SKKN vận DỤNG PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử vào GIẢI TOÁN

Cơ sở thực tế Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” được học khá kĩ ở học kì I lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải bài tập trong chương trình Đạ

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2014 - 2015

I Sơ yếu lý lịch

- Họ và tên: LÊ MAI PHƯƠNG

- Ngày tháng năm sinh: 27/07/1990

- Trình độ chuyên môn: Cao đẳng Sư phạm, ngành Toán; chức vụ: Giáo viên

- Tổ chuyên môn: Tự nhiên

- Trường: THCS Phương Trung- Thanh Oai- Hà Nội

- Nhiệm vụ được phân công: Giảng dạy môn Toán

đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thông minh, chính xác là rất cần thiết đối với cảgiáo viên và học sinh

Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thựchành thành thạo dạng toán trên giúp HS có thể đạt được kết quả như mong muốn

b Cơ sở thực tế

Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” được học khá kĩ ở học kì I lớp 8,

nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải bài tập trong chương trình Đại số 8 cũng như các lớp sau này Vì vậy, yêu cầu học sinh phải nắm chắc và vận

dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng Nắm được yêu cầu này trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã tìm tòi và nghiên

cứu tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu giúp học sinh phát triển năng lực tư duy logic,sáng tạo trong giải bài tập Trong chuyên đề này tôi giới thiệu thêm các phương pháp sau:Phương pháp thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, tìm nghiệm của đa thức

2 Giải quyết vấn đề

Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyềnđạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làmtrung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và

tự giác của học sinh

Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chĩng thìtrước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thànhtích của những đa thức, sau đĩ nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phươngpháp nâng cao để phân tích, đĩ là:

1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C).2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức

3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:

+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm

+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức

4) Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và pháttriển kỹ năng

là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản: + Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

5)Phương pháp tìm mghi ệm c ủa đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:+ Đa thức f(x) cĩ nghiệm hữu tỉ thì cĩ dạng p/q trong đĩ p là ước của hệ số tự do, q làước dương của hệ số cao nhất

6)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được

ba phương pháp cơ bản đã học để giải

7) Ph ương pháp tách hạng tử:

8) Ph ương pháp đặt biến phụ :

9)Phương pháp hệ số bất định: Đĩ là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đĩ suy

ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử

-Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã họcvào từng dạng toán khác nhau

-Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic

-Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt,học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó

c) Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

* Quy trình và cách thức:

- Tổ chức thi tuyển chọn cỏc em cú năng khiếu về bộ mụn Đặc biệt là phải học

được mụn Toỏn

- Tổ chức cho học ụn luyện theo chuyờn đề, trao đổi trực tiếp Sau mỗi chuyờn

đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh ( Đề ra dạng như đề thi để học sinh làm quen dần )

- Giỏo viờn say mờ, tớch cực, giảng dạy và tự học; tỡm tũi nhiều dạng bài tập phong phỳ cho học sinh luyện tập khụng chỉ trờn lớp mà cả ở nhà

- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chớ kiờn cường và quyết tõmthi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu Động viờn, khớch lệ học sinhthường xuyờn và liờn tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể họcsinh trong từng buổi học

- Mỗi dạng toỏn cần hướng dẫn học sinh phương phỏp giải một cỏch tỉ mỉ, khai thỏc triệt để phương phỏp giải và cho cỏc em luyện tập ớt nhất là 2 lần bằng những bài toỏn tương tự trờn lớp Sau mỗi buổi học Giỏo viờn giao bài tập về nhà cho cỏc em luyện tập để cỏc em được khắc sõu hơn về cỏc dạng toỏn đó được ụn tõp

Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyệncho học sinh tính t duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tựmình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phơng pháp làm toán ở dạng cơbản nh các phơng pháp thông thờng mà còn phải dùng một số phơngpháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ đó giúp các

em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sángtạo khi gặp các dạng toán khó

Ngời thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinhcủa mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải

đợc các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thứcthành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết quả tốt trong các

kỳ thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "

Ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp

học sinh của mình nắm vững các phơng pháp phân tích đa thứcthành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải phù hợp vớitừng bài cụ thể ở các dạng khác nhau

* Khảo sỏt thực tiễn

Khi chưa thực hiện đề tài này, thỡ hầu hết cỏc em làm bài tập rất lỳng tỳng, thời gianlàm mất nhiều, thậm chớ khụng tỡm ra cỏch giải Để thực hiện đề tài này tụi đó tiến hànhkhảo sỏt năng lực của học sinh thụng qua một số bài kiểm tra kết quả như sau:

SL % SL % SL % SL %

Thụng qua kết quả khảo sỏt tụi đó suy nghĩ cần phải cú biện phỏp thớch hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yờu cầu trong quỏ trỡnh giải những bài toỏn về phõn tớch đa thức thành nhõn tử Tụi mạnh dạn nờu ra một số biện phỏp dưới đõy:

* Một số biện phỏp

1) Biện pháp thứ nhất.

Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiếnthức cơ bản nh các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đathức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức,phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, cácquy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo cáchằng đẳng thức đáng nhớ

2) Biện pháp thứ hai.

Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích

đa thức thành nhân tử

Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến

đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác

Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử.

M2 = a2 - b2 - 2a + 2b

= (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)

= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặtNTC)

+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?

+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳngthức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiệnmỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của cácnhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau:

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2

Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không

có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích đợc Quan sát kỹ ta thấyhai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì vậy ta dùng phơng phápnhóm các hạng tử đầu tiên:

Nh vậy M3 đã đợc phân tích thành tích của hai nhân tử (a +b) và (8a - 2b).

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.

M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy

Trớc hết hãy xác định xem dùng phơng pháp nào trớc ?

Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy

+ Đặt nhân tử chung

M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nàokhông?

+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2

+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xéthai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?

+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có:

M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)Vậy: M4 đã đợc phân tích các đa thức thành nhân tử

Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đathức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phơng pháp phân tích đa thứcthành nhân tử đã học để các bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc vàtriệt để (đa thức không thể phân tích đợc nữa)

= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)

= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)Cách 3:

N = a2 4a + 4 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, 6x = 4a + ( 2a)

-= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)

= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)

Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2cách tách sau là thông dụng nhất;

- Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho

đa thức mới đợc đa về hiệu hai bình phơng (cách 2) hoặc làm xuấthiện hằng đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách3)

- Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồidùng phơng pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuấthiện nhân tử chung mới (cách 1)

Ví dụ 7: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhântử

Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1 b2 = a.c

2 Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

x = y thì x2 +

1 2

x = y

2 + 2, do đó

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - 1

x )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

Ta thÊy 2 h¹ng tö ®Çu cã nh©n tö chung lµ (x2+ x), ta cã thÓ

đã nêu ở trên Chú ý có những tam thức không thể phân tíchtiếp đợc nh :

x2 + x + 6 = (x + 21 )2 + 543 Do vậy không phân tích tiếp đợcnữa

Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)

Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)

d) Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức

Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thìtheo định lý Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứanhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa thức ta có:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai

có thể phân tích tiếp đợc dựa vào các phơng pháp nêu ở trên

Các phơng pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:

+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x =1

 đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c =

b +d đa thức có x = -1

 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)

+ Nếu không xét đợc tổng các hệ số nh trên thì ta xét các ớc của hệ số tự do d (hệ số không đổi) Nếu ớc nào của d làm cho đa

thức có giá trị bằng 0 thì ớc đó là nghiệ

Vớ dụ 20 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x3 – x2 - 4

Ta nhõn thấy nghiệm của f(x) nếu cú thỡ x =   1; 2; 4, chỉ cú f(2) = 0 nờn x = 2 lànghiệm của f(x) nờn f(x) cú một nhõn tử là x – 2 Do đú ta tỏch f(x) thành cỏc nhúm cúxuất hiện một nhõn tử là x – 2

Cỏch 1:

x3 – x2 – 4 = x32x2  x22x2x 4 x x2  2 x x(  2) 2(x =2)

x2x2 x 2

Ví dụ 21 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5

Nhận xét:  1, 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ

Ta nhận thấy x = 13 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1 Nên

x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Ví dụ 23 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2)

Vì x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

VÝ dô 24: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.

E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.

a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0  x1 = 1

E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1) Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

6 12 14 3

a c

ac b d

ad bc bd

VÝ dô 28 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)

= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3



12

4 10

3

6 12

Cụ thể: 36x2

1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến).Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y

1d: x3 - 2x2 - x + 2 (phơng pháp tìm nghiệm)

Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0

Ngoài ra có thể sử dụng các phơng pháp khác để phân tíchcác bài tập trên thành nhân tử

Bài tập 2 : Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.

M =

8 14 7

4 4

3

2 3

a a a

với a = 102Gợi ý:

+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phơng pháp nhóm hằng

đẳng thức đa tử thành nhân tử

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳngthức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử.

+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức

+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn

Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:

3.a) y2 - 5y + 4 = 0

Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử  phơng trình trở vềphơng trình tích

+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba

số tự nhiên liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A  3

+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liêntiếp nên mộc trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hếtcho 4 Vậy A  8

+ Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luônchia hết cho 24

b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24

Với n là số nguyên dơng tuỳ ý

Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12Gợi ý:

+ Trớc hết sử dụng các phơng pháp của phân tích đa thứcthành nhân tử để phân tích A

Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trờngTHCS Đại Phú trong năm học 2011 - 2012 đã thu đợc các kết quả khảquan 

Kết quả học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờhọc, qua mỗi kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sửdụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử đểlàm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kếtquả tốt Bên cạnh đó các phơng pháp này giúp các em dễ dàng tiếpcận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hìnhthành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộmôn toán

HS 1 :Đạt 13,5/20 điểm- Đạt giải khuyến khích HSG Toán cấphuyện

HS2 : Đạt 15,5/20 điểm - Đạt giải ba HSG Toán cấp huyện

3 Kết luận.

a)Bài học kinh nghiệm:

Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệmtrên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rấtnhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hớng phơng pháp làm bàikhi cha có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quảtốt từ việc giải toán rút ra các phơng pháp phân tích đa thức thànhnhân tử

Vì lẽ đó vơí mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêngcần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ

đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúphọc sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán,yêu thích học toán Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có đợc

nh vậy thì ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giảitoán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra cho họcsinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng nh cáchgiải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có

kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện

ra các cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thànhnhân tử ở trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán

có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Các kinh nghiệm vềphân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽcòn rất nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trong trờng, đồngnghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốthơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt chơngtrình mới THCS

b) Kiến nghị, đề xuất:

Đối với Ban Giỏm Hiệu nhà trường:

Nhà trờng sắp xếp đảm bảo hợp lý, khoa học và hiệu quả thờigian bồi dỡng cùng các cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và họccủa các môn

Chế độ thởng đợc nhà trờng thực hiện kịp thời ngay sau khi cóthông báo kết quả các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, đạt giải

Nhà trờng nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dỡng, chọn lọcqua các năm và chỉ đạo các tổ chuyên môn, các giáo viên xây dựng

kế hoạch bồi dỡng cụ thể, có tính chất tạo nguồn cho những năm tiếptheo

Nhà trường nên xây dựng một cơ chế hỗ trợ xứng đáng tạo

điều kiện cho giáo viên tham gia bồi dỡng đội tuyển phấn đấu, antâm hơn trong giảng dạy