Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 2 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 2: Tối ưu hàm một biến số cung cấp cho người học các kiến thức: Cực trị địa phương (tương đối) và toàn cục, vẽ đồ thị hàm số, thống nhất về cách tính gần đúng đạo hàm bậc 1 và 2,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 02:

TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN SỐ

Thời lượng: 3 tiết

Cực trị địa phương (tương đối) và toàn cục

Điều kiện cần của cực trị địa phương

Nếu hàm số f(x) được xác định trên đoạn [a,b] và có cực trị địa phương tại x=x* (a<x*<b) và nếu đạo hàm f’(x) tồn tại dưới dạng một số hữu hạn tại x=x* thì f’(x*) = 0

Đạo hàm f’(x*) không tồn tại khi mà:

h>0, nên đạo hàm là

không xác định tại các điểm đầu và cuối đoạn

Điều kiện đủ của cực trị địa phương

 n   0

Cực tiểu Cực đại

Điểm dừng

Điểm dừng (Stationary point)

Điểm dừng, f’(x)=0

Bài tập ví dụ 1

Cho hàm đa thức 1 biến số Yêu cầu:

1 Tìm tọa độ các điểm dừng (Stationary point)

2 Xác định trong số các điểm dừng, đâu là cực tiểu, đâu là cực đại và đâu là điểm uốn

Vẽ đồ thị hàm số

Các phương pháp số để tìm cực trị hàm 1 biến

Các phương pháp dựa trên độ

dốc Tức là dựa trên việc giải

phương trình f’(x)=0

Việc tính đạo hàm f’(x) cũng

được tính bằng phương pháp

số gần đúng

NHƯ VẬY

Phương pháp chia đôi đoạn (Bisection)

 

f  x

Vùng tìm kiếm 1 Vùng tìm kiếm 2

Vùng tìm kiếm 3 Vùng tìm kiếm 4

Vùng tìm kiếm 5

Phương pháp chia đôi đoạn (Bisection)

Bài tập ví dụ 2

Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [a, b] bằng pp chia

đôi đoạn với 5 vòng lặp

Sử dụng trang web online vẽ đồ thị

Sử dụng trang web online vẽ đồ thị

1

2

1

4

5

Vì do khoảng x như nhau, còn khoảng y khác nhau, nên giá trị

biên bên trái của y ta lấy giá trị nhỏ nhất của 2 đồ thị, giá trị biên

bên phải của y ta lấy giá trị lớn nhất của 2 đồ thị

y tại 1 điểm Dựng tiếp

tuyến với y tại điểm đó

Đường tiếp tuyến sẽ cắt

trục hoành tại điểm x1

Với điểm x1 ta lại làm như

ở bước x0 lúc đầu Cứ như vậy đến khi nào cách

biệt giữa x i+1 và x i nhỏ hơn một sai số cho phép

Phương pháp Newton–Raphson

Phương pháp cát tuyến (Secant Method)

1 2 3 4

5 5

Hàm số đơn phương thức (Unimodal function)

Cho hàm số f xác định trên khoảng [a,b] Giả sử rằng trong

khoảng giá trị này tồn tại một điểm cực tiểu địa phương duy

nhất x*, mà tại đó hàm f nghịch biến khi x≤x* và đồng biến khi

x≥x* Hàm số f như vậy gọi là hàm đơn phương thức chặt chẽ

Có 3 trường hợp vị trí của x* trong khoảng [a,b]:

- x* nằm giữa [a,b]

- x* trùng với a

- x* trùng với b

1

x

Cho hàm số f xác định trên khoảng [a,b] Giả sử rằng trong

khoảng giá trị này tồn tại một điểm cực tiểu địa phương duy

nhất x*, mà tại đó hàm f nghịch biến khi x≤x1 * , không đổi trong

khoảng [x1*, x2*] và đồng biến khi x≥x2* Hàm số f như vậy gọi

là hàm đơn phương thức không chặt chẽ, hay hàm đơn

phương thức nói chung

Hàm số đơn phương thức (Unimodal function)

Nếu với mọi x thuộc [a,b] thoãn mãn điều kiện f’’(x) > 0 thì hàm

số f(x) đơn phương thức trong khoảng [a,b]

Ví dụ: xét hàm số sau trên các khoảng [-4,-3] và [0,1]

Các phương pháp trực tiếp

Một loạt các phương pháp dựa trên việc so sánh giá

phương pháp này thường được gọi là các phương

đơn phương thức trên đoạn [a,b] Giả sử rằng số

những điểm thử đó

a x1 x2 x k1 x k x k1 x N1 x N b

Tìm điểm x+ xấp xỉ với điểm cực tiểu x* của hàm đơn phương thức trên đoạn [a,b] Giả sử ta chia đều đoạn thành N+1 đoạn, suy ra số lượng điểm thử là N và x k là một trong số

những điểm thử đó, thỏa mãn điều kiện f(x k )=minf(x i ); i=1 N

Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]:

f x  x  x e

Phương pháp tìm kiếm tuần tự

Giả sử để giải bài toán tối ưu hóa đã cho

ta lần lượt tính giá trị của hàm f tại N

điểm x1, x2, …, xN Trong đó việc xác định

giá trị xk ta có thể sử dụng thông tin về

giá trị hàm số trong tất cả các điểm

trước đó là x1, x2, …, xk-1

Phương pháp tìm kiếm tuần tự (sequential search methods)

Nếu hàm số f đơn phương thức trong khoảng [a;b] thì nó sẽ đơn phương thức trong bất kz khoảng [c;d] nào nằm trong

[a;b]

x

Phương pháp chia đôi đoạn

1) Bước 1: Cho sai số dừng vòng lặp là ε

2) Bước 2: Chọn độ rộng khoảng chia đôi δ (≤ε/2)

5) Bước 5: Nếu k 1   thì dừng, còn không thì tiếp tục

Phương pháp chia đôi đoạn

Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]:

f x  x  x e

ε=0.01; δ=0.001

Phương pháp Fibonacci

Số Fibonacci: Fn  Fn1  Fn2 n≥2

Ví dụ 20 số đầu tiên của dãy Fibonacci:

Phương pháp chia đôi đoạn đòi hỏi trong mỗi bước lặp k phải

tính 2 giá trị mới của hàm số bởi vì các giá trị mà tìm được ở

bước lặp trước tại các điểm α (k-1) và β(k-1) sẽ không được sử dụng tiếp tục nữa Tuy nhiên, một trong số 2 điểm này lại là nghiệm

x (k+1) và nó lại nằm giữa đoạn [a (k) ;b (k)] Như vậy, từ nay sự rút

gọn đoạn [a (k) ;b (k)] có thể được thực hiện bằng cách tính thêm giá trị hàm số tại một điểm mới

Phát hiện này sẽ đưa ta đến các phương pháp mới, đòi hỏi trong mỗi bước lặp (ngoại trừ bước đầu tiên) chỉ cần tính một giá trị

mới của hàm số f Và một trong số đó là phương pháp Fibonacci

Phương pháp Fibonacci

1) Bước 1: Cho sai số dừng vòng lặp là ε

2) Bước 2: Tính số bước lặp N dựa vào điều kiện F N+1 > (b0-a0)/ε 3) Bước 3: Tính

Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]:

f x  x  x e

ε=0.01  N=11

Có N-1 = 10 bước lặp

1) Bước 1: Cho sai số dừng vòng lặp là ε

Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [0;1]:

f x  x  x e

ε=0.01