Bài giảng Toán tài chính - Chương 1: Toán cho tài chính

Bài giảng Toán tài chính - Chương 1: Toán cho tài chính cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy số, chuỗi số, lãi đơn, lãi gộp, giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ, mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu,... Mời các bạn cùng tham khảo.

TOÁN CHO

TÀI CHÍNH

1

Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự nhiên khác 0.

Dãy số có thể xác định theo nhiều cách: liệt kê, số hàngtổng quát, hàm số

1, 2, 3, a ,4 n,

 a n hay  a n n 1



n

n n

n a

n

n n

DÃY SỐ

Ví dụ 2 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số sau:

Ví dụ 3 Một số dãy số không có được công thức của số

hạng tổng quát đơn giản

A) Dãy số thể hiện dân số thế giới vào ngày 1/1

B) Dãy chữ số thập phân của số e

CHUỖI SỐ

Khái niệm Cho dãy số thực u1, u2, u3, …, un, … Biểu

thức:

Được gọi là một chuỗi số

Các số u1, u2, u3, …, un, … gọi là các số hạng của chuỗisố

Biểu diễn dạng tổng sigma

CHUỖI SỐ

Ví dụ 4 Hãy viết chuỗi số sau thành tổng các số hạng

Ví dụ 5 Hãy viết chuỗi đan dấu sau dưới dạng tổng sigma

CẤP SỐ CỘNG

Định nghĩa Một dãy số a1,a2,a3,…,an,… được gọi là cấp

số cộng nếu tồn tại một hằng số d, gọi là công sai, saocho:

CẤP SỐ NHÂN

Định nghĩa Một dãy số a1,a2,a3,…,an,… được gọi là cấp

số cộng nếu tồn tại một hằng số r khác 0, gọi là công bội, sao cho:

-VÍ DỤ

Ví dụ 6 Một người mượn 3600$ và đồng ý trả nợ khoản

vay hàng tháng trong vòng 3 năm Thỏa thuận là phải trả100$ mỗi tháng cộng thêm 1% số dư chưa thanh toán Tổng chi phí của khoản vay trong vòng 3 năm là bao

nhiêu ?

VÍ DỤ

Ví dụ 7 Chính phủ đã quyết định một chương trình giảm

thuế nhằm kích thích nền kinh tế Giả sử bạn nhận được1.200 đô la và bạn chi tiêu 80% số tiền này, và mỗi ngườinhận được số tiền bạn chi tiêu cũng chi tiêu 80% số tiền

họ nhận được, và giả sử quá trình này tiếp tục mà không

có kết thúc Theo nguyên tắc nhân trong kinh tế, tác độngcủa việc giảm cho bạn 1.200 USD tiền thuế đối với nềnkinh tế được nhân lên gấp nhiều lần Tổng số tiền chi tiêu

là bao nhiêu nếu quá trình này tiếp tục như đã nêu?

LÃI ĐƠN, LÃI GỘP

LÃI TỨC (TIỀN LỜI) (INTEREST)

Khái niệm:

Số tiền lãi I phụ thuộc vào:

• P: vốn gốc (Principal Value);

• n: thời gian đầu tư;

• r: lãi suất (interest rate);

• Rủi ro

Lãi tức = Tổng số vốn tích lũy − Vốn gốc

I = F - P

LÃI SUẤT

Định nghĩa Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi trong một đơn

vị thời gian với vốn gốc trong thời gian đó

Ví dụ 8 Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu được

112 triệu đồng Như vậy sau 1 năm nhà đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là 12%/năm

ã ấ = ã ộ đơ ị ờ

TƯƠNG ĐƯƠNG THEO LÃI SUẤT

Từ lãi suất chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương

đương

Đó là những số tiền khác nhau ở các thời điểm khác nhau

có thể bằng nhau về giá trị kinh tế

Ví dụ 9 Nếu lãi suất là 12%/năm thì 1 triệu đồng hôm

nay sẽ tương đương với 1,12 triệu đồng sau một năm

Chỉ có vốn sinh lời còn lãi không sinh lợi.

Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ tàichính ngắn han

LÃI KÉP

Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vào vốn

để tính lãi cho kỳ sau đó là phương pháp tính theo lãi

kép Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãikép

Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dàihạn

LÃI GHÉP (COMPOUND INTEREST)

Việc tính lãi tức bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vàovốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương pháp tính theo lãikép Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãikép

Đặc điểm của lãi kép là chẳng những vốn sinh ra lãi mà lãicũng sinh ra lãi (lãi mẹ đẻ lãi con)

Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dàihạn

LÃI SUẤT THỰC TRẢ VÀ LÃI SUẤT DANH NGHĨA

Thông thường giá trị lãi suất là tiền lãi trong thời đoạn 1 năm hay còn gọi là thời đoạn phát biểu lãi là 1 năm

Trên thực tế, thời đoạn phát biểu lãi có thể ít hơn 1 năm.

Ví dụ 10 Lãi suất 12%/năm, ghép lãi theo quý, 6 tháng tính lãi

1 lần.

+ Thời đoạn phát biểu lãi: 1 năm

+ Thời đoạn ghép lãi: quý

+ Thời đoạn trả lãi: 6 tháng

Khi thời đoạn phát biểu lãi phù hợp với thời đoạn ghép lãi thì

đó là lãi suất thực Nếu thời đoạn phát biểu lãi khác thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất danh nghĩa.

LÃI SUẤT DANH NGHĨA

Lãi suất danh nghĩa trong một thời kỳ = Lãi suất danhnghĩa trong một thời đoạn x Số thời đoạn trong thời kỳ.a) Lãi suất danh nghĩa 3%/quý thì lãi suất danh nghĩatheo năm là: 3% x 4=12%/năm

b) Lãi suất i=12%/quý thì lãi suất thực là 12% ghép lãitheo quý

c) Lãi suất i=20%/năm, ghép lãi theo quý Đây là lãi suấtdanh nghĩa vì thời đoạn ghép lãi là quý Lãi suất thực là5%/quý

CÁC CÔNG THỨC TÍNH TOÁN

Công thức tính lãi đơn

Công thức tính lãi kép (ghép)

Một vài so sánh

CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN

I: lãi tức đơn (Interest)

F: giá trị đạt được, (Amount, Future Value)

P: giá trị hiện tại hay vốn gốc (Principal Value)

r: lãi suất tính theo thời đoạn (năm, quý, tháng …) (Interest Rate)

t: số thời đoạn vay

.

I  P r t F  P  1  r t 

VÍ DỤ 11

a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi

có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng Xác định giá trịđạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6 tháng?

b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời 118 triệu vàocuối đợt đầu tư Hỏi thời gian đầu tư bao lâu?

c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu là baonhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6 tháng (tínhtheo lãi đơn)?

 n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)

 F: giá trị đạt được sau đầu tư

 1 n

F  P  i

HỆ QUẢ

Vốn đầu tư ban đầu (vốn gốc):

Thời gian đầu tư:

Lãi suất đầu tư:

VÍ DỤ 12

a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệu đồng (tínhtheo lãi kép) Hỏi vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu?

b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất

10%/năm Sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời là161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép) Hỏi thời gian đầu

tư là bao lâu?

c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu, sau 8 năm thu được

cả vốn lẫn lời là 214,358881 triệu (tính theo lãi kép) Hỏilãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?

SO SÁNH LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP.

Lãi đơn: Lãi kép:

SO SÁNH LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP.

Ví dụ 13 Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực

LÃI SUẤT NGANG GIÁ (TƯƠNG ĐƯƠNG)

Hai lãi suất i1 và i2 tương ứng với hai chu kỳ khác

nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng

một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được).

GỌI

• i1 là lãi suất thực trả ở thời đoạn ngắn (ví dụ: tháng)

• i2 là lãi suất thực trả ở thời đoạn dài (ví dụ: năm)

• m là số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài (ví dụ: 12)

• P là vốn gốc

LÃI SUẤT NGANG GIÁ

Tính theo lãi đơn:

Tính theo lãi kép:

2 1

VÍ DỤ 14

Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi suất 12%/năm

theo phương thức lãi đơn Kết thúc đợt đầu tư, giá trị

đạt được là:

Theo lãi suất hàng tháng:

Theo lãi suất hàng năm:

LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI ĐƠN

Lãi suất bình quân (tỷ suất lợi tức bình quân) trong lãi

đơn được tính theo phương pháp bình quân có trọng số

j

n i

n i n i n i i

LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI KÉP.

Ta có:

Với

là tổng thời gian đầu tư.

ik là mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk.

LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI KÉP.

Ví dụ 15 Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi kép với

lãi suất lũy tiến

8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên;

9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo;

11%/năm trong vòng 4 năm cuối

a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu?

b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu?

a) Lãi suất trung bình của số vốn vay.

b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đáo hạn

VÍ DỤ 17

Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi suất 6%/6 tháng Ông B cũng gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãisuất 12,36%/năm Hãy tính số tiền lãi mà ông A và ông B nhận được sau 1 năm gửi Cho nhận xét

Giải

Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng và

12,36%/1 năm là tương đương nhau

1.2.6 LÃI KÉP LIÊN TỤC

Ví dụ 18 Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi suất

8%/năm, tính theo lãi kép Hãy tính lãi thu được nếughép lãi theo:

E) Nếu số lần ghép lãi trong năm tăng lên vô hạn thì?

 Lãi kép liên tục

LÃI KÉP LIÊN TỤC

Định lý Nếu P là số vốn đầu tư ban đầu với lãi suất theo

năm là r và tính lãi kép liên tục thì giá trị đạt được khi đầu

tư số vốn P sau n năm là:

Ví dụ 19 Bạn cần đầu tư bao nhiêu để mua một chiếc xe

hơi sau 5 năm Giả sử giá của chiếc là 8.000$ và lãi suấthàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gian ghép lãi:a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục

.

n r

F  P e

KHẤU HAO

GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM

Ví dụ 20 Bạn cần phải gửi bao nhiêu tiền vào tài khoản

với lãi gộp 6%/năm, ghép lãi 6 tháng 1 lần, để có thể rút1000$ mỗi 6 tháng trong vòng 3 năm? (Sau lần rút cuốicùng thì cũng hết tiền trong tài khoản)

GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM

TỔNG QUÁT

Tổng quát Nếu bạn muốn gửi một khoản tiền hiện tại là

PV với mức lãi suất i sao cho trong n kỳ tiếp theo, mỗi kỳbạn thu về được một khoản tiền là PMT thì:

Ví dụ 21 Giá trị hiện tại của một dòng tiền 200$ hàng

tháng trong 5 năm là bao nhiêu nếu lãi suất là 6%/năm vàghép lãi hàng tháng?

Ví dụ 22 Bài toán nghỉ hưu

Lincoln Benefit Life đề nghị một khoản niên kim với lãisuất 6,5%/năm Một người lên kế hoạch tích lũy tiền vàotài khoản trong 25 năm để đến khi nghỉ hưu sẽ rút ra mỗinăm 25.000$ trong vòng 20 năm sau đó Như vậy hàngnăm anh ta cần cho vào tài khoản bao nhiêu tiền để cóthể rút như vậy Lãi suất tổng cộng trong quá trình 45

năm đó là bao nhiêu?

KHẤU HAO

Giả sử bạn vay 5.000 đô la từ một ngân hàng để mua một

chiếc ô tô và đồng ý hoàn trả khoản vay với 36 khoản, thanh toán hàng tháng bằng nhau, bao gồm tất cả các khoản lãi phải trả

Nếu ngân hàng tính phí 1% mỗi tháng trên số dư chưa thanh toán (12% mỗi năm cộng dồn hàng tháng), thì mỗi khoản

thanh toán phải trả bao nhiêu để trả hết nợ, kể cả lãi trong 36 tháng?

Trên thực tế, ngân hàng đã mua một niên kim từ bạn

Câu hỏi đặt ra là: nếu ngân hàng trả cho bạn $ 5.000 (giá trị hiện tại) cho một khoản tiền hằng năm trả cho họ $PMT mỗi tháng trong 36 tháng với lãi suất 12% hàng tháng, thì số tiền trả hàng tháng (PMT) là bao nhiêu? (Lưu ý rằng giá trị của niên kim vào cuối 36 tháng là bằng không?)

Nói chung, khấu hao một khoản nợ có nghĩa là thanh

toán khoản nợ này trong một khoảng thời gian nhất định bằng các khoản thanh toán định kỳ với lãi kép

Ta quan tâm đến các khoản thanh toán định kỳ bằng

Ví dụ 23 Giả sử bạn mua một chiếc ti vi trị giá 800$ và

đồng ý trả trong vòng 18 tháng với các khoản thanh toánbằng nhau Giả sử lãi suất là 1,5%/tháng đối với khoản nợcòn lại

a) Hàng tháng bạn phải trả bao nhiêu tiền?

b) Khoản tiền lãi bạn phải trả tổng cộng là bao nhiêu?

LỊCH TRÌNH KHẤU HAO (AMORTIZATION SCHEDULES)

Khái niệm Lịch trình khấu hao là bảng kế hoạch thể hiện

từng khoản thanh toán cho khoản vốn vay và khoản lãisuất trong toàn bộ thời gian vay Lịch trình khấu hao cũngthể hiện khoản dư nợ được giảm dần cho đến khi bằng 0

Ví dụ 24 Giả sử bạn vay 500$ và đồng ý trả góp trong

vòng 6 tháng với số tiền góp bằng nhau Lãi suất là 1% mỗi tháng trên số tiền chưa trả Hãy lập kế hoạch trả nợdần cho khoản vay?

LỊCH TRÌNH KHẤU HAO

Số tiền phải trả hàng tháng:

Ở cuối tháng thứ nhất, số tiền lãi phải trả là: 0,01*500=5$

Như vậy số tiền thanh toán 86,27$ ở tháng 1 gồm 2 phần: 5$ tiền lãi và 81,27$ tiền vốn gốc.

Khoản dư nợ ở tháng thứ 2 là: 500 - 81,27=418,73 ($)

Ở cuối tháng thứ nhất, số tiền lãi phải trả là: 0,01*418,73=4,19$

Cuối tháng thứ 2 ta thanh toán 86,27$, khoản tiền này gồm 4,19$ tiền lãi



LỊCH TRÌNH KHẤU HAO

Thứ tự thanh

toán

Khoản thanh toán Khoản lãi Giảm dư nợ Dư nợ

BẢNG KHẤU HAO

Ví dụ 25 Lập bảng khấu hao cho khoản vay 1000$, trả

góp hàng tháng, trong vòng 6 tháng với lãi suất

GIÁ TRỊ HIỆN TẠI RÒNG (NPV)

Giá trị tương lai của tiền tệ là giá trị tại một thời điểm

nhất định trong tương lai của một khoản đầu tư ở hiệntại với một mức lãi suất cho trước

Giá trị hiện tại của tiền tệ là giá trị tính đổi về thời điểm

hiện tại của dòng tiền tệ tương lai

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ

1 Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn

2 Giá trị tương lai của dòng tiền

2.1 Giá trị tương lai của dòng tiền đều

2.2 Giá trị tương lai của dòng tiền không đều

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA KHOẢN TIỀN ĐƠN

Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn (khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền này ở thời điểm hiện tại

cộng với số tiền lãi mà nó sinh ra trong khoảng thời gian

từ hiện tại cho đến một thời điểm trong tương lai

i

 1 n

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA MỘT KHOẢN TIỀN ĐƠN

Ví dụ 26 Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm

5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngày đứa trẻ chàođời, để 18 năm sau cậu bé có tiền vào đại học Lãi suất

hàng năm là 6% Vậy số tiền mà người con trai sẽ nhận

được khi vào đại học là bao nhiêu?

Tính theo lãi kép

 1 n 5.000.000 1 6%  18 14.271.695

VÍ DỤ 27

Một người muốn để dành tiền cho tuổi già bằng cách gửitiết kiệm vào ngân hàng, lãi suất ngân hàng là 13%/năm Người đó phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền ở thờiđiểm hiện tại, để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệuVNĐ? (tính theo lãi kép)

i

QUY TẮC 72

TỐC ĐỘ TĂNG TRƯỞNG

Mức tăng trưởng bình quân tầm 6.5%

QUY TẮC 72

Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng (lãi suất theo năm), thì kết quả là một ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con số ban đầu tăng gấp đôi

72/6.5 = 11 khoảng

2029 thì thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam sẽ đạt 4.800 đô-la (từ mức 2.400 đô-la hiện nay).

72 chia cho 8 được 9

 sẽ mất 9 năm để

tăng gấp đôi số tiền

của bạn với lãi suất

hằng năm là 8%.

DÒNG TIỀN (CHUỖI TIỀN TỆ)

Dòng tiền tệ (gọi tắt là dòng tiền) là một chuỗi các khoảntiền (thu nhập hoặc chi trả) xảy ra qua một số thời kỳ

nhất định

Phân loại:

- Dòng tiền đều

- Dòng tiền không đều

Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chính làtổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ở từngthời điểm khác nhau trong n năm

Tương tự cho giá trị hiện tại.

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA NHIỀU KHOẢN TIỀN

Ví dụ 28 Một người lập 1 sổ tiết kiệm gửi đầu tiên 1 triệu

đồng Sau 4 năm gửi 3 triệu đồng, sau 6 năm gửi 1,5 triệuđồng Lãi suất là 12%/năm, ghép lãi nửa năm 1 lần Hỏisau 10 năm người đó có được bao nhiêu tiền?

DÒNG TIỀN ĐỀU & KHÔNG ĐỀU

Khái niệm Dòng tiền đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền

bằng nhau được phân bố đều đặn theo thời gian.

3 loại dòng tiền đều :

• Dòng tiền đều thông thường (ordinary annuity) – xảy ra vào cuối kỳ

• Dòng tiền đều đầu kỳ (annuity due) – xảy ra vào đầu kỳ

• Dòng tiền đều vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ và không bao giờ chấm dứt

DÒNG TIỀN KHÔNG ĐỀU

Dòng tiền không đều (mixed cash flows)

Dòng tiền không đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền không bằng nhauphát sinh qua một số thời kỳ nhất định

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI DÒNG TIỀN ĐỀU

VÍ DỤ 29

Một người muốn có số tiền học phí 35.000 USD cho con trai đi du học vào 4 năm sau thì anh ta phải gửi tiết kiệmhàng năm một khoản cố định là bao nhiêu? Biết lãi suấttiền gửi là 6%/năm

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI DÒNG TIỀN ĐỀU

VÍ DỤ 30

Một người quyết định dành tiền để mua mở nhà hàng sau 7 năm nữa Hiện tại trong tài khoản người đó đã có 30.000USD và người đó quyết định trong vòng 6 năm vào cuối mỗi năm sẽ tiết kiệm và gửi vào tài khoản số tiền 30.000USD Nếu lãi suất tiết kiệm là 7%/năm thì

sau 7 năm người này có thể mở nhà hàng với số tiền tối

đa là bao nhiêu?

Giá trị hiện tại của dòng tiền đều

i



ĐỊNH NGHĨA 2 VỀ NPV

Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riêng lẻ sau khi

đã chiết khấu, theo nghĩa trên.

CI: cash in (luồng tiền thu về)

CO: cash out (luồng tiền chi)

n: số năm hoạt động của dự án

t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm gốc