Phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán

Bài viết trình bày nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm phân rã cho phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán bằng cách sử dụng phương pháp điểm bất động.

PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TRUNG TÍNH

KIỂU SÓNG KHUẾCH TÁN

NEUTRAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS

OF DIFFUSION-WAVE TYPE

Nguyễn Thị Diệp Huyền, Dương Thị Hương, Phạm Thị Hường

Email: diephuyendhsaodo@gmail.com

Trường Đại học Sao Đỏ

Ngày nhận bài: 7/3/2018 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/3/2018

Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2018

Tóm tắt

Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm phân rã cho phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán bằng cách sử dụng phương pháp điểm bất động

Từ khóa: Phương trình vi - tích phân; nghiệm tích phân; điểm bất động.

Abstract

In this paper, we study the existence optical-beam-deflection neutral integro-differential equations of diffusion-wave type by using a fixed point approach

Keywords: Integro-differential equations; integral solution; fixed point.

1 GIỚI THIỆU

Ta xét bài toán sau trong một không gian Banach X:

-2

0

( - )

-1)

t

t

dt

f t u t u t

α

α

=

Γ

(2) trong đó: , A là một toán tử

đóng, tuyến tính và không bị chặn, f g, và h là

các hàm vectơ Với α ∈(1,2) và u t là kí hiệu hàm

trễ theo thời gian t, tức là,

Chúng tôi muốn chỉ ra sự tồn tại của nghiệm phân

rã (hay nghiệm ổn định) với (1) - (2) với một tỉ lệ

phân rã xác định của bài toán này

Để tìm các nghiệm phân rã của (1) - (2), chúng tôi

sử dụng phương pháp điểm bất động được khởi

xướng bởi Burton và Furumochi chocác phương

trình vi phân hàm thường gặp (xem [1, 2]) Chúng

tôi sẽ xây dựng một không gian phù hợp gồm các

hàm triệt tiêutại vô cùng với tỉ lệ phân rã xác định,

trong đó toán tử nghiệm của bài toán có một điểm

bất động

2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Cho L X( ) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X Ta nhắc lại một vài chú ý và kết quả đối với toán tử giải thức bậc phân số sẽ sử dụng cho phần tiếp theo

Định nghĩa 1 Cho A là toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D A( ) trong không gian Banach

X Ta nói A sinh ra giải thức αnếu tồn tại ω ∈ 

và hàm liên tục mạnhSα:+→L X( )thỏa mãn

{λα: Reλ ω> }⊂ρ( )A (tập giải của A ), và

1

α

λ − λ − − =∫∞ − Reλ ω> , x X∈

Ta biết rằng, trong trường hợp α =1, Sα( ) =S1( )

là C −0 nửa nhóm, nếu α =2ta có họ cosin S2( ) Nếu A sinh ra giải thức β với β α> thì nó cũng sinh ra giải thức α Trường hợp riêng, nếu A sinh

ra họ cosin, khi đó tồn tại giải thức α sinh bởiA với α∈( )1,2

Đặc biệt, cho A là toán tử đóng và trù mật Giả sử

A là toán tử quạt kiểu (ω θ, ), tức là, tồn tại ω∈ ,

0, , 2

π

θ  ∈  M >0sao cho ρ( )A ⊂  \∑ω θ,

và ( ) 1 ( ) ,

L X

M

I A

λ

λ ω

−

− λ ∉∑ω θ, , trong đó:

( )

ω θ = ω λ λ+ ∈ −λ <

Trong trường hợp 0≤ ≤θ π(1−α/ 2 ,) Sα( ) tồn tại

và được cho bởi công thức:

i

π

−

−

ở đây γ là đường phù hợp nằm ngoài ∑ω θ, Hơn

nữa ta có khẳng định sau đây về Sα( ).:

Định lý 1 [3] Cho A X: →X là toán tử quạt kiểu

(ω θ, )với 0≤ ≤θ π(1−α/ 2 ) Khi đó tồn tại C >0

độc lập với t thỏa mãn

( ) ( ) ( ) 1/

1

t

L X

t

α

α

α

ω ω



≤ 

<

 +



với t ≥0

Ta sẽ tìm khái niệm phù hợp về nghiệm tích phân

của bài toán (1) - (2) Ký hiệu L là phép biến đổi

Laplace của hàm nhận giá trị trong X xác định

trên + Đặt y t( )=H u t( )( ) và áp dụng biến đổi

Laplace đối với bài toán (1) - (2), ta có:

[ ]( ) ( )0 11 [ ]( ) [ ]( )

λ −

Do đó

(λαI A L y− ) ( )( )λ =λα − 1y( )0 +λα − 1L f[ ] ( )λ

Như vậy

( ) [ ]( )

1 1

1 1

0

I A L f

−

−

−

−

với λthỏa mãn Reλ>0,λα∈ρ( )A Cho Sα( ) là

giải thức α sinh bởi A, khi đó

L y λ =L S  α λ y +L S  α λ L f λ (3)

Sử dụng định lý phép tịnh tiến thứ hai và định lý

tích chập của biến đổi Laplace đối với nghịch đảo

của (3), ta được

0

0

y t S t y

S t s f s u s u ds t

α

α

=

Điều này suy ra rằng

( ) ( ), t ( ) ( ) ( )( )0 0 ( ) (0, ( ) )

u t h t u= +S tα ϕ −g u −S t hα ϕ−g u

( ) ( ( ) )

0t S t s f s u s u ds tα , , s , 0

+∫ − ≥ (4)

Cho T >0, ta ký hiệu C T =C( [− t , ;T X] ) là không

gian các hàm liên tục u:[−t,T]→X. Khi đó, C T là

không gian Banach với chuẩn

[ ] ( ) ,

T

t

∈ −

=

Từ (4) ta định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán (1) - (2) như sau:

Định nghĩa 2 Hàm u C∈ Tgọi là nghiệm tích phân của bài toán (1) - (2) trong khoảng [−t,T] nếu và chỉ nếu u t( )=ϕ( ) ( )( )t −g u t với t∈ −[ t,0]và

0

0,

t

t

s

S t s f s u s u ds

α α

α

ϕ ϕ

với mọi t∈[ ]0, T

Cho F C: T →C T, trong đó

( )( )

0

, ,0 ,

0, , , , 0,

t

t

s

α α α

ϕ ϕ







 ∫

Khi đó u là một nghiệm tích phân của bài toán (1) - (2) nếu nó là điểm bất động của toán tử nghiệm F

3 KẾT QUẢ ỔN ĐỊNH NGHIỆM

Đặt Ct =C( [−t,0 ;] X) Để nghiên cứu bài toán (1) – (2) ta xét các giả thiết sau đây:

(A) Toán tử A là toán tử quạt kiểu (ω θ, )sao cho 0

ω < và 0≤ <θ π(1−α/ 2), tức là giải thức α, ( )

Sα sinh bởi A là liên tục theo chuẩn với t >0 (F) Hàm phi tuyến f :+× ×X Ct →X thỏa mãn: (., , )

f v w là đo được với mỗi v X∈ ,w C∈ t, f t( ),.,

là hàm liên tục với t∈+,f t( ,0,0)=0 và tồn tại

( )

k L∈ + sao cho

( )1 (11 2 2 21 2 )

X

f t v w f t v w

t

+

−

với mọi v v1 2, ∈X, w w1, 2∈Ct (G) Hàm không cục bộ g C: T →Ct liên tục, thỏa mãn g( )0 =0 và có số η không âm sao cho ( ) ( )1 2 C 1 2 C T ,

t η

với mọi w w1, 2∈C T , với mọi T >0

(H) Hàm h:+×Ct →X thỏa mãn:

(1) h liên tục; h t( ),0 =0 (2) h t( ), thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là

( ) (, 1 , 2) X ( ) 1 2 C ,

t

với mọi v v1 2, ∈Ct, trong đó l là hàm giá trị thực,

bị chặn trên +

Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm ổn định của bài toán (1) - (2),

ta xét không gian hàm sau

{

, ; :

1 , 0

X

α

= < < ∞

với chuẩn

( ) sup X

t

t

Khi đó, BCα là không gian Banach

Ta có kết quả sau đây:

Định lý 2 Giả sử các giả thiết (A), (F), (G) và (H)

thoả mãn Khi đó bài toán (1) - (2) có duy nhất

nghiệm tích phân u thỏa mãn u t( )X =O t( )− α

khi t → ∞ , với điều kiện

( ) ( ) ( ) 0

0

1

t

α

α

≥

trong đó ( )

0

sup

t

Sα∞ S tα

≥

0

sup

t

≥

=

Chứng minh Ta sẽ chứng tỏ rằng toán tử nghiệm

F ánh xạ BCα vào chính nó và là ánh xạ co Ta

nhắc lại rằng

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )

( ) ( )( )0 [ ]

0,

t

t

s

F u t

S t s f s u s u ds t

α α

α

ϕ ϕ





= 





∫

Cho u BC∈ α sao cho R= u∞ >0.Ta chứng minh

rằng F u( )∈BCα, tức là, t F u tα ( )( )X =O( )1 khi

t → ∞ Do u BC∈ α, tồn tại hằng số K >0 sao cho

X

t u tα ≤K

,0

t

∈ −

(5)

Khi đó với t >0,

C

( )L X( )( C ( )C )

∞

0t ( )L X( ) ( , ( ), s)

X

t

0

t

s C

t

α

( ) ( ) ( )

= + + (6)

ở đây ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

,

1

t C

C

L X t

s C

t

t

t

α α

∞

∞

=

Sử dụng (5) ta được

t

∞

= = khi t → ∞ Liên quan đến E t2( ), sử dụng Định lý 1 ta có

t

α α

α

Với E t3( ),ta có

/2

L X t

s C X

t

α

+

( ) ( )

t E t t E tα α

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3 /2 0

a t

s C

t E t

t S t s k s u s u ds

t

α α α

( ) ( )

/2 0

2

t

RCt k s ds t

α α

ω

≤

( ) 1( ) ( )

RCt k O t

α α

/2

t

t

s C

L X t

t

α α α

∫

∫

/2

/2

t

t t

s C

L X t

t

s t

α α α

α α α

 

 

∫

∫

( )

/2

/ 2

1

t t

t s

t s

α α ω

≤

∫

/2

t

+

Do đó t E tα 3( )=O(1) khi t → ∞ Thay vào (6) ta được

( )( ) 1( ) 2( ) 3( )

t F u tα ≤t E tα +E t +E t 

( )1 ,

O

= khi t → ∞

Điều này chỉ ra rằng F BC( α)⊂BCα

Ta chứng minh F là ánh xạ co Giả sử u v BC, ∈ α,

sử dụng (F), (G) và (H) ta có

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0

t t C

t

α

l t S t( ) ( )L X( ) g u( ) ( )g v C

t

α

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

X

S t sα f s u s u f s v s v ds

l u v Sα ∞η u v l Sα ∞η u v

( ) ( ) ( ) 0

2 t S t sα L X k s ds u v∞

Suy ra

F u F v− ∞ ≤ u v− ∞

trong đó

( ) ( ) ( ) 0

0

1

t

α α

≥



Hoàn thành chứng minh

Sau đây chúng ta xét một ví dụ về mô hình bài

toán đặt ra:

Ví dụ:

Cho Ω là miền bị chặn trong n với biên trơn ∂Ω

Xét bài toán sau đây:

( )( ) ( ( ) )2 ( )( )

0

1

t

x

t s

t

α

α

−

−

( )( , ( ) (, , , ) ), 0, ,

k t f x u t x u t t x t x

+ − > ∈ Ω (7)

( ), 0, 0, ,

u t x = t> x∈ ∂Ω

1

i

=

−∑ + = ∈ − (8)

trong đó

( )( ) ( ), , 0 ( ) ( , ) ,

H u t x u t x a s u t s x ds

t

−

x

∆ là toán tử Laplace (đối với biến x), tức

là 22

1

.

n x

i

i= x

∂

∆ =

∂

∑ Cho X L= 2( )Ω , A = ∆ xvới

( ) 2( ) 1( ).

D A =H Ω ∩H Ω Ta biết rằng A là toán

tử quạt kiểu (λ1,0) với λ <1 0 là giá trị riêng đầu tiên của A, tức là

Hệ phương trình (7) - (8) là dạng tổng quát của (1) - (2) với

(, , )( ) ( )( , ( ) (, , ) ),

f t v w x =k t f x v x w −t x

1

, ,

m

i i i

=

( )( ), 0 ( ) ( ), , ,0;2( )

−

với u C∈ ( [− ∞t, ;] L2( )Ω ),v L∈ 2( )Ω ,

và w C∈ t:=C( [−t,0 ;] L2( )Ω ),

ở đây t i >0,βi∈,i∈{1, , m} Giả sử rằng k L∈ 1( )+ và  :f Ω× × →   sao cho

f x( ,0,0)=0,

f x y z f x y z

−

với mọi x∈ Ω, , , ,y y z z1 2 1 2∈  Cho v v1 2, ∈X w w, ,1 2∈Ct, khi đó ta có

f t v w − f t v w

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

2

2

µ

∞ Ω

Ω

∫

∫

t

µ ∞

Vì vậy

X

t

−

Với hàm không cục bộ g, rõ ràng rằng

( ) ( )

2

2 2

,0 1

C m

t

Ω

∈ − =

−

2 2

1 2 1

,

T

m

i

=

với mỗi T >0, ở đây C T =C( [−t, ;T L] 2( )Ω ).

Do đó,

( ) ( )1 2 1 2

1

, 0.

T

m

C

i

g u g u m u u

T

=

∀ >

∑

Với w w1, 2∈Ct, ta có

2

2 0

X

h t w h t w

a s w s x w s x ds dx

t

−

∫ ∫

2

2

L

t

2

2

t

2

t

t

Do đó

(, 1) ( , 2) X L2( ,0) 1 2 C

t

t

Áp dụng Định lý 2, bài toán (7) - (8) có duy nhất

nghiệm tích phân trong BCα, với điều kiện

0 0

1

t

α

α

η µ

∞

∞ ≥



trong đó l∞= t a L2 (−t,0 ) và

1

.

m i i

m

=

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] T.A Burton (2006) Stability by Fixed Point Theory

for Functional Differential Equations Dover

Publications, New York.

[2] T.A Burton, T Furumochi (2001) Fixed points and

problems in stability theory for ordinary and functional differential equations Dyn Sys Appl 10 89-116.

[3] E Cuesta (2007) Asymptotic behaviour of the

solutions of fractional integro-differential equations and some time discretizations Discrete Contin

Dyn Syst (Supplement) 277-285.