Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc, cách xác định dấu của các ma trận Hessian,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1Khoa Công nghệ Cơ khí
CHƯƠNG 03:
TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC
Thời lượng: 3 tiết
Trang 2Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa”
(Saddle points) của hàm
Giải hệ phương trình
Gradient = 0:
T
n
f
Giả sử có m nghiệm
T n
T
x x x
x
x
Trang 3Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Tính ma trận Hessian tại
một điểm bất kz
2
2
2
n
n
H
Tính ma trận Hessian tại m
điểm nghiệm ở bước 1 1 ; 2 ; ; m
Dựa vào dấu của các ma trận Hessian tại các điểm để xác
định cực trị hay điểm yên
Trang 4Giả sử ma trận Hessian tại
điểm nghiệm i có dạng
; 1
i
n n
x
H
Tính định thức của n ma trận thành phần:
n
n n
A
1 Nếu tất cả A1, A2, …, A n > 0 thì ma trận [H] > 0 x(i) – cực tiểu
2 Nếu dấu của A j là (–1)j (j=1 n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại
3 Nếu một vài A j > 0 và 1 vài cái A j < 0 hoặc = 0 x(i) – Điểm
Trang 5Điểm yên (Saddle Point)
Trang 6Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên
kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng
lần lượt là k1, k2, k3 Các lò xo ở vị trí
tự nhiên (không co – giãn) khi P=0
Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2
theo nguyên l{ cực tiểu thế năng
Thế năng của hệ = Năng lượng biến dạng
U
công của
ngoại lực
2 k x 2 k x 2 k x x P x 2
Trang 7Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân bằng Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu
Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U
1 2 1 2 2 1 3 2 1 2
,
U x U x x k x k x k x x P x
3 1
1 2 2 3 3 1
1 2 1 3 2 1
1 2 3 2 1 2 3
2
0
k U
k k k k k k
U
x
Có một nghiệm duy nhất, có nghĩa là chỉ có 1 vị trí cân
bằng và ổn định
Trang 8
2
2
H
Tính định thức của 2 ma trận thành phần:
H 1 k2 k3 0
2
0
k k k k k k
H x Là điểm cực tiểu
Với:
3
1 2 2 3 3 1
2 3
k
P
k k k k k k
P
* x
Trang 9Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau:
1, 2 1 2 2 1 4 2 6
f x f x x x x x x
1 1
1 2
2 2 2
2
0
f
f
x
x
Tính ma trận Hessian một điểm bất kz
2
2 2
x
H
Có 4 điểm
dừng (m=4)
Trang 10 1
2
x
x
phần đều >0 Cực tiểu
2) Điểm số 2: 2 2
1 2 T 0 8 3 T
2 x
2 2
2
1
2
A A
x x
x
H
Trình tự âm – dương của các định thức thành phần không tuân theo quy tắc cực đại Điểm yên
3) Điểm số 3: 3 3
3 x
2 2
2
1
2
A A
x x
x
H Toàn bộ các định thức
thành phần đều âm
Điểm yên
4) Điểm số 4: 4 4
1 2 T 4 3 8 3 T
4 x
4
4 0 A
x
H
Các định thức thành phần tuân theo quy luật cực đại
418
27
f 2
x
194
27
f 3
x
50
f 4
x
Trang 11Xanh lam Cực tiểu
Đỏ Cực đại
2 điểm xanh lá cây còn lại Điểm yên
Trang 12 4 2 2
1, 2 0.7 1 8 1 6 2 cos 1 2 8 1
f x f x x x x x x x x
1 13 1 2 1 2
2 1 1 2 2
1 0
2 0
f
f
x
x
Giải hệ phương trình này
1) Trường hợp 1: Nếu x1=0 thì PT (1) vô nghiệm Suy ra x1 ≠0
2) Trường hợp 2: Nếu x2 =0 thì PT (2) thỏa mãn, ta cần giải PT (1) lúc này
Trang 13https://rechneronline.de/function-graphs/
Trang 14- Khoảng 2 là [-0.6; -0.3] trong đó nghiệm rất gần với -0.5
- Khoảng 3 là [2.4; 2.7] trong đó nghiệm rất gần với 2.55
Sử dụng phương pháp số như bisection ra sẽ ra được 3
nghiệm này lần lượt là:
1 1 2 1 3 1
2.084068332 0.5253777475 2.609446079
x x x
Khảo sát tính chất cực đại, cực tiểu và điểm yên của điểm dừng
Trang 15 20.48406282 0 0
0 7.656659188
1
H
Tất cả các định thức thành phần đều >0 Cực tiểu
b) Xét điểm dừng số 2: x12 0.5253777475; x2 0
2
13.68141707 0
0 11.72397822
H
Toàn bộ các định thức thành phần đều âm Điểm yên
c) Xét điểm dừng số 3: x13 2.609446079; x2 0
3
41.19735425 0
0 5.190791161
H Tất cả các định thức thành phần đều >0 Cực tiểu
1
3.86895325
f
2
3.048179374
f
3
41.89351183
f
Trang 164 2 4 2
1 1
cắt trục hoành ở
đâu:
Trang 17tơ Gradient Chúng ta chỉ có 2 điểm cực trị (màu