Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 4 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 4: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc đẳng thức - Phương pháp cổ điển cung cấp cho người học các kiến thức: Phát biểu bài toán tổng quát, phương pháp thế trực tiếp, vi phân bậc r của hàm f,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Khoa Công nghệ Cơ khí

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc đẳng thức

Tìm cực tiểu (Minimum) của hàm nhiều biến sau:

Với các điều kiện ràng buộc đẳng thức:   0

1, 2, ,

jg

1 Phương pháp thế trực tiếp (direct substitution)

2 Phương pháp biến đổi ràng buộc (constrained variation)

3 Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multipliers)

 

f x

Phương pháp thế trực tiếp

Từ m ràng buộc đẳng thức, ta biến đổi và thu được các biểu thức tính m biến số thông qua (n-m) biến số còn lại (trong số n biến số tất cả) Từ đó thế vào biểu thức hàm f ban đầu Như vậy hàm f sẽ trở thành hàm có (n-m) biến số nhưng không còn ràng buộc nào hết Ta quay trở về bài toán tối ưu không ràng buộc

Phương pháp thế trực tiếp

Tối ưu hàm số sau: f x x x 1, 2, 3   8x x x1 2 3

Với ràng buộc: x12  x22  x32 1

31

n m

Phương pháp thế trực tiếp có vẻ đơn giản

về mặt lý thuyết, nhưng trên thực tế lại có những hạn chế khi sử dụng Đó chính là

những biểu thức hàm ràng buộc gi(x) thường là các hàm phi tuyến phức tạp nên khó có thể rút ra được biểu thức biểu diễn tham biến qua các tham biến khác từ những hàm phức tạp này

Chính vì vậy, chúng chỉ có thể áp dụng ở

một số trường hợp hàm gi(x) đơn giản

Phương pháp thế trực tiếp

Vi phân bậc r của hàm f

Nếu tất cả các đạo hàm riêng của hàm f với bậc r ≥ 1 tồn tại và

liên tục tại điểm x*, thì đa thức sau đây được gọi là vi phân bậc r của hàm f tại điểm x*:

Dãy TAYLOR của hàm f(x) quanh điểm x*

T n T n

x

Dãy TAYLOR của hàm f(x) quanh điểm x*

Tìm biểu thức dãy Taylor xấp xỉ bậc 2 cho hàm f quanh điểm x*:

Phương pháp biến đổi ràng buộc

Ý tưởng chính của phương pháp này nằm ở chỗ đi tìm một biểu thức dạng đóng * cho vi phân bậc 1 của hàm số

(tức là 1 biểu thức của df) tại tất cả

các điểm mà ở đó các biểu thức ràng

buộc g i (x)=0 được thỏa mãn Khi đó thì các điểm cực trị cần tìm sẽ thu được bằng cách giải phương trình

df=0

Phương pháp biến đổi ràng buộc

Tìm cực trị hàm số sau: f x x 1, 2 

Với 1 ràng buộc: g x x 1, 2   0

21

n m





Điều kiện cần để hàm f có cực trị tại điểm x* = (x1*, x2 *) là vi

phân bậc 1 của hàm f phải bằng 0 tại đó Ta có biểu thức:

Do vì g(x1*, x2*)=0 tại điểm cực trị, nên mọi biến thể dx1, dx2

xung quanh điểm x* được gọi là các biến thể được chấp nhận

(admissible variations) nếu những điểm có tọa độ (x1*+dx1,

x2*+dx2) cũng nằm trên đường cong ràng buộc g(x1, x2 )=0

 1 2 

: *  x x, 

x

A là điểm cực trị của hàm f mà nằm trên đường cong g(x1, x2)=0

B và C là các điểm biến thể (gần với A) được chấp nhận vì chúng nằm trên đường cong g(x1, x2 )=0

D là điểm biến thể (gần với A) không được chấp nhận vì nó

không nằm trên đường cong g(x1, x2 )=0

Với các điểm biến thể được chấp nhận (B và C), ta sẽ có:

Thế (3) vào (1), ta thu được:

Phương pháp biến đổi ràng buộc

n m

2

3 2

3 2

x x x

a g

Phương pháp biến đổi ràng buộc

Trong trường hợp tổng quát hàm có n biến

số và m ràng buộc, phương pháp này rất

phức tạp nên khó áp dụng khi giải các bài toán thực tế

Vì vậy phổ biến hơn cả sẽ là phương pháp nhân tử Lagrange

Phương pháp nhân tử Lagrange

Tìm cực trị hàm số sau: f x x 1, 2 

Với 1 ràng buộc: g x x 1, 2   0

21

n m

Phương pháp nhân tử Lagrange

Như vậy ta có hệ 3 phương trình để tìm x1*, x2* và λ

g x

Phương pháp nhân tử Lagrange

Phương pháp nhân tử Lagrange

j

j j

Phương pháp nhân tử Lagrange

Tính định thức sau Tìm nghiệm của phương trình định thức = 0 Nếu tất cả các nghiệm đều mang dấu – thì lời giải là cực đại, nếu tất cả nghiệm mang dấu + thì lời giải là cực tiểu Nếu 1 vài nghiệm mang dấu –, một số còn lại mang dấu + thì đó không phải là cực trị

l

L L

x x

i j n

g g

Phương pháp nhân tử Lagrange

n m

x L

Phương pháp nhân tử Lagrange

z z