Bài viết trình bày các nội dung chính sau: Phần tử trung lập, phần tử đối xứng trong cấu trúc nhóm, sai lầm và các nguyên nhân sai lầm theo một số quan điểm, quan điểm didactic, quan điểm của thuyết hành vi.
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 16 (41) - Tháng 5/2016
The reasons for errors in logical reasoning through algebraic structures
rườ Đại học Sài Gịn
Ph.D Nguyen Ai Quoc, M.BA Nguyen Thi Van Khanh
Sai Gon University
Tĩm tắt
Suy luận logic là một kĩ ă ần thiết đ i vớ ười học và nghiên cứ to đặc biệt là đ i với các
s v ê à ư p ạm Tốn Tuy nhiên, thực tế giảng dạy cho thấy tồn tại một s sai lầm của sinh viên trong suy luận logic khi nghiên cứu các cấ trú đại s ơ bả ư ĩm và trường
Qua bài báo này, chúng tơi tìm hiểu các nguyên nhân sai lầm à t eo q a đ ểm dạy học truyền th ng,
q a đ ểm d da t và q a đ ểm của thuyết hành vi bằng một khảo s t sư p ạm đ i vớ s v ê ăm nhất à ư p ạm Tốn về các sai lầm trong suy luận logic khi nghiên cứu cấ trú đại s nhĩm, từ
đĩ ĩ t ể đề xuất các biệ p p sư p ạm giúp sinh viên cải thiệ p ươ p p ọc tập mơn tốn
Từ khĩa: suy luận logic, sai lầm, cấu trúc đại số…
Abstract
Logical reasoning is a necessary skill for Mathematics learning and research, especially for the students
of Mathematics Pedagogy However, the reality in the teaching of mathematics still comes up against
st de ts’ errors lo al reaso w e t e st d t e bas al ebra str t res as ro ps r s a d fields
Through this article, we look into the causes of these errors based on viewpoints in traditional teaching method, didactics and behaviorism with a pedagogic survey on freshmen of Mathematics Pedagogy as
to their logical reasoning when they study the algebraic structure of group We hope to be able to propose the methodology measures to help the students improve their learning methods in Mathematics
Keywords: logical reasoning, error, algebraic structure…
1 Hiện trạng
Học phầ Đại s đạ ươ (t ờ lượng
60 tiết) dành cho sinh viên loại hình chính
quy bậ Cao đẳng và bậ Đại họ à ư
phạm Tốn tại khoa Tốn - Ứng dụng
trườ Đại học Sài Gị được học ở học kỳ
2 sa k s v ê được học các học phần
Giải tích (45 tiết) Đại s tuyến tính (45 tiết) và Lý thuyết s (45 tiết) Qua nhiều
ăm ảng dạy học phần này, cụ thể là dạy khái niệm các cấ trú đại s , chúng tơi nhận thấy cĩ khá nhiều sinh viên khi chứng minh một cấ trú ĩm và a trường,
em t ường mắc sai lầm trong suy luận
Trang 2logic khi tìm và chứng minh các phần tử ơ
bản (phần tử trung lập, phần tử đ i xứng)
Khảo s t sa được chúng tôi tiến hành
vào 01/2015 trên 55 sinh viên thuộc hai
bậ Cao đẳ (16 s v ê ) và Đại học (39
s v ê ) à ư p ạm Toán của khoa
Toán - Ứng dụ trườ Đại học Sài Gòn
với câu hỏi: “Trên tập số thực R, với R
cho trước, ta định nghĩa 1 phép toán 2 ngôi
“*” như sau: x y, R x y, * x y Chứng minh (R, *) là một nhóm Abel”,
chúng tôi nhận thấy có hai sai lầm khá phổ biế l ê q a đến việ x đ nh phần tử trung lập và phần tử đ i xứng trong các câu trả lời của s v ê ư sa :
Sai lầm 1:
Sai lầm 2:
Từ đó ú tô đã t ực hiện một th ng kê trên hai loại sai lầm à ư sa :
Sai lầm Cao đẳng
(16 sinh viên) Tỉ lệ
Đại học (39 sinh viên) Tỉ lệ
Tổng (55 sinh viên) Tỉ lệ
2 Đặt vấn đề
Từ hiện trạ trê ú tô đặt ra câu
hỏi nguyên nhân của các sai lầm này là gì?
Có phải nguyên nhân của các sai lầm là do
sự bất cẩn trong suy luận của các em hay do
các em thiế kĩ ă s l ận vì các kiến
thức về mệ đề và p ươ p p s l ận
logic chỉ xuất hiện rãi rác trong các học
phần toán cao cấp trướ đó mà ưa được trang b đầ đủ và theo hệ th ng? Vì vậy, việc nghiên cứu và làm sáng tỏ các sai lầm này là rất cần thiết trong việ đào tạo sinh
v ê sư p ạm à o đặc biệt việc làm
rõ nguyên nhân của chúng sẽ úp đưa ra các biện pháp khắc phục sai lầm o ười học, nghiên cứu và dạy học Toán sau này
Trang 33 Phần tử trung lập, phần tử
đối xứng trong cấu trúc nhóm
Khái niệm phần tử trung lập, phần tử
đ i xứ đượ đ ĩa ư sa :
- Phần tử trung lập [4, trang 9]
Giả sử đã cho một phép toán trong tập
X Một phần tử e của X gọi là một đơn vị
trái của phép toán nếu và chỉ nếu ex = x
với mọi x X Tương tự, một phần tử e của
X gọi là một đơn vị phải của phép toán nếu
và chỉ nếu xe = x với mọi x X Trong
trường hợp một phần tử e của X vừa là một
đơn vị trái vừa là một đơn vị phải, thì e gọi
là một đơn vị, hoặc một phần tử trung lập
của phép toán
- Phần tử đ i xứng [4, trang 15]
Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có
các tính chất sau:
1 có phần tử trung lập e;
2 với mọi x X, có một x’ X sao cho
x’x = xx’ = e (phần tử x’ gọi là một phần
tử đối xứng hay nghịch đảo của x)
C đ ĩa trê được phát biểu
bằng ngôn ngữ mô tả, chúng có thể được
đ ĩa dưới hình thức mệ đề logic
lượng từ thông qua các ký hiệu toán học sau:
X ó p ầ tử tr lập nếu và chỉ nếu
e X: ex = x = xe, x X
Mọ p ầ tử x X ó p ầ tử đ
xứ x’ X nếu và chỉ nếu x X, x’
X: x’x = xx’ = e
C ú ta ầ ú ý trật tự ủa lượ từ
tro p t b ể trê là rất q a trọ
trật tự sa sẽ làm t a đổ ộ d ủa
mệ đề
Một lư ý k ứ m p ầ tử
tr lập và p ầ tử đ xứ bao ồm a
a đoạ một là a đoạ tìm (e X,
x’ X) và a là a đoạn kiểm chứng
các phần tử tìm thấ đó ó t ỏa mãn các
thuộc tính (bên trái, bên phải) của chúng
hay không
4 Sai lầm và các nguyên nhân sai lầm theo một số quan điểm
4.1 Quan điểm dạy học truyền thống
4.1.1 Khái niệm sai lầm trong dạy học truyền thống
“ a lầm khi giả o là đ ều trái với quy luật khách quan (yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm đ ĩa t ê
đề đ nh lý, quy luật, quy tắ p ươ p p suy luận,…) dẫn tớ k ô đạt được yêu cầu của việc giả o ” [5 tra 8]
4.1.2 Các nguyên nhân sai lầm trong dạy học truyền thống
Theo Lê Th ng Nhất, có 4 nguyên nhân về kiến thức của học sinh dẫ đến sai lầm khi giả o ư sa :
Nguyên nhân 1: Hiể k ô đầ đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm Toán học; [5, trang 63]
Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu
trúc logic của đ nh lý; [5, trang 67]
Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về logic; [5, trang 70]
Nguyên nhân 4: Học sinh không nắm
vữ p ươ p p ả bà to ơ bản [5, trang 74]
ư vậy, sai lầm 1 và sai lầm 2 ở trên của sinh viên thực ra chỉ thuộc một loại sai lầm và có thể giải thích bởi nguyên nhân 1
và ê 3 tro đó s v ê đã hiể k ô đầ đủ và chính xác khái niệm phần tử trung lập và phần tử đ i xứ ũ
ư k ô đủ kiến thức cần thiết về logic
mệ đề Việc chứng minh mệ đề logic tươ đươ với khái niệm của các phần tử
à đòi hỏi phải thực hiệ a a đoạn bao gồm a đoạn tìm kiếm và a đoạn kiểm chứng các thuộc tính mà các phần tử
đó p ải thỏa mãn Cụ thể ơ sa lầm của sinh viên là chỉ thực hiệ a đoạn tìm kiếm mà ưa t ực hiện kiểm chứ để
Trang 4làm đầ đủ và chính xác khái niệm phần tử
trung lập và phần tử đ i xứng
4.2 Quan điểm didactic
4.2.1 Khái niệm sai lầm trong didactic
Các học thuyết kiến tạo gán cho sai
lầm và sự nhận ra sai lầm một vai trò có
tính xây dựng trong hoạt động nhận thức,
bởi vì khi tạo ra sự mất cân bằng trong hệ
tư d ủa chủ đề, việc nhận ra sai lầm tạo
đ ều kiện thuận lợ để vượt qua nó và làm
nảy sinh một thế cân bằ a tă mới
4.2.2 Các nguyên nhân sai lầm trong
didactic
“Đ đề của trường phái Bachelard
khẳ đ nh rằng trong l ch sử các bộ môn
khoa học, sai lầm không phải là một sự
kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó
không nằm ngoài kiến thức mà chính là
biểu hiện của kiến thứ ” [1 tra 57]
eo Bro ssea : “ a lầm không chỉ
đơ ản là do thiếu hiểu biết mơ ồ hay
ngẫ ê s ra (…) mà ò là ậu quả
của một kiến thứ trướ đ đã từng tỏ ra
ó í đem lạ t à ô ư b ờ
lại tỏ ra sai hoặ đơ ản là không còn
thích hợp nữa Những sai lầm thuộc loại
này không phải thất t ường hay không dự
đo được Chúng tạo t à ướng ngại
Trong hoạt động của o v ê ũ ư
trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao
giờ ũ óp p ần xây dự ê ĩa ủa
kiến thức thu nhậ đượ ” [1, trang 57]
Các công trình nghiên cứu của Salin
( al 1976) đã vạ ra đặ trư ận
thức của sai lầm mà được xem là chủ yếu
cho sự phát triển của hệ sai lầm trong
didactic
“ eo al ữ đặ trư ấy là:
một mặt, sai lầm là một p ươ d ện của
một kiến thứ đ i với một kiến thức khác
(ở cùng một chủ thể, có thể đó là một kiến
thức mớ đ i với một kiến thứ ũ) mặt
khác chỉ có thể hiểu sự tồn tại của một sai lầm nế ư t động trở lại của môi trườ đượ xem ư bằng chứng của một thất bại” [1 tra 59]
eo q a đ ểm này, có thể giải thích sai lầm 1 và sai lầm 2 của sinh viên có nguồn g c từ “s l ận logic không
đầ đủ” mà k ò là ọc sinh phổ thông
đô k em ặp phải do hoàn cả sư phạm mang lại Chẳng hạn:
- X đ nh quỹ tí đ ểm thỏa mãn một tính chất hình họ o trước ở Trung
họ ơ sở hiện nay chỉ thực hiệ a đoạn tìm mà không kiểm tra tập đ ểm tìm được
có thỏa mãn tính chất hình họ đã o a không
- Giả p ươ trì đa t ức ở cấp Trung họ ơ sở và hai lớp đầu cấp Trung học phổ thông mặ ê được thực hiện trên tập hợp các s thự R do đó v ệc tìm tập x đ nh của p ươ trì t ô q a việ tìm đ ều kiệ để hai vế của p ươ trì đã o ó ĩa k ô được thực hiện
và nghiệm tìm được mặc nhiên là thỏa
p ươ trì “ tắ ” à sa đó đã được thực hiện một “tự ê ” o quá trình suy luận logic trong các bài toán
k ư ả p ươ trì p t ức hữu
tỷ p ươ trì vô tỷ a p ươ trì lượng giác
- Ở cấp Trung học phổ thông, hiện tượng tìm nghiệm của một p ươ trì ó
đ ều kiện mà không thực hiện việc kiểm chứng nghiệm tìm được có thỏa mãn tập
x đ nh của p ươ trì đó xảy ra khá phổ biến ở họ s được xem là sự áp dụng các quy tắc giả p ươ trì đa t ức trên tập s thực R Hiệ tượng này xảy ra
t ườ x ê và đô k da dẳng ở cùng một chủ thể qua nhiều cấp lớp ở cả Trung
họ ơ sở và Trung học phổ thông
Tóm lạ “s l ậ lo k ô đầy
Trang 5đủ” à p ần nào hình thành một thói quen
tiếp cậ k ô đầ đủ và chính xác một
khái niệm Toán học ở học sinh và sinh viên
4.3 Quan điểm của thuyết hành vi
4.3.1 Khái niệm sai lầm của thuyết
hành vi
Theo thuyết hành vi, sai lầm là một
hiệ tượng tiêu cực, có hại cho việ lĩ
hội kiến thứ và do đó ần tránh và nếu gặp
thì cần khắc phục
4.3.2 Các nguyên nhân sai lầm theo
thuyết hành vi
eo Lê ă ến (2006), có 4 nguyên
t ường gặp của học sinh dẫ đến sai
lầm khi giả o ư sa :
Nguyên nhân 1: Do học sinh bất cẩn,
vô ý hoặc do hiểu sai vấ đề cần giải quyết;
Nguyên nhân 2: Do học sinh không
nắm vững kiến thứ đã ọc, yế kĩ ă và
khả ă s l ận;
Nguyên nhân 3: Do học sinh thiếu hụt
kiến thức;
Nguyên nhân 4: Do giáo viên trình bày
không chính xác, dạy quá nhanh hay giải
t í k ô đủ rõ ràng
Dưới góc nhìn của thuyết hành vi, sai
lầm của sinh viên có thể giải thích bởi
ê 2 s v ê đã k ô ắm
vững kiến thức khái niệm phần tử trung lập
và phần tử đ i xứ ũ ư ưa đủ kĩ
ă và p ươ p p s l ận
5 Kết luận
Tóm lạ t eo q a đ ểm dạy học
truyền th ng, sai lầm nêu trên về p ươ
diện logic của sinh viên trong việ x đ nh
phần tử trung lập và phần tử đ i xứ đều
xuất phát từ hai nguyên nhân sau:
- v ê đã k ô ể đầ đủ và
chính xác khái niệm phần tử trung lập và
phần tử đ i xứng của một nhóm
- Sinh viên thiếu các kiến thức cần
thiết về logic mệ đề
eo q a đ ểm didactic, nguyên nhân sai lầm ê trê là “s l ận logic không
đầ đủ” mà ọ s và s v ê t ường tiếp cận khi còn học ở phổ thông do hoàn
cả sư p ạm mang lại
Theo qua đ ểm của thuyết hành vi, nguyên nhân sai lầm trê là “ ế kĩ ă
và khả ă s l ậ ” do s v ê ưa ó
kĩ ă và p ươ p p s l ận logic Bài báo này không nhằm so sánh cách giải thích nguyên sai lầm t eo q a đ ểm dạy học truyền th q a đ ểm didactic
a q a đ ểm của thuyết hành vi mà chỉ
mu n làm sáng tỏ các nguyên nhân này theo nhiều góc nhìn khác nhau Dù nguyên nhân sai lầm theo bất kỳ q a đ ểm nào, chúng tôi vẫn cho rằng sai lầm này chủ yếu
do s v ê k ô được trang b đầ đủ và
hệ th ng các kiến thức cần thiết để các em
ì t à kĩ ă và p ươ p p s luận logic
Để khắc phục các loại sai lầm này ở sinh viên, các biệ p p sư p ạm cần thiết
sẽ được chúng tôi nghiên cứ và đề xuất
trong bài báo tiếp theo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Th Hoài
C Lê ă ến (2009), Những yếu tố cơ
bản của didactic Toán xb Đại học qu c gia
TP.HCM
2 C ươ trì đào tạo (2 12)
PL3_SoDoCay_DTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học
kỳ và năm học của các học phần do khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn quản lý Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc đào tạo: Đại học, Loại hình đào tạo: Chính quy, Khoa Toán - Ứng dụ rườ Đại học
Sài Gòn
3 C ươ trì đào tạo (2 12)
PL3_SoDoCay_CTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học
kỳ và năm học của các học phần do khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn quản lý Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc
Trang 6đào tạo: Cao đẳng, Loại hình đào tạo: Chính
quy, Khoa Toán - Ứng dụ rườ Đại học
Sài Gòn
4 oà X í (C ủ biên) - rầ ươ
Dung (2003), Đại số đại cương xb Đại học
ư ạm
5 Lê Th ng Nhất (1996), Rèn luyện năng lực
giải toán cho học sinh phổ thông trung học
thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai
lầm của học sinh khi giải toán, Luận án phó
Tiế sĩ k oa ọ ư p ạm - Tâm lý
6 Lê ă ến (2006), “Sai lầm của học sinh
nhìn từ ó độ các lí thuyết về học tập”, Tạp
chí Giáo dục, s 137
7 Salin Marie Helène (1976), Le rôle de
l’erreur dans l’apprentissage des mathématiques de l’école primaire,
bl at o s de l’IREM de Bordea x
WEBSITE
8 http://www.sgu.edu.vn/index.php?option=co m_content&view=article&id=2663:chng-
trinh-ao-to-chu-ki-2012-2016&catid=195:tbaotruong&Itemid=609
9 http://www.vnmath.com/2010/10/luan-tien-si-cua-le-thong-nhat.html
à ậ bà : 12/4/2016 B ê tập xo : 15/5/2016 Duyệt đă : 20/5/2016