Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 5: Đạo hàm, vi phân cung cấp cho người học các kiến thức về Ứng dụng của đạo hàm bao gồm: Đạo hàm, vi phân của hàm số, quy tắc L’Hospital, ứng dụng khảo sát hàm số, đa thức Maclaurin,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1ĐẠO HÀM, VI PHÂN
Ứng dụng của đạo hàm
Lecture 5 Nguyen Van Thuy
Review-Đạo hàm
Định nghĩa Đạo hàm của hàm số 𝑓 tại 𝑎
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎))
𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
0
'( ) lim
h
f a h f a
f a
h
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-2
Review-Vi phân của hàm số
Tại x=a
𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦′ 𝑎 𝑑𝑥
Tại x
𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3
Review-Quy tắc L’Hospital
Định lý Nếu 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) có dạng 00,∞∞ khi 𝑥𝑎 và
tồn tại lim 𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥)= 𝐴 thì
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥)= 𝐴
Chú ý: 𝐴 có thể hữu hạn hoặc vô hạn
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-4
Ứng dụng khảo sát hàm số
Tìm tiệm cận
Tìm khoảng tăng, giảm
Tìm cực trị
Tính lồi lõm, điểm uốn
Viết phương trình tiếp tuyến và pháp
tuyến
Ứng dụng khảo sát hàm số
Câu 206 Cho hàm số 𝑦 =ln 𝑥+1 +𝑥𝑥−𝑥2 2 Đồ thị hàm số này
a) Có tiệm cận đứng 𝑥 = 0
b) Có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥
c) Có tiệm cận ngang 𝑦 = −1
d) Không có tiệm cận
Trang 2Ứng dụng khảo sát hàm số
Khẳng định nào sau đây đúng
a) 𝑦 tăng trên ℝ
b) 𝑦 giảm trên ℝ
c) 𝑦 tăng trên (1, +∞), giảm trên 0,1
d) 𝑦 tăng trên (0, +∞)
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-7
Ứng dụng khảo sát hàm số
Câu 183 Cho hàm số 𝑦 = 2ln (1 + 4𝑥2) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2𝑥 Khẳng định nào sau đây đúng a) y đạt cực đại tại 𝑥 =18
b) y đạt cực tiểu tại 𝑥 =18 c) y đạt cực đại tại 𝑥 =161 d) y đạt cực tiểu tại 𝑥 =161
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-8
Đa thức Maclaurin
Bài toán Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao
cho
𝑓’(0) = 𝑃’(0) 𝑓’’(0) = 𝑃’’(0)
…
𝑓′′(0)
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-9
Đa thức Maclaurin
Ví dụ Tìm đa thức Maclaurin của hàm
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 đến 𝑥, 𝑥2, 𝑥3
Kết quả
𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥
𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2!2
𝑝 𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!−𝑥3 3!
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-10
Xung quanh tiếp điểm
Trang 3Khai triển Maclaurin
Khai triển Maclaurin của hàm 𝑓(𝑥)
𝑓′′(0)
+ 𝑂(𝑥 𝑛 )
𝑂 𝑥𝑛 : vô cùng bé cấp cao hơn 𝑥𝑛
Với 𝑥 rất gần 0 thì
𝑓′′(0)
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-13
Các khai triển Maclaurin cơ bản
𝑒 𝑥 = 1 +1!𝑥+𝑥2!2+ 𝑂(𝑥 2 )
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥3!3+ 𝑂 𝑥 4
2! +𝑥4
4! + 𝑂 𝑥 5
𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 +𝑥33+ 𝑂 𝑥 4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥33+ 𝑂(𝑥 4 )
ln 1 + 𝑥 = 𝑥 −𝑥22+
𝑥 3
3 −𝑥44+ 𝑂(𝑥 4 )
𝑂(𝑥 2 )
𝑂(𝑥 2 )
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-14
Khai triển Maclaurin
hàm 𝑦 = 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 đến số hạng 𝑥3
a) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥22+ 𝑂 𝑥 3
b) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2 +𝑥3
c) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥22−𝑥63+ 𝑂 𝑥 3
d) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥22+𝑥33+ 𝑂 𝑥 3
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-15
Khai triển Maclaurin
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-16
Maple taylor(exp(sin(x)),x=0,3)
GeoGebra KhaitrienTaylor(exp(sin(x)),0,3)
Khai triển Maclaurin
Câu 249 Khi 𝑥 → 0, VCB 𝑒𝑥− 1 − 𝑥 −𝑥22
tương đương với
𝑎) −𝑥
3
3 𝑏)
𝑥3
3 𝑐) −
𝑥3
6 𝑑)
𝑥3 6
Đa thức Taylor
Bài toán Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao cho
𝑓’(𝑎) = 𝑃’(𝑎) 𝑓’’(𝑎) = 𝑃’’(𝑎)
…
𝑓𝑛(𝑎) = 𝑃𝑛(𝑎)
Trang 4Khai triển Taylor
Khai triển Taylor của hàm 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎
𝑘!
𝑛
0
(𝑥 − 𝑎)𝑘+𝑅𝑛(𝑥)
Phần dư
𝐷ạ𝑛𝑔 𝑃𝑒𝑎𝑛𝑜: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑂 𝑥 − 𝑎 𝑛
𝐷ạ𝑛𝑔 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝑅𝑛 𝑥 =𝑓𝑛+1 𝑐
𝑛+1 ! (𝑥 − 𝑎)𝑛+1
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-19
Áp dụng khai triển cơ bản
số sau đến cấp 3
1 − 𝑥
Ví dụ Viết đa thức sau dưới dạng đa thức theo 𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 𝑥4− 3𝑥3+ 𝑥2+ 7
Bài tập: 238 257
11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-20