Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân và ứng dụng

Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa nguyên hàm, tích phân bất định, công thức nguyên hàm cơ bản, tích phân hàm mũ, phương trình vi phân,... Mời các bạn cùng tham khảo.

TÍCH PHÂN &

ỨNG DỤNG

4

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

Được xác định như sau:

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

ò

TÍCH PHÂN HÀM MŨ

Công thức:

Ví dụ 6 Tính các tích phân sau:

( ) ( ) ( )

4

0 2

VÍ DỤ 8.

1 Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua điểm (2;5)

và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi điểm

2 Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm

cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x Biết chi phí cố định là 2000$ Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi phí để sản xuất ra

20 sản phẩm

Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiếndịch

Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát thanh

muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến

41.000 người

VÍ DỤ 10.

Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xácđịnh rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng vớinhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi:

Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá là

4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp

Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Tăng trưởng giới hạn

Tăng trưởng không giới hạn

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài toán lãi kép liên tục

Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu

A là số tiền có được sau thời gian t

Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời gian đó.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ta có mô hình:

Mặt khác:

Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r và

t là thời gian đầu tư.

LUẬT TĂNG TRƯỞNG THEO HÀM MŨĐịnh lý Nếu = và (0) = 0 thì = 0

Trong đó:

Q0: khối lượng tại t=0

r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối

t: thời gian

Q: khối lượng tại thời điểm t

Chú ý Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ

PHÂN RÃ PHÓNG XẠ

Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không đổi trong mô của nó

Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng hiện có Tốc độ phân rã là 0,0001238

Ví dụ 11 Một mảnh xương người được tìm thấy tại một

địa điểm khảo cổ ở Châu Phi Nếu 10% lượng chất phóng

xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của

xương (làm tròn đến 100 năm) Đ/S: 18.600 năm

VÍ DỤ 12 BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG

Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010 (t=0) Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm sau năm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ gia tăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng

trưởng của dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% là tốc độ tăng trưởng lien tục.

B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030?

Đáp số:

a) P=1,2.e0,0015t b) 1,6 tỷ người.

VÍ DỤ 13 BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG

Nếu quy luật tăng trưởng mũ có thể áp dụng được chodân số Việt Nam Hãy tìm tốc độ tăng trưởng để sau 100 năm nữa dân số Việt Nam tăng gấp đôi?

Đáp số: 0,69%.

Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi suất r

(%/năm) Sau bao nhiêu năm thì số tiền gửi tăng lên gấpđôi?

TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN

Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy …) ta luôn giả sử cómột mức kỹ năng tối đa có thể đạt được M

Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu của mức

kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa M

TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN

VÍ DỤ 14.

Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà người đó

có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện tập được xấp xỉbởi:

Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?

Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập

( 0,04 )

-MỘT SỐ MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG MŨ

0 =

= Tăng trưởng ngắn hạn

(người, vi khuẩn) Tăng trưởng của tiền khi tính lãi liên tục

0 =

= Cạn kiệt tài nguyên thiên

nhiên Phân rã phóng xạ Hấp thụ ánh sáng (trong nước)

Áp suất khí quyển (t là chiều cao)

tỷ lệ với hiệu của

lượng hiện tại và một

giá trị cố định

= ( − ) , > 0;

0 =

= (1 − ) Bán hàng thời trang

Khấu hao thiết bị Tăng trưởng công ty

Học tập

Tăng trưởng Logistic

Tốc độ phân rã tỷ lệ

với lượng hiện tại và

hiệu của lượng hiện

VÍ DỤ 15 SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN

Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan truyềnvới tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số người

chưa nghe tin đồn (P-x) Trong đó P là tổng số người Một

một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe được tin đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và:

Gọi t là thời gian tính theo phút

SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN

Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX ngheđược tin đồn?

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Diện tích dưới đường cong

Diện tích phần hình được tô màu

là bao nhiêu?

Tính xấp xỉ bằng tổng diện tíchhình chữ nhật

DIỆN TÍCH DƯỚI ĐƯỜNG CONG

Tổng bên trái - Left Sum

Tổng bên phải – Right Sum

Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5

ĐỊNH LÝ

Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b]

Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau

Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởi hàm f, trục0x và 2 đường thẳng x=a; x=b

Chặn trên của sai số là:

TỔNG TÍCH PHÂN

Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b]

Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các điểm

chia như sau:

VÍ DỤ 17.

đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bên phải của mỗiđoạn

Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong trường hợptổng quát và tính giới hạn của tổng đó khi n∞

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định lý Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b] khi này

tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giới hạn hữu hạn I khi

I = ò f x dx

1lim

k n

k a

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

( )1

n

k i

b a x

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ thị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn này tồn tại).

Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].

1lim

k n

i a

VÍ DỤ 18.

Tính tích phân:

Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau

Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải.

Ta có:

b x

VÍ DỤ 19.

Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạn dưới đây(không tính giới hạn)

10 1

n

i

i a

i b

i n

TÍNH CHẤT

Tính chất cộng Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b] Nếu f(x)

khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũng khả tích trên cácđoạn còn lại và:

Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu

ta thay đổi giá trị hàm số tại một số hữu hạn điểm

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử:

Khi này tồn tại µ sao cho

f x dx   b  a



b a

f x dx  f c b  a



CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THEO CẬN TRÊN

Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b] Với a<x<b đặt:

Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì:

Hàm ( ) liên tục trên [a;b]

x a

( ) x f x ( )

j ¢ =

CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ

Định lý Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì:

b

b

a a

f x dx = F b - F a = F x

ò

CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ

n

k a

CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ

f x dx = F b - F a

ò

i) Nế u f là hà m chẵ n thì:

ii) Nế u f là hà m lẻ thì:

02

0

a

a a

CHIỀU DÀI CỦA CUNG

i n

CHIỀU DÀI CỦA CUNG

Định lý Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dài của dây

cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là:

Ví dụ 25 Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1) đếnđiểm (4;8)

( )2

b a

L = ò + êéëf x ùúû dx

1

80 10 13 13 27

-CHIỀU DÀI CỦA CUNG

Định lý Nếu đường cong có phương trình dạng x=g(y) và

g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài của đường cong trênđoạn [c,d] là:

Ví dụ 26 Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0) đến

L

+

DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY

Diện tích hình trụ Diện tích mặt nón

A = p r h A = p r . l

DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY

Diện tích mặt nón cụt

DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY

Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý

Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý

b a

A = p ò f x + ê é ë f x ù ú û dx

d c

A = p ò g y + ê é ë g y ù ú û dy

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

Giá trị trung bình của hàm f là:

VÍ DỤ 28.

1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trên đoạn 1;2]

[-2) Cho hàm cầu như sau:

Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu trongđoạn [40, 60]

-ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ

Tìm hàm khi biết hàm cận biên Giả sử tìm hàm chi phí, hàm doanh thu

Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t)

Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất

VÍ DỤ 29.

Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200

VÍ DỤ 30.

Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

Giả sử Q=1 thì chi phí là 60 Tìm hàm chi phí

VÍ DỤ 31.

Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là:

Giả sử Q=1 thì R=37 Tìm doanh thu và hàm giá theo sảnlượng

M R Q = Q - Q +

VÍ DỤ 32.

Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 (triệuđồng) Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo giá

VÍ DỤ 33.

33a Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là

MC=8e0,2Q và chi phí cố định là FC=50 Xác định hàm tổngchi phí và chi phí khả biến

33b Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng

Q là MR=50-2Q-3Q2 Xác định hàm tổng doanh thu

XÁC ĐỊNH QUỸ VỐN

Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và

quỹ vốn K là hàm theo biến thời gian t.

Ta có: I=I(t); K=K(t)

Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm đó)

I(t)=K’(t) Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ vốn như sau:

K t   K t dt    I t dt

TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Ví dụ 34 Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la một

tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là K(1)=10 (nghìn đôla) Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) và lượng vốn tích lũyđược từ tháng 4 đến tháng 9

Th ặng dư tiêu dùng

• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của người mua.

• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người bán.

• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp nhận mua sản phẩm.

• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản phẩm hay dịch vụ,

• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua trừ đi mức giá mà họ thực sự trả.

M ức sẵn lòng trả của 4 người mua

Đo lường CS bằng đường cầu

• Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng mà

người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại những mức giá khác nhau.

John 100

Paul 80

George 70

Ringo 50

Bi ểu cầu và đường cầu

$100 John’s willingness to pay

Đo l ường thặng dư tiêu dùng

(a) Price = $80 Price of

(b) Price = $70 Price of

Quantity of Albums

John’s consumer surplus ($30)

Paul’s consumer surplus ($10)

Đo l ường thặng dư tiêu dùng

• Diện tích phía dưới đường

cầu và trên mức giá chính

là thặng

dư tiêu dùng.

Đo l ường thặng dư tiêu dùng

Tác d ụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng

Initial consumer surplus

Th ặng dư tiêu dùng

• Consumer’s Surplus

• Nếu ( ; ) là điểm trên đường cầu p=D(x)

khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá là:

• CS thể hiện tổng tiết kiệm của người tiêu dùng

sẵn sàng trả mức giá lớn hơn cho sản phẩm

nhưng vẫn mua được sản phẩm ở mức giá

Thặng dư sản xuất

trả trừ đi chi phí cho sản phẩm

• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị trường.

Chi phí c ủa 4 người bán

Dùng đường cung đo lường PS

• Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu.

• Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung.

Biểu cung và đường cung

Dùng đường cung đo lường PS

• Diện tích phía dưới mức giá và trên đường cung chính

là thặng dư sản xuất.

Quantity of Houses Painted

Đo lường PS bằng đường cung

Quantity of Houses Painted

Total producer surplus ($500)

Grandma’s producer surplus ($300)

Supply

Tác d ụng của giá đến thặng dư sản xuất

Producer surplus

Tác d ụng của giá đến thặng dư sản xuất

Th ặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Nếu ( ; ) là điểm trên đường cung p=D(x)

khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá là:

• PS thể hiện tổng tăng thêm của nhà sản xuất

.

.

x Q

Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường

Producer surplus

Consumer surplus

Supply

Demand A

C

B D

E

VÍ DỤ 35.

Cho các hàm cung và hàm cầu:

Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của

người tiêu dùng

VÍ DỤ 35.

Sản lượng cân bằng là nghiệm của pt:

Thặng dư của nhà sản xuất:

Thặng dư người tiêu dùng:

CS    Q  dQ 

3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng,

thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết:

DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC

Continuous Income Stream

Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khi

đó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ a đến b là:

 

b

a

Total Income   f t dt

FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC

Theo công thức lãi kép liên tục:

Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng thu nhập liên tục này sau T năm là???

Chú ý

 Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định

 Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất

 Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục.

rt

Giá trị tương lai của nó:

Tổng thu nhập sau T năm:

r T c r T t k

FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC

Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục

Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục

Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhập sau T nămđầu tư là:

VÍ DỤ 37.

Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng tự động cho bởi:

Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy

A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ khi lắp đặt.

B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi suất 12% Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận của máy sau 5 năm.

C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5 năm đầu tư.

ÔN TẬP THI CUỐI KỲ

Giới hạn hàm số: VCB, L’Hospital

Tính đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến

Cực trị hàm nhiều biến trong kinh tế

Phân tích cận biên, hệ số co dãn

Các mô hình tăng trưởng, tích phân từng phầnThặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất