Chuyên đề HSG: Một số dạng bài toán trong cơ học vật rắn nâng cao

Hệ thống hóa các kiến thức chuyên sâu phần cơ học vật rắn. Trình bày các phương pháp đặc trưng giải quyết các bài toán cơ học trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán cơ học thông qua hệ thống bài tập ví dụ và bài tập tự giải.

MỤC LỤC

2.2 Cơ sở lý thuyết về chuyển động vật rắn Trang 42.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện Trang 16

1 PHẦN MỞ ĐẦU.

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

-Chúng ta biết rằng nội dung và kiến thức sách giáo khoa trongchương trình phổ thông không đáp ứng đủ kiến thức dành cho việc ôn thi họcsinh giỏi cấp Tỉnh, vì thế muốn dạy ôn học sinh giỏi giáo viên cần tham khảothêm tài liệu nâng cao rồi tìm ra phương án phù hợp nhất để dạy cho học sinh

- Nghiên cứu phần cơ học, tôi nhận thấy có nhiều phương pháp giảikhác nhau, nhiều kiến thức cần áp dụng trong khi giải quyết bài toán cơ học

- Để góp phần giúp học sinh tiếp cận và hướng dẫn các em tự nghiêncứu sâu thêm phần cơ học trong chương trình chuyên, tôi đã tiến hành nghiên

cứu đề tài:" Một số dạng bài toán trong cơ học vật rắn" Hi vọng đề tài

này sẽ làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của giáoviên, và việc tự học của học sinh, góp phần nhằm nâng cao chất lượng họcsinh giỏi môn Vật Lí hiện nay

1 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Hệ thống hóa các kiến thức chuyên sâu phần cơ học vật rắn

Trình bày các phương pháp đặc trưng giải quyết các bài toán cơ họctrong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi

Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán cơ học thông qua hệ thốngbài tập ví dụ và bài tập tự giải

1 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Học sinh giỏi bộ môn cấp trường, các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏimôn Vật Lí của trường và đồng nghiệp

-Nghiên cứu các tài liệu chuyên môn, sách giáo khoa, sách bài tập, sách

bồi dưỡng học sinh giỏi, sách vật lí đại cương và các nguồn tài liệu khác trêninternet

1 4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

1 Phương pháp quan sát: Người thực hiện đề tài tự tìm tòi, nghiên cứu,tổng hợp kiến thức từ các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, các đề thi học sinh

giỏi cấp tỉnh, học sinh giỏi cấp quốc gia, kinh nghiệm giảng dạy của bản thân

và các đồng nghiệp

2 Phương pháp trao đổi, thảo luận: Từ kết quả nghiên cứu, người thựchiện đề tài tiến hành trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm đểhoàn thiện đề tài

3 Phương pháp thực nghiệm: Giáo viên tiến hành dạy theo phươngpháp đã nghiên cứu trong đề tài

4 Phương pháp điều tra: Giáo viên ra các bài tập áp dụng để kiểm trađánh giá kết quả và kiểm tra sự tiếp thu của học sinh, đồng thời giáo viên racác bài tập tự giải để học sinh giải, sau mỗi chuyên đề giáo viên cho học sinhmột bài kiểm tra Kết quả bài kiểm tra cũng đã thể hiện sự tiếp thu kiến thứchọc sinh

Mỗi đề thi học sinh giỏi đều có 2 câu cơ học, mỗi vòng một câu chính

vì thế số câu cơ học chiếm 25% tổng điểm

Mỗi câu cơ học tích hợp rất nhiều kiến thức khác nhau, chẳng hạnnhư : chứng minh vật dao động điều hòa, tìm mô men quán tính, tìm vận tốc,thời gian quãng đường, dùng các định luật bảo toàn để giải

Một số sách tham khảo chỉ đưa ra các định lí, định luật chưa chi tiết vàchưa đưa ra những phương pháp để vận dụng trong một bài toán có thể vậndụng nhiều định luật hay định lí

Chính vì lí do đó người thực hiện đề tài cần hệ thống lại các kiến thức

có liên quan với nhau để giải các bài toán cơ học Đồng thời đưa ra một sốphương pháp và một số dạng bài tập để học sinh vận dụng

2 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN ĐỘNG VẬT RẮN.

A - KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CỦA VẬT RẮN VỀ MẶTĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC

1- Chuyển động phẳng :

- Chuyển động phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mọi điểmcủa vật chuyển động song song với một mặt phẳng cố định cho trước Hay nóicách khác, chuyển động phẳng có thể xem là chuyển động tổng quát của haichuyển động thành phần: chuyển động tịnh tiến và quay hoặc vừa quay vừatịnh tiến

2- Khảo sát chuyển động phẳng về mặt động lực học

Công thức phân bố vận tốc của các điểm trong vật rắn

AB v

vB A   (2.1)

- Vậy vận tốc của bất kì một điểm bất

kì trên vật bằng tổng vec tơ vận tốc

của một điểm khác nào đó trên vật mà

4-Chuyển động lăn không trượt

* Định nghĩa chuyển động lăn không trượt

Một vật rắn hình cầu hoặc hình trụ lăn không trượt trên bề mặt S củamột vật rắn khác, nếu tại mọi thời điểm vận tốc của điểm K của vật rắn tiếpxúc với S bằng không ( vk = 0 ) ( xét hệ qui chiếu gắn với S )

* Điều kiện lăn không trượt

v

v K  G    0  G  

Ay

x

B

O

Hình vẽ 1: Sự phân bố vận tốc

- Vậy trong chuyển động lăn không trượt, đường đi được của khối tâm bằngđường đi được bao quanh khối tâm của caác điểm tiếp xúc của vật với mặtđường.

* Điều kiện lăn có trượt v K 0  v G  R

5- Mô men quán tính của một số trường hợp :

+ Chất điểm chuyển động tròn, vành tròn hình trụ rỗng, mỏng, có trục quayđối xứng I = mr2

+ Đĩa tròn hay hình trụ đặc, có trục quay đối xứng : I = 2 1 mr2

+ Quả cầu đặc, có trục quay đi qua tâm : I = 5 2 mr2

+ Thanh mảnh, có trục quay là đường trung trực của thanh : I = 12 1 mr2

+ Thanh mảnh , trục đi qua đầu thanh và vuông góc : I= 3 1 ml 2

+ Mô men quán tính của vật rắn đối với trục  bất kì ( định lí về trục songsong), còn gọi là định lí Stenow- Huyghen ( Hình vẽ 2)

2

md I

I K  G 

d là khoảng cách giữa hai trục đi qua K và G

K là tâm quay tức thời

+ Định lí về trục vuông góc ( Hình vẽ 3)

Y X

m m

m m

r m r

m r m

2 2 1 1

rG là vectơ vị trí khối tâm

Hay suy ra tọa độ của khối tâm trên ox, oy là

i i G

i i G

y m m y

x m m x







 1

- Từ hình vẽ 4 ta có :

iG G

i r r

r   (***)7- Dao động con lắc vật lí

- Mô men lực P làm vật quay trở về vị trí cân bằng

- Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay vật rắn ta có :

t O O O

t O I

 sin

-Khi  rất bé thì sin   

t O I

*Lập phương trình dao động bằng phương pháp năng lượng

- Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng Thế năng của vật ở vị trí li độ góc 

là W t mgd1  cos 

- Động năng của vật ở vị trí li độ góc là :

 2 2

2

1 2

B - CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

1- CƠ NĂNG VÀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG

G

Z1

m1

b-Động năng của vật rắn chuyển động phẳng tổng quát

- Động năng của vật rắn bằng tổng động năng của các chất điểm tạo nên vật

1

iG G i i

1

iG i G

i i G i G

2

1 2

1



G G

d  mv  I

 (2 )

-Động năng của vật rắn bao gồm động năng của chuyển động tịnh tiến vơí

vận tốc của khối tâm và động năng của chuyển động quay quanh khối tâm

- Nếu xem chuyển động của vật là chuyển động quay thuần túy quanh tâm

quay tức thời K thì động năng của vật là

- Độ biến thiên động năng của một vật rắn bằng công của các ngoại lực tác

dụng lên vật





E đ A ngl (3 )d- Cơ năng Định luật bảo toàn cơ năng

2

1 2

1



G G

- Không có ma sát và lực cản của môi trường.

- Nếu có ma sát thì phải là ma sát nghỉ

Khi ấy cơ năng của vật được bảo toàn Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang độngnăng và ngược lại

  đ  t const (6) Hay d   t

2- ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG

p  (7)

iG i G

iG G

i v v m v m v m

p  (9)

- Động lượng của vật rắn chuyển động phẳng bằng động lượng chuyển độngtịnh tiến của nó với khối tâm

b- Định lý biến thiên động lượng

- Từ công thức pm vG, ta suy ra :

ngl G

t

v m t

p ngl 

   . (11)

- Độ biến thiên động lượng của vật rắn bằng tổng xung lượng của các ngoạilực tác dụng lên vật

c- Định luật bảo toàn động lượng

- Từ công thức (11) ta suy ra, nếu không có ngoại lực tác dụng vào vật rắnhoặc khi tổng các ngoại lực vào vật rắn bằng không thì động lượng của vậtrắn được bảo toàn

const v

LO   (13)Trong đó r  OM , Với M là vị trí của chất điểm ( Hình vẽ 7)

- Về độ lớn ta có : LO r m v r.m v sin r,m v

 L O dmv

Trong đó d là khoảng cách từ điểm O đến giá của vec tơ động lượng pm v

- Mô men động lượng của một vật rắn đối với một trục quay cố định  nhưđã biết L I (14)

b- Định lý KơNic

-Xét một vật chuyển động phẳng trong mặt phẳng Oxy ( Hình vẽ 8)

- Theo định nghĩa mô men động lượng đối với trục Oz và đối với trục Glần lượt là

iG i iG

L    (15)

i i i

L   (16)

dO

c- Định lí biến thiên mô men động lượng

- Lấy đạo hàm biểu thức (13) theo thời gian, ta được

dt

v dm r v

m dt

r d v

m r dt

d dt

dt

L d

- Độ biến thiên mô men động lượng của một vật rắn hay của hệ chất điểmbằng tổng các mô men xung lượng của các ngoại lực.

d- Định luật bảo toàn môn men động lượng

Từ công thức (21) ta suy ra, nếu Mngl t = 0 thì L  const

- Nếu không có ngoại lực tác dụng vào vật hoặc nếu tổng mô men xung lượngcủa các ngoại lực bằng không thì mô men động lượng của vật rắn được bảotoàn

C - SỰ VA CHAM GIỮA CÁC VẬT RẮN

1 - CƠ CHẾ CỦA SỰ VA CHẠM

- Khi hai vật va chạm nhau thì chúng biến dạng nhẹ, bị dẹt đi và lúc đóchúng có cùng vận tốc Sau đó chúng lấy lại hình dạng ban đầu với mức độnhiều ít khác nhau và xảy ra sự nhảy lùi ra xa nhau Như vậy sự va chạm baogồm 2 pha, pha nén và pha dãn

- Thời gian va chạm tuy khồn bằng không nhưng rất nhỏ so với toàn bộthời gian dùng để phân tích hiện tượng Do đó có thể coi sự va chạm xảy ratại một chỗ trong không gian Ngoài ra sự biến thiên vận tốc của hai vật thìlớn vì chúng tác dụng vào nhau những lực lớn

2- CÁC ĐỊNH LÍ BIẾN THIÊN ÁP DỤNG CHO SỰ VA CHẠMCỦA HAI VẬT RẮN

b- Sự va chạm đàn hồi và không đàn hồi

Trong tất cả các trường hợp khác , sự va chạm là không đàn hồi Phần động

năng mất đi cho phép thay đổi tính chất của hai vật bằng cách làm cho chúngbiến dạng, làm vỡ chúng thành các mảnh hay làm tăng nhiệt độ của chúng

Hệ số phục hồi năng lượng

- Va chạm không đàn hồi đặc trung bởi một tỉ số :

đ

 là động năng của vật trước và sau va chạm

 = 1 : va chạm đàn hồi

 = 0 : va chạm hoàn toàn không đàn hồi

Hệ số phục hồi thành phần pháp tuyến của vận tôc tương đối

e=

n

n n

n u

u v

v

v v

/ 2

/ 1

) (

) (

- Người ta thả rơi một quả cầu từ độ cao h xuống một tấm nằm ngang được

giữ yên và đo chiều cao h/ nảy lên :

h

h v

2 1

/ 1

v

v e

4 MỘT SỐ KIỂU VA CHẠM

a -Va chạm trực diện ( Hình vẽ 9)

- Sự va chạm được gọi là trực diện nếu như :

+ Sự tiếp xúc xảy ra trên đường thẳng nối hai khối tâm G1 và G2

+ Pháp tuyến chung ở chỗ tiếp xúc là đường thẳng nối G1 và G2

+ Lúc va chạm hai vật chuyển động tịnh tiến song song với hai đường thẳngnày

1

b Va chạm thẳng nhưng không xuyên tâm ( hình vẽ 10)

- Trong trường hợp này hai vật chuyển động tịnh tiến song song với đường vachạm nhưng đường này không đi qua hai khối tâm

2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

2.3.1 Giải pháp thực hiện

Qua những năm ôn thi đội tuyển HSG của trường dự thi các kì thi khácnhau, kinh nghiệm của cá nhân cho thấy, để học sinh có những kĩ năng cầnthiết để giải bài toán về chuyển động của vật rắn thì tôi thường thực hiện nhưsau:

Đầu tiên, hướng dẫn học sinh hiểu thật sâu kiến thức trong sách giáokhoa nâng cao lớp 10 và 12 về phần chuyển động cơ học vật rắn, kết hợp với

cơ học chất điểm, phần tĩnh học vật rắn Yêu cầu học sinh giải và hiểu đượctất cả các dạng bài tập chuyển động của vật rắn trong sách giáo khoa, học sinhphải chứng minh được tất cả các công thức về các đại lượng liên quan đếnchuyển động của vật rắn, vận dụng các định luật bảo toàn

Sau khi học sinh đã hiểu sâu về những kiến thức cơ bản, tôi giải các bàitập mẫu (đã đề cập ở phần sau ) với nhiều dạng bài tập khác nhau, đa dạng vềcác hướng tiếp cận, kết hợp các phương pháp giải khác nhau, dần dần giúphọc sinh tiếp cận được các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Sau cùng, tôi cung cấp cho học sinh một hệ thống bài tập có đáp số đểhọc sinh tự rèn luyện ở nhà, trong quá trình học sinh tự luyện thì giữa họcsinh và giáo viên có sự trao đổi thường xuyên với nhau để giải đáp nhữngthắc mắc kịp thời

1) Xác định gia tốc hình trụ Chứng tỏ rằng có trượt hay không là tuỳ theo giảthiết của  so với giả thiết  0 nào đó cần xác định.

2) Tìm sự biến thiên động năng giữa các thời điểm t, 0 Xét hai trường hợp

Tức là   0 với tg 0 = 3f thì trụ lăn không trượt

Trường hợp  > 0 Fms là ma sát trượt Ta có: Fms = fmgcos

2) Sự biến thiên động năng

Trường hợp  < 0 ở thời điểm t: v = at = sin 

 Bảo toàn năng lượng E 0

- Trường hợp  >  0 ở thời điểm t:

t a F A

 Với S2 là độ dịch của C, S1 là quãng đường trụ quay

Bài toán 2: Một viên bi có khối lượng m, bán kính R lăn không trượt , trên

mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng  , so với mặt phẳng ngang như hình vẽ

Hệ số ma sát nghĩ là n Hệ số ma sát lăn coi như bằng 0 Hỏi góc nghiêng

 lớn nhất bằng bao nhiêu để viên bi lăn không trượt?

R

a mR

2

5 5

- Thay (5) vào (1) ta suy ra

 sin 2

7

mg

F ms 

N mg

7 2

Bài toán 3 : Một quả cầu lăn không trượt không vân tốc đầu tư đỉnh của một

mặt phẳng nghiêng  so với

phương ngang và có chiều dài l

Xác định vận tốc của tâm quả

cầu tại chân mặt phẳng nghiêng

b) Bằng phương pháp năng lượng

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng :

max max

2

1

G đ

2

5

2 2

1

v mR

-Định hướng về mặt phương pháp giải:

+ Với bài toán va chạm dùng định luật bảo toàn động lượng và động năng.

+ Mô men quán tính.

+ Định luật bảo toàn cơ năng trong chuyển động quay

+ Mô men động lượng của một điểm qua trục quay bất kì.

Bài toán 1 : Một thanh đồng chất OA ,dài l ,khối lượng M, quay không ma

sát xung quanh đầu O cố định của nó Lúc đầu thanh được giữ nằm ngang , sau được thả rơi không vận tốc

đầu Khi thanh rơi vị trí thẳng đứng ,

đầu A của nó đập vuông góc vào vật

B có kích thước nhỏ và có khối lượng

m ,đặt trên một giá đỡ (Hình vẽ )

Hãy xác định vận tốc của hai vật sau

1

3

1 2

1 2

O

AB

VB=2l (3)

- Giải phương trình 1,2,3 ta được :

l

g m M

2

2 1

2

1 2

1 2

1

B O



 

 (4)Giải hệ phương trình 1,2, 4 ta được :

gl m M

+ Nếu M > 3m thì  2>0 thanh tiếp tục đi sang trái

+ Nếu M = 3m , thanh đứng yên

Nếu M < 3m thì  2< 0 thanh , thanh bật trở lại

Bài toán 2 : Một quả bóng rổ có khối lượng m, bán kính R và mô men quán

tính IG đối với khối tâm Bóng được làm quay với vận tốc góc Oxungquanh một trục nằm ngang đi qua khối tâm Khối tâm lúc đầu đứng yên ở độcao h so vói sàn nhà Thả cho bóng vừa rơi vùa quay và sau đó va chạm vớisàn Bỏ qua sức cản không khí ( Hình vẽ )

a- Gọi đ1là động năng của bóng ngay trước khi nó va chạm với sàn Hãyviết động năng trước va chạm theo các dữ kiện đã cho

b- Ngay sau khi lần nhảy lên đầu tiên , bóng không quay nữa và độngnăng của nó bằng E đ1trong đó  1, là một hệ số đã biết Hỏi thành phầnnăng ngang và thành phần thẳng đứng của vận tốc ngay sau khi va chạm lầnnảy lên đầu tiên ?

iải

- Khi bóng rơi động năng quay của bóng không đổi, động năng tịnh tiến tăng

vì thế năng giảm Động năng của quả bong sắp chạm đất

) ( 2

1 2

1 2

0

2 0

2 0

-Khi va với sàn, bóng chịu phản lực vuông góc N và phản lực tiếp tuyến Fms

- Vì mô men lực đối với A bằng không , nên áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng đối với điểm A

A

A L

L/ 

G G

A L GA m v

vì GA m vG  0 nên /  0

G G

) ( 2

mR

I m

I R h g

Bài toán 3: Từ mức cao nhất của một mặt phẳng nghiêng, một hình trụ

đặc và một quả cầu đặc có cùng khối lượng và bán kính, đồng thời bắt đầu lănkhông trượt xuống dưới Tìm tỷ số các vận tốc của hai vật tại một một mứcngang nào đó

Vai trò của lực ma sát ở đây là đảm bảo cho vật lăn thuần tuỳ không trượt vàđảm bảo cho độ giảm thế năng hoàn toàn chuyển thành độ tăng động năngtịnh tiến và chuyển động năng quay của vật

Vì các lực tác dụng lên hình trụ đặc và quả cầu đều là : p( lực thế ), ( theophương pháp tuyến) và lực ma sát tĩnh Fms Ta có  và Fms không sinh công  Acác lực không thế = 0  cơ năng của hệ được bảo toàn

Như vậy ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho chuyển động củaquả cầu và hình trụ:

A

B