, z0+ γt2)
Vì I là trung điểm của M N nên ta có:
2xI = xM + xN
2yI = yM + yN 2zI = zM + zN
⇐⇒
2x0= 2x0+ αt1+ αt2
2y0= 2y0+ βt1+ βt2 2z0= 2z0+ γt1+ γt2
⇐⇒
α(t1+ t2) = 0 β(t1+ t2) = 0 γ(t1+ t2) = 0
mà ~v 6= ~0 nên suy ra t1+ t2= 0 ⇐⇒ t1= −t2
do (ii) nhận t1, t2là nghiệm nên Q = 0
Vậy, αFx0+ βFy0 + γFz0 = 0
Nhận xét 6 Mặt kính liên hợp là quỹ tích trung điểm của M N (M ,N là giao điểm của d và (S))
Ví dụ 7 Tìm phương trình mặt kính của x92 +y162 +z42 = 1 liên hợp với phương ~v = (2, 1, 2)
Lời giải 7 Phương trình mặt kính cần tìm là:
2Fx0(2, 1, 2) + Fy0(2, 1, 2) + 2Fz0(2, 1, 2) = 0 ⇐⇒ 4x
9 + y
8 + z = 0 ⇐⇒ 32x + 9y + 72z = 0
Trang 9HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI
Hình 9: x92 +y162 +z42 = 1
6 Bài tập
Bài tập 1 Cho mặt cầu (S) : (x − 4)2+ (y − 7)2+ (z + 1)2= 36 và mặt phẳng (P ) : 3x + y − z − 9 = 0 Chứng minh (S) và (P ) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn đó
Bài tập 2 Chứng minh rằng giao tuyến của mặt cầu (S1) : x2+ y2+ z2− 50z = 0 và mặt bậc hai
(S2) : x
5
2
+ y42
= 2z là một đường tròn Tìm bán kính của đường tròn đó
Bài tập 3 Tìm phương trình mặt kính liên hợp của mặt bậc hai: (S) : 2x2+ 5y2+ 8z2+ 12yz + 6zx + 2xy + 8x + 14y + 18z = 0 Biết (S) liên hợp với các dây song song với:
a (d) : x−53 = y2 = z+1
−5
b Trục Ox
c Trục Oy
d Trục Oz
Bài tập 4 Cho mặt bậc hai (E) : xa22 +yb22+zc22 = 1
a Khi a = b = c thì (E) trở thành mặt gì?
b Cho a ≥ b ≥ c Chứng minh rằng c ≤ OM ≤ a, ∀M ∈ (E)
c Chứng minh rằng nếu a > b > c thì giao tuyến của (E) với mặt phẳng (P ) : xqb12 − 1
a 2 ± zq1
c 2 − 1
b 2 = 0
là những đường tròn