Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 2: Giới hạn cung cấp cho người học các kiến thức: Review, định nghĩa giới hạn, giới hạn một phía, định lý kẹp, các dạng vô định, các giới hạn cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1GIỚI HẠN
Lecture 2 Nguyen Van Thuy
Nội dung
Review
Định nghĩa giới hạn
Giới hạn một phía
Định lý kẹp
Các dạng vô định
Các giới hạn cơ bản
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-2
Review-Hàm số
Định nghĩa Hàm số f là một quy tắc gán mỗi số
thực x trong D với duy nhất một số thực, ký hiệu
f(x), trong tập E
Toan C1-Nguyen Van Thuy
•
•
Review-Miền xác định–miền giá trị
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Miền giá trị
Miền xác định
y
x
y = f(x)
O
Review-Đồ thị
Định nghĩa Nếu hàm số f(x) có miền xác
định là D thì đồ thị của hàm số là tập hợp
{( , ( )) | x f x x D }
O
y
1 2 x
f(x) f(2)
f(1)
(x, f(x))
x
Giới hạn khi x
Ví dụ 1/x 0 khi x , điều này ý nghĩa
8,000,000 0.000000125 1,250,000,000 0.000000004
1 lim 0
xx Note: nghĩa là +
Trang 2Giới hạn khi x
Không phải là “1/x bằng 0 khi x = ”, không
phải là một số
f(x) L khi x nếu f(x) nhận những giá trị rất
gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ lớn, ký hiệu
f(x) L khi x - nếu f(x) nhận những giá trị rất
gần L khi x nhận tất cả các giá trị âm có giá trị
tuyệt đối đủ lớn, ký hiệu
Toan C1-Nguyen Van Thuy
lim ( )
x f x L
x f x L
Giới hạn khi x a hữu hạn
Ví dụ
Toan C1-Nguyen Van Thuy
sin
x
1.0 0.84147098
0.5 0.95885108
0.4 0.97354586
0.3 0.98506736
0.2 0.99334665
0.1 0.99833417
0.05 0.99958339
0.01 0.99998333
0.005 0.99999583
0.001 0.99999983
0
sin
x
x x
Giới hạn khi x a hữu hạn
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Giới hạn khi x a hữu hạn
f(x) L khi x a nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ gần a, ký
hiệu
f(x) khi x a nếu f(x) nhận những giá trị
rất lớn (âm hoặc dương) khi x nhận tất cả các giá
trị đủ gần a
Chú ý “x rất gần a”
Xét cả 2 trường hợp x<a và x>a
Không xét tại x = a, f(x) có thể không xác định tại a
Toan C1-Nguyen Van Thuy
lim ( )
x a f x L
Giới hạn khi x a hữu hạn
Định lý (kẹp) Nếu khi
x gần a và
thì
( ) ( ) ( )
f x g x h x
lim ( )
Giới hạn khi x a hữu hạn
Ví dụ Tìm nếu
Ví dụ Chứng minh rằng
4
lim ( )
2
4 x 9 f x ( ) x 4 x 7, x 0
4 0
2 lim cos 0
x
Trang 3Giới hạn bên trái
Ví dụ Quan sát giá trị của khi cho x
nhận những giá trị rất gần 1 và nhỏ hơn 1
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2 1 ( )
x
f x x
x<1 f(x)
0.999 -0.500250
0.9999 -0.500025
Nhận xét: f(x) -0.5
Ta nói giới hạn bên trái
của f(x) tại x=1 là -0.5, viết
2 1
1
| 1|
x
x x
Giới hạn bên trái
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-14
L f(x)
a
x
x
y
O
lim ( )
x af x L
a
x
x a x a
x a
Giới hạn bên phải
Ví dụ Quan sát giá trị của khi cho x
nhận những giá trị rất gần 1 và lớn hơn hơn 1
Toan C1-Nguyen Van Thuy
2 1 ( )
x
f x x
x>1 f(x)
1.5 0.400000
1.1 0.476190
1.01 0.497512
1.001 0.499750
1.0001 0.499975
Nhận xét: f(x) 0.5
Ta nói giới hạn bên phải
của f(x) tại x=1 là 0.5, ký hiệu
2 1
1
| 1|
x
x x
Giới hạn bên phải
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-16
x
a
x a x a
x a
L
f(x)
x
a
x
y
O
lim ( )
x af x L
Giới hạn một phía
Giới hạn bên phải của f(x) bằng L khi x a nếu
f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả
các giá trị đủ gần a và lớn hơn a, ký hiệu
Giới hạn bên trái của f(x) bằng L khi x a nếu
f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả
các giá trị đủ gần a và nhỏ hơn a, ký hiệu
lim ( )
x a
f x L
lim ( )
x a f x L
Giới hạn một phía
Định lý
Ví dụ , nhưng không tồn tại nên
Ví dụ Tìm
2
x x
2
lim 2
x
x
lim ( ) lim ( ) lim ( )
f x L f x L f x
2
lim 2
1
1 lim
| 1|
x
x x
Trang 4Ví dụ
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-19
3
) lim 2 | 3 |
x
a L x x
6
2 12
) lim
| 6 |
x
x
b L
x
2 | | ) lim
2
x
x
c L
x
0
1 1
) lim
| |
x
d L
x x
1 1 ) lim
| |
x
e L
x x
Chú ý
7 dạng vô định
Các giới hạn cơ bản
Toan C1-Nguyen Van Thuy
0 0 .0
0
0 1/
0
0
1
lim(1 ) (
0
)
1
u
u u
u
e
Ví dụ
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-21
0
sin 3
) lim
tan 5
x
x
a L
x
0
1
sin
x
x
2 3 1
) lim
1
x
x
x
c L
x
2
1/
0
) lim cos x
x
Ví dụ
Câu 26
Câu 47
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-22
0
1 cos lim sin 2
0 0
x
x L
x x
a L b L c L d L
2
lim
1
x
x
x x L
x x
2
a L b L c L e d L e
Ví dụ
Câu 48
Câu 49
cot 0
lim cos si n x 1
x
1
a L b L e c L d L
e
2 0
x
L x x
1
a L b L e c L d L
e
Bài tập
Câu hỏi trắc nghiệm toán A1-ĐHBD
Câu 1 câu 26
Câu 47 câu 52
Trang 7 13