Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D ta tính y' f ' x và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, sau đó lập bảng biến thiên trên
Trang 11 | P a g e
TỔNG ÔN VÒNG 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa
Giả sử hàm số y f x xác định trên tập hợp D với D
a Nếu tồn tại một điểm x D sao cho 0 f x f x 0 với mọi x D thì số M f x 0 được gọi là
giá trị lớn nhất của hàm số f x trên D và kí hiệu là max
x
max
:
x
D
D
b Nếu tồn tại một điểm x D0 sao cho f x f x 0 với mọi x D thì số m f x 0 được gọi là
giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên D và kí hiệu là min
x
min
:
x
D
D
Chú ý: Muốn chứng tỏ số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số y f x
trên tập hợp D cần chỉ rõ:
f x M (hoặc f x m) với mọi x D
Tồn tại ít nhất một điểm x D sao cho 0 f x 0 M (hoặc f x 0 m)
2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D
Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D ta tính y' f ' x và tìm các
điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, sau đó lập bảng biến thiên trên D và từ bảng biến thiên
suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Một số chú ý:
Nếu hàm số luôn tăng trên đoạn a b; thì
max min
D D
Nếu hàm số luôn giảm trên đoạn a b; thì
max min
D D
Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a b thì hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ;
trên đoạn a b ;
Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng a b thì ta ;
lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Nếu bài toán không cho tập D thì ta mặc định tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập xác định của nó
Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên D ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất một đoạn trên D có độ dài bằng T
Trang 22 | P a g e
Khi ta đặt ẩn phụ xu t thì với xD t E khi đó hàm số trở thành yg t và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D cũng chính là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số yg t trên E
Chúng ta cần phân biệt rõ giữa giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) và giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số, hai giá trị này không phải lúc nào cũng trùng nhau
II – BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1: (Lớp Toán Thầy Huy)Biết giá trị lớn nhất của hàm số 4 2 1
2
y x x m là 18 Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A 0 m 5 B 10 m 15 C 5 m 10 D.15 m 20
Câu 2: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số
1
x m y
x
(mlà tham số thực)thoả mãn
1; 2 1; 2
16 min max
3
y y Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A m 0 B.m 4 C 0m2 D 2m 4
Câu 3: (Lớp Toán Thầy Huy)Có một giá trị m0 của tham số m để hàm số 3 2
yx m xm đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn 0;1 Mệnh đề nào sau đây đúng?
2018m m 0 B 2m 0 1 0 C 2
6m m 0 D 2m 0 1 0
Câu 4: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số y f x liên tục trên Đồ thị của hàm số y f x
như hình bên.Đặt 2
g x f x x Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A
3;3 3
Max g x g
Min g x g
Max g x g
Max g x g
Câu 5: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số 1 sin
cos 2
y
x
.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m thuộc đoạn 0;10 để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2?
Câu 6: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
dưới.Xét hàm số 3
g x f x x m.Tìm m để
0;1
maxg x 10
Trang 33 | P a g e
A m 13 B m 5 C m 3 D m 1
Câu 7: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số y x22x a 4.Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ nhất?
A a 1 B a 2 C Một giá trị khác D.a 3
Câu 8: (Lớp Toán Thầy Huy)Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x x trên đoạn m
2;1 đạt giá trị lớn nhất,giá trị của tham số m thỏa mãn
A m 1; 2 B.m 4;5 C m 2;3 D m 3; 4
Câu 9: (Lớp Toán Thầy Huy) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
x m y
x m trên đoạn 0; 4 bằng 1
A 0.B.2.C.3.D.1
Câu 10: (Lớp Toán Thầy Huy) Biết hàm số y f x liên tục trên có M và m lần lượt là
GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn 0; 2.Trong các hàm số sau cho ở các phương án A,B,C,D hàm số nào lần lượt có GTLN,GTNN tương ứng là M và m?
A. 24
1
x
y f
x
2
y f x x
C 3 3
2 sin cos
y f x x D y f 2 sin xcosx
Câu 11: (Lớp Toán Thầy Huy)Hàm số f x( )x33x24x m 22m với m là tham số có giá trị lớn
nhất trên đoạn 0;1 là M Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để M 8
Câu 12: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.Biết rằng
ax b
f x
cx d
và g x f f x .Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g x trên đoạn 3; 1
Trang 44 | P a g e
3
Câu 13: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số
2
1
y x
(m là tham số thực).Giá trị lớn nhất của
m để
0;1
miny là2
Câu 14: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm sốy x22x a 4.Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ nhất
A a 1.B.a 2.C.Một giá trị khác.D.a 3
Câu 15: (Lớp Toán Thầy Huy)Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y x33x2 x m xét trên đoạn
2; 4,m0 là giá trị của tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất.Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 1m05 B 7 m0 5 C 4 m00 D.m 0 8
Câu 16: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm mđể giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
yx mx trên đoạn 0;3
bằng 2
27
2
m
Câu 17: (Lớp Toán Thầy Huy)Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của
hàm số y x22xm trên đoạn 1 2; bằng 5
Câu 18: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số
2
x m
y f x
x
Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên 2; 1 bằng 0
Câu 19: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm m để hàm số 2
4
y x x m có giá trị lớn nhất bằng 3 2
A m 2 2 B.m 2 C m 2 D 2
2
Trang 55 | P a g e
Câu 20: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y x33x2m1 trên đoạn
0; 2 là nhỏ nhất.Giá trị của m thuộc khoảng
A.0;1 B 1; 0 C 2; 2
3
3
; 1 2
Câu 21: (Lớp Toán Thầy Huy)Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của
hàm số y x33x29x m trên đoạn 2; 4 bằng 16 Số phần tử của Slà
Câu 22: (Lớp Toán Thầy Huy)Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số msao cho giá trị lớn
nhất của hàm số 1 4 2
4
f x x x xm trên đoạn 0; 2 không vượt quá 30 Tổng
các phần tử của S bằng
Câu 23: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y x33x2m trên đoạn là 1
nhỏ nhất.Giá trị của m thuộc khoảng?
3
3
; 1 2
Câu 24: (Lớp Toán Thầy Huy)Giá trị của tham số m để hàm số f x mx 1
x m
có giá trị lớn nhất trên
1; 2
bằng 2 là:
A m4 B.m3 C m 3 D m2
Câu 25: (Lớp Toán Thầy Huy) Với giá trị nào của m thì hàm số yx36x29xm có giá trị lớn
nhất trên đoạn 0; 2 bằng 4?
27
m
Câu 26: (Lớp Toán Thầy Huy) Hàm số
2
x m y
x
thỏa mãn 0;1 0;1
7
6
ym y Hỏi m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A 0; 2 B ; 1 C 2; D.2; 0
Câu 27: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số
1
x m y
x
(m là tham số)thỏa mãn điều kiện
0;1
maxy Mệnh đề nào sau đây đúng?2
A m 1 B.m 4 C 3m4 D 1m 3
Câu 28: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x có đạo hàm là f x Đồ thị hàm số y f x
được cho như hình vẽ bên.Biết rằng f 0 f 2 f 1 f 3 Giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 0; 3 là
Trang 66 | P a g e
A f 1 B f 0 C f 2 D. f 3
Câu 29: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số 3 2
yx mx m x Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên đoạn 2; 0 hàm số trên đạt giá trị lớn nhất bằng 6
Câu 30: (Lớp Toán Thầy Huy)Để giá trị lớn nhất của hàm số 3
y f x x x m trên đoạn
0; 2 là nhỏ nhất thì giá trị của m thuộc
A. 0;1 B 1;0 C 1; 2 D 2; 1 .
Câu 31: (Lớp Toán Thầy Huy)Xét hàm số y x2ax b ,với ,a b là tham số.Gọi M là giá trị lớn
nhất của hàm số trên 1;3.Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được,tính a2b
Câu 32: (Lớp Toán Thầy Huy)Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị
lớn nhất của hàm số
2
1
y
x trên 1; 2 bằng 2 Số phần tử của tập S là
Câu 33: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số y f x có đạo hàm f x Hàm sốy f x liên tục
trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ
y
2 2
4
O
Biết 1 13 , 2 6
4
f f Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
g x f x f x trên 1; 2 bằng:
A.1573
37
14245
64 .
Câu 34: (Lớp Toán Thầy Huy)Để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y xx m đạt giá trị nhỏ nhất thì m thỏa
Trang 77 | P a g e
A. 3
2
3
3
2
m
Câu 35: (Lớp Toán Thầy Huy) Giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) x33x272x90 m trên đoạn
5;5là 2018.Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
A.1600m1700 B m 400 C m 1618 D 1500m1600
Câu 36: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn
bán kính 10cm,biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn
A 80cm2 B.100cm2 C 160cm2 D 200 cm2
Câu 37: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2
1
x m y
có giá trị lớn nhất trên nhỏ hơn hoặc bằng 1
A.m 1 B m 1 C m 1 D m 1
Câu 38: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hàm số f x( ) x6x3m2x3.Gọi S là tập tất cả các giá trị
thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )bằng 1.Tổng tất cả các phần tử của S
bằng:
A 1
5
Câu 39: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên:
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f x 1 1m có nghiệm?
A m 1 B.m 2 C m 4 D m 0
Câu 40: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm m để 4
mx x m với x R
A m 427 B m 427 C m 427 D.m 427
Câu 41: (Lớp Toán Thầy Huy)Tìm m để bất phương trình: 2 2 2
x m x x nghiệm đúng
0;1
x
4
4
Câu 42: (Lớp Toán Thầy Huy) Tìm mđể bất phương trình 4
1
x
có nghiệm trên khoảng
;1
A m 5 B.m 3 C m 3 D m 1
Câu 43: (Lớp Toán Thầy Huy)Phương trình x3 1x2 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
Trang 88 | P a g e
Câu 44: (Lớp Toán Thầy Huy)Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình
2
là
A ; 4 B. 4; 1 C 4;1 D 1;
Câu 45: (Lớp Toán Thầy Huy)Có bao nhiêu giá trị nguyên âm để phương trình 2 2
m mx x có đúng hai nghiệm thưc?
Câu 46: (Lớp Toán Thầy Huy) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
2
3 x 1 m x 1 2 x 1 có hai nghiệm thực?
A 1 1
1 2
3
m
4
m
3
m
Câu 47: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hàm số y f x .Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình f x x2 e m đúng với mọi x 3; 1 khi và chỉ khi
A m f 3 e 9. B m f 3 e 9.
C.m f 1 e 1. D m f 1 e 1.
Câu 48: (Lớp Toán Thầy Huy) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình
m x x x có đúng hai nghiệm thực phân biệt là nửa khoảng
a b; .Tính 5
7
b a
A 6 5 2
7
35
35
7
Câu 49: (Lớp Toán Thầy Huy) Cho bất phương trình 2
m x x x x Hỏi có bao nhiêu số nguyên m không nhỏ hơn 2018 để bất phương trình đã cho có nghiệm
x
A 2018.B.2019.C.2017.D.2020
Câu 50: (Lớp Toán Thầy Huy)Người ta muốn xây một bồn chứa hình hộp chữ nhật không nắp có thể
tích 10m Chiều dài mặt đáy gấp đôi chiều rộng.Để xây dựng mặt đáy cần 10 triệu đồng cho 3 2
1m ,để xây dựng mặt xung quanh cần 6 triệu đồng cho 1m2.Giá trị xây dựng bồn chứa nhỏ nhất gần với kết quả nào dưới đây?
Câu 51: (Lớp Toán Thầy Huy)Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300 km Vận tốc
nước là 4 km/h.Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao
Trang 99 | P a g e
của các trong t giờ được cho bởi công thức E v cv t3, trong đó c là hằng số cho trước E
tính bằng jun.Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất là
Câu 52: (Lớp Toán Thầy Huy)Trong tất cả các hình thanh cân có cạnh bên bằng 2 và cạnh đáy nhỏ
bằng 4,tính chu vi P của hình thang có diện tích lớn nhất
A.P 1 0 2 3 B P 5 3 C P 12 D P 8
Câu 53: (Lớp Toán Thầy Huy)Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau.Mỗi ngày,nếu bán
rau với giá 30 000 đồng/kg thì hết sạch rau,nếu giá bán cứ tăng thêm 1 nghìn đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm 20 kg.Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá
2 000 đồng/kg.Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?
A.32 420 000 đồng B 32 400 000 đồng
C 34 400 000 đồng D 34 240 000
Câu 54: (Lớp Toán Thầy Huy)Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Dựng hình chữ nhật MNPQ
có đỉnh M N nằm trên cạnh BC ,hai đỉnh , P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất là
N M
P A
Q
A
2
4
a
2 3 2
a
2 3 4
a
2 3 8
a
Câu 55: (Lớp Toán Thầy Huy)Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm.Để bán được số tivi
đó,cửa hàng đặt hàng từ Nhà máy sản xuất thành nhiều lần trong năm,số tivi đặt cho nhà máy là như nhau cho các lần đặt hàng.Mỗi lần lấy hàng từ nhà máy về cửa hàng chỉ để trưng bày được một nửa,một nửa số hàng còn lại phải lưu kho.Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái.Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 2 0 $ cộng thêm 9 $ mỗi cái.Cửa hàng đặt bao nhiêu lần trong một năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí mà cửa hàng phải trả là nhỏ nhất?
A.Đặt hàng 25 lần,mỗi lần 100 cái tivi
B Đặt hàng 125 lần,mỗi lần 20 cái tivi
C Đặt hàng 50 lần,mỗi lần 50 cái tivi
D Đặt hàng 10 lần,mỗi lần 250 cái tivi
Câu 56: (Lớp Toán Thầy Huy)Một miếng bìa hình tam giác đều ABC,cạnh bằng 16.Học sinh Minh
cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong buổi ngoại
khóa Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn.Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn.Sau khi tham khảo thị trường,người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100
Trang 1010 | P a g e
chiếc.Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000 đồng.Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất
A 43.000 đồng B.39.000 đồng C 42.000 đồng D 40.000 đồng
Câu 57: (Lớp Toán Thầy Huy)Một ông nông dân có 2400 m hàng rào và muốn rào lại cánh đồng hình
chữ nhật tiếp giáp với một con sông.Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông.Hỏi ông có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
A 630000 m2 B.720000 m2 C 360000 m2 D 702000 m2
Câu 58: (Lớp Toán Thầy Huy)Một công ty cần xây dựng một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ
nhật bằng vật liệu gạch và xi măng có thể tích 2000m ,đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng 3
hai lần chiều rộng.Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất,biết giá xây dựng là 500.000 đ/m2.Khi đó chi phí thấp nhất gần với số nào dưới đây?
A 495969987 B 495279087 C 495288088 D.495289087
Câu 59: (Lớp Toán Thầy Huy)Một xưởng in có 8 máy in,mỗi máy in được 3600 bản in trong một
giờ.Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng.Chi phí cho n máy chạy
trong một giờ là 10 6 n 10 nghìn đồng.Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?
Câu 60: (Lớp Toán Thầy Huy)Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300km.Vận
tốc của dòng nước là 6km h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là / v km h / thì năng
lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E v cv t3 .Trong đó c là một hằng
số, E được tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là
ít nhất
A 6km h / B.9km h / C 12km h / D 15km h /
Câu 61: (Lớp Toán Thầy Huy)Một bác nông dân cần xây một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ
nhật có thể tích 3200 cm3,tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2.Xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây dựng tiết kiệm nguyên liệu nhất?
A 120 cm2 B 1200 cm2 C.160 cm2 D 1600 cm2
Câu 62: (Lớp Toán Thầy Huy)Từ tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 40 cm và 60 cm người ta cắt
bỏ bốn hình vuông ở bốn góc để gập lại được một cái hộp không nắp
Để thể tích hộp đó lớn nhất thì cạnh của hình vuông cắt bỏ có giá trị gần với
A 7,85cm B 15cm C 3, 92 cm D 18cm
Câu 63: (Lớp Toán Thầy Huy)Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa,mặt cắt là hình thang cân
có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm,thành máng nghiêng với mặt đất một góc