Bài toán cân bằng của vật rắn là một trong những bài toán lớn cơ bản của chương trình cơ học. Có nhiều phương pháp để giải bài toán dạng này. Trong một số trường hợp, chọn phương pháp hình học sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán ngắn gọn, thuận tiện hơn. Bài này nhằm đề cập một trong các phương pháp giải quyết bài toán cân bằng vật rắn – phương pháp hình học.
Trang 1BÀI THAM LUẬN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN
Gv: Nguyễn Văn Phường Trường THPT Phan Bội Châu
A MỞ ĐẦU: Bài toán cân bằng của vật rắn là một trong những bài toán lớn cơ bản của
chương trình cơ học Có nhiều phương pháp để giải bài toán dạng này Trong một số trường hợp, chọn phương pháp hình học sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán ngắn gọn, thuận tiện hơn Bài này nhằm đề cập một trong các phương pháp giải quyết bài toán cân bằng vật rắn – phương pháp hình học
I CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Một vật chịu tác dụng của các lực ở trạng thái cân bằng khi
ms
Hợp lực R FmsN gọi là phản lực liên kết tựa Từ hình vẽ và biểu thức hợp lực:
ms
F
N
Thay (2) vào (1) ta có: tan k (3)
Từ (3) và (4) ta có: tan tan (5)
Tại M vẽ góc zMz'=2 ˆ với arctgk gọi là góc nón ma sát
N
R
F
Fms
Trang 2Khi đó (5) có thể phát biểu: Vật ở trạng thái cân bằng khi phản lực toàn phần của liên kết tựa có ma sát trượt nằm trong nón ma sát
II PHƯƠNG PHÁP
1 Vẽ nón ma sát : k tan ( k: là hệ số ma sát)
2 Vẽ hợp lực các lực hoạt động ( các lực tác dụng lên vật trừ Fms và N): ĐKCB là:
0
R Q QR Q R
Trường hợp 1 nón ma sát:
Tìm ĐK để Q nằm trong nón ma sát
Trường hợp hai nón ma sát:
Xác định phần giao của hai nón ma sát
Tìm ĐK để hợp lực Q nằm trong phần giao của hai nón ma sát
III MỘT SỐ VÍ DỤ
1 Ví dụ 1 Vật B có trọng lượng P nằm trong một mặt không nhẳn có dạng ¼ cung tròn, Vật được giữ cân bằng nhờ lực kéo T đặt vào dây BAD Cho hệ số ma sát trượt k=tan Tìm sức căng dây T
Bài giải:
x
C
O
B
A T
T2
T1
Q2
P
T2
T1
Y
Trang 3Phương pháp nón ma sát
Vẽ góc nón ma sát tại B:
ˆ
xBy: k=tan: xBOˆ yBO ˆ
Lực hoạt động tác dụng lên vật: P T ;
Q P T
Vật cân bằng khi Q nằm trong nón ma
sát xByˆ nên hai vị trí gới hạn của Q là
1 , 2
Q Q ( thuộc hai mép nón ma sát hình
vẽ); Tương ứng hai giá trị giới hạn của
T là T T 1 , 2 vì vậy điều kiện để vật cân
bằng là:
1 2
+ Tính T1: Q1 P T 1 (*)
:
OAB
2
ABO AOB
(2)
1 ˆ 1
1 1
PQ B Q BA
sinPQ B sinQ BA sinABx
1
ˆ
sinPQ B sin( )
1 1
1 1
(*) :
ˆ sin sin
T P
BQ P
Từ (3), (4), (2) =>
1
.sin( )
2
4
P
Phương pháp giải tích:
Các lực tác dụng lên vật: P T N F , , , ms Khi vật ở trạng thái cân bằng giới hạn
P T N F ms 0 (1) Xét hai trường hợp:
Vật có xu hướng trượt xuống: Chiếu (1) lên hai phương Ox và Oy
Ox: P.sin KN T sin 0 (1) Oy: P.cos N T cos 0 (2) Thực hiện phép biến đổi :
.cos cos 0
P(sin kcos ) T(sin kcos ) 0
(sin cos )
(sin cos )
k
k
Trang 4+ Tính T2: Q2 P T 2 (**)
:
KOB
2 ˆ 2 ( )
Q BT (6)
2
2 2
2 2 2 2
BT (**) : ˆ ˆ
sinQ sinBQ
T P
Q
Từ (6) và (2) ta có:
2
4
T P
2
.sin( ) 2 sin
4
P
(7)
Thay (7), (5) vào (1) ta có:
T
Với k=tan thì:
sin cos sin cos sin( )
sin cos sin cos sin( )
Vậy: 1
sin( ) 2
4
Vật có xu hướng hướng lên:
Giải tương tự ta có:
2
.sin( ) 2 sin
4
P
NX: Phương pháp nón ma sát trong trường hợp này chỉ mất thời gian tìm góc , trong khi phương pháp giải tích thực hiện phép biến đổi nhiều hơn tính toán
nhiều hơn.
Ví dụ 2:
Một bức tranh cao BC=d được treo vào tường thẳng đứng nờ
dây AC =l, hợp với tường 1 góc Mép dưới B tựa vào tường
Xác định hệ số ma sát giữa bức tranh và tường để bức tranh cân
bằng
Bài giải:
B
C A
Trang 5Vẽ góc nón ma sát tại B:
ˆ :
với xBOˆ yBO ˆ
Lực hoạt động tác dụng lên vật: Q P T
Vật cân bằng khi Q nằm trong nón ma sát
ˆ
xBy
Hay: tan tan (2)
Xét: BKI ta có:
tan KI HB
HI= .sin
2
BH=HJ+JB=AH+JB
Phương pháp giải tích:
Điều kiện cân bằng của bức tranh
P T F msN 0 (1)
Mô men quán tính đối với điểm B:
M P( ) M T( ) (2) Chiếu (1) lên hai trục Ox và Oy ta có:
sincos 0 0
ms
N T
Phương trình moomen (2):
.sin
2
CJ
sin ( )sin 2
l
Với: .cos2 2 2
AJ l
2 2 2
sin (l.cos sin )sin 2
l
Từ (3) và (4) suy ra:
2 2 2
sin 2( cos sin )
Pl N
(5)
Từ (3) và (5) ta có:
F ms P Tcos P Ncotan (6) Lực ma sát nghỉ nên:
F ms k N. (7)
Từ (5), (6), (7) ta có:
.cos 2 2 2.sin2
sin
k
l
H
K
x
O B
A
I
R
Q P T
y
Trang 62 2 2 2
.cos
2
( sin )
l
AH
BH= .cos 2 2 2sin2
2
Vậy: tan .cos 2 2 2.sin2
sin
l
Để vật cân bằng từ (1), (2), (3) ta có:
2 2 2
.cos 2 sin
sin
k
l
Ví dụ 3:
Thanh đồng chất AB=2l, Trọng lượng P hai đầu tựa trên nền và tường không nhẳn hệ
số ma sát k xác định góc nghiên để thang cân bằng?
Bài giải:
Chọn hệ Oxy như hình vẽ
Vẽ hai nón ma sát xAy, zBt ; phần giao của hai nón ma sát IJMK: k=tan(*)
Lực hoạt động tác dụng lên thanh AB là P
Điều kiện AB cân bằng thì giá của P phải qua tứ giác IJMK, Nghĩa là: x G x K (1)
Ta có: AK Bz
Tam giác vuông BOA:
A 0
B
Trang 7sin sin
G
(2)
Tam giác vuông BKA
.cos AB.sin( ).cos
K
.sin( ).cos
k
Thay (3), (2), vào (1) ta có:
sin 2sin( ).cos (4)
90 ,cos 0)
=>tan 2cos sin cos cos sin
cos
2
tan 2 tan cos 2cos sin
2
tan (1 2cos ) 2cos sin
sin 2
cos 2
2
Vậy điều kiện để AB cân bằng là: 2 ; k tan
B KẾT LUẬN:
Phương pháp nón ma sát hay phương pháp hình họccó tác dụng giải nhanh và đơn giản một số loại bài tập về cân bằng của vật rắn khi có ma sát Tuy nhiên phương pháp này củng có một số hạn chế như làm lu mờ đi bản chất vật lí của bài toán cân bằng vật rắn, vì vậy khi hướng dẫn học sinh ta cần dùng nhiều phương pháp khác nhau để bổ trợ lẩn nhau.
Cư jut ngày 18/10/2014 GV: nguyễn Văn Phường
M
Y
J I
K
G
0
B
A