Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết mẫu cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp mẫu, phân phối của trung bình mẫu, các thuật ngữ, phân phối xác suất của thống kê mẫu,...Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1LÝ THUYẾT MẪU
1
Tổng thể (population) Mẫu (Sample) Tham số (parameter) Thống kê (statistic)
2
Nội dung
• Trong lý thuyết mẫu hay thống kê suy diễn ta
thường dùng các đặc trưng của mẫu (statistic) để
ước tính các đặc trưng của tổng thể (parameter)
• Nếu ta lấy mẫu cỡ n từ tổng thể thì điều gì sẽ xảy
ra? Trung bình mẫu sẽ có quy luật phân phối gì? Tỷ
lệ mẫu có quy luật gì?
• Để ước tính trung bình tổng thể ta dùng đặc trưng
nào của mẫu? Tương tự cho các tham số khác như
tỷ lệ và phương sai?
• Phải hiểu rõ quy luật phân phối của mẫu
(sampling distribution)
3
Tổng thể Mẫu TQ Mẫu cụ thể Kích
Trung bình Phương sai
Độ lệch chuẩn
Tỷ lệ A Tóm tắt tổng thể và mẫu
4
E X
2
V X
V X
pP A
X
2 2
2 *
; ;
S S S
*
; ;
S S S F
x
2 2 * 2
; ;
s s s
*
; ;
s s s f
Các thuật ngữ
• Tham số (Parameters) là các đại lượng số đặc trưng
của tổng thể Đây là các giá trị cố định
• Thống kê (Statistics) là các đại lượng đặc trưng của
mẫu Chúng biến đổi từ mẫu này sang mẫu khác và
nhìn chung là các biến ngẫu nhiên Ta cố gắng xác định
quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên
này Từ đó tìm ra cách suy diễn cho tổng thể
• Sai số chuẩn (Standard error) là độ lệch chuẩn của một
thống kê mẫu
• Độ lệch chuẩn (Standard deviation) liên quan đến một
mẫu
Phân phối của trung bình mẫu
• Một bể cá lớn từ trại cá giống đang được chuyển đến hồ
Ta muốn biết chiều dài trung bình của cá trong bể Thay vì
đo chiều dài của toàn bộ cá trong bể ta chọn ngẫu nhiên một mẫu và sử dụng trung bình mẫu để ước lượng cho trung bình tổng thể
• Đặt trung bình mẫu là 𝑋 Giá trị của 𝑋 là ngẫu nhiên do phụ thuộc vào mẫu được chọn ra
• Trung bình mẫu 𝑋 được gọi là một thống kê
• Trung bình của tổng thể là cố định, ta ký hiệu là μ
• Phân phối của trung bình mẫu cũng là phân phối của biến ngẫu nhiên 𝑋
• Thông thường, phân phối của trung bình mẫu rất phức tạp ngoại trừ trường hợp cỡ mẫu rất nhỏ hoặc rất lớn
• Phương pháp chọn mẫu là ngẫu nhiên, không hoàn lại
Trang 2Ví dụ minh họa
• Tổng thể là trọng lượng của sáu quả bí ngô (kg) được
trưng bày trong một gian hàng trò chơi "đoán trọng
lượng" của hội chợ Bạn được yêu cầu đoán trọng
lượng trung bình của sáu quả bí ngô bằng cách lấy một
mẫu ngẫu nhiên mà không hoàn lại từ tổng thể
7
Quả bí A B C D E F Trọng lượng (kg) 19 14 15 9 10 17
Trung bình tổng thể: μ=14 (kg)
Chọn mẫu cỡ n=2
Sample Weight 𝑋 Probability
A, B 19, 14 16.5 1/15
A, C 19, 15 17.0 1/15
A, D 19, 9 14.0 1/15
A, E 19, 10 14.5 1/15
A, F 19, 17 18.0 1/15
B, C 14, 15 14.5 1/15
B, D 14, 9 11.5 1/15
B, E 14, 10 12.0 1/15
B, F 14, 17 15.5 1/15
8
𝑋 9.5 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.5 16.0 16.5 17.0 18.0
P 1/15 1/15 2/15 1/15 1/15 1/15 1/15 2/15 1/15 1/15 1/15 1/15 1/15
Sample Weight 𝑋 Probability
C, D 15, 9 12.0 1/15
C, E 15, 10 12.5 1/15
C, F 15, 17 16.0 1/15
D, E 9, 10 9.5 1/15
D, F 9, 17 13.0 1/15
E, F 10, 17 13.5 1/15
Bảng phân phối xác suất của trung bình mẫu:
14
E X
Chọn mẫu cỡ n=5
A, B, C, D, E 19, 14, 15, 9, 10 13.4 1/6
A, B, C, D, F 19, 14, 15, 9, 17 14.8 1/6
A, B, C, E, F 19, 14, 15, 10, 17 15.0 1/6
A, B, D, E, F 19, 14, 9, 10, 17 13.8 1/6
A, C, D, E, F 19, 15, 9, 10, 17 14.0 1/6
B, C, D, E, F 14, 15, 9, 10, 17 13.0 1/6
9
𝑋 13.0 13.4 13.8 14.0 14.8 15.0
14
E X
Tổng hợp
• Nếu cỡ mẫu lớn thì?
• Cần chọn mẫu cỡ bao nhiêu?
• Trung bình mẫu có quy luật phân phói như thế nào?
• Xu hướng trung tâm của trung bình mẫu là?
• Mức độ biến động của trung bình mẫu so với xu hướng trung tâm?
10
Phân phối xác suất của thống kê mẫu
• Bị ảnh hưởng bởi:
Cỡ mẫu
Phân phối của tổng thể
Cách thức chọn mẫu
Tổng thể và tham số tổng thể
• Kích thước N, gồm các phần tử có cùng một dấu hiệu nghiên cứu X
• X: bnn gốc của tổng thể
• PPXS của X cũng là ppxs của tổng thể
• Các tham số tổng thể tham số đặc trưng của bnn X
E X V X pP X
Trang 3Mẫu ngẫu nhiên – tổng quát
• Định nghĩa Tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2,
…, Xnthành lập từ biến ngẫu nhiên gốc X được gọi là
mẫu ngẫu nhiên cỡ n (kích thước n)
• Ký hiệu: W=(X1, X2, …, Xn) trong đó Xilà các bnn
• Xi có cùng quy luật phân phối với X
• Một phép thử với mẫu ngẫu nhiên là một mẫu cụ thể
gồm n quan sát w=(x1,x2,…,xn)
13
E X E X V X V X
Các đặc trưng mẫu (statistic)
• Trung bình mẫu:
14
𝑛 − 1
𝑖=1
𝑛
𝑋 𝑖 − 𝑋 2
𝑆2=1 𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖− 𝑋 2
𝑆 ∗ 2 =1 𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖− 𝜇 2
𝑋 =𝑋1+ 𝑋2+ +𝑋𝑁
𝑛
Y F n
Tính chất các thống kê mẫu
• Trung bình mẫu:
• Phương sai mẫu:
• Tỷ lệ mẫu:
15
*2 2
E S
2 n 1 2
E S
n
2 2
E S
E F p V F
n
Thực hành tính thống kê mẫu Điều tra thời gian sử dụng internet trong tuần của 90 sinh viên một trường ta được bảng số liệu sau:
Hãy tính các thống kê mẫu sau:
a) Trung bình mẫu, phương sai mẫu(đã hiệu chỉnh), phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh?
b) Tỷ lệ sinh viên trong mẫu có thời gian sử dụng trên 5 giờ một tuần?
16
Thời gian (giờ) 3 4 5 6 7 8
Số sv 7 8 17 24 20 14
Cách 1_Lập bảng
xi ni xini (xi)2ni
Tổng
i
n
i i
x n
i
x n x n
i
n n
Cách 1_Lập bảng
xi ni xini (xi)2ni
Trang 4Cách 1_Lập bảng
• Cỡ mẫu:
• Trung bình mẫu:
• Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
• Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh:
19
90
i
n n
534 5,9333 90
i i
x n x n
2 2,0844
x n i i
n
2
2
2,1078
1
n
Độ lệch mẫu đã hiệu chỉnh:
Cách 2 dùng máy tính 570ES
1 Shift + 9 + 3 + = + =: Reset máy
2 Shift + Mode ++ 4 + 1: bật tần số (frequency on)
3 Mode + 3 + 1: vào tính thống kê 1 biến (stat1-var)
4 Khi này ta có bảng sau:
20
1 2 3
Cách 2 dùng máy tính 570ES
• Ta nhập vào như sau:
• Nhấn AC để thoát
21
Cách 2_dùng máy tính 570ES
6 Lấy số liệu thống kê: Shift + 1 + 5 (4) Chọn Var
Ta có bảng sau:
Tương ứng:
1: cỡ mẫu 2: trung bình mẫu
22
3: x 4: sx
x
Không phải phương sai
Ví dụ 1 Lượng xăng hao phí của một ô tô đi từ A đến B sau 30 lần
chạy kết quả cho trong bảng
Lượng xăng
hao phí
Số lần tương
ứng
9,6 – 9,8 3
9,8 – 10 5
10 – 10,2 10
10,2 – 10,4 8
10,4 – 10,6 4
a) Tính trung bình mẫu b) Tính độ lệch chuẩn mẫu
c) Tính độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh
Mô phỏng phân phối mẫu
• http://onlinestatbook.com/stat_sim/sampling_dis t/index.html
• http://www.jbstatistics.com/sampling-distributions/
• https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat41 4/node/132/
• https://shiny.rit.albany.edu/stat/
Trang 5Phân phối xác suất của thống kê mẫu
• A Biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn
• B Biến ngẫu nhiên gốc có phân phối B(1,p)
• C Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• D Hai tần suất của hai tổng thể
25
1 Tổng thể có phân phối chuẩn
• Cho tổng thể có phân phối chuẩn
• Biến nn gốc X~N(µ; σ2)
• Ta có:
26
2
X n
n
X n
t n S
2 Tổng thể có phân phối nhị thức
• Gọi p là tỷ lệ một tính chất A nào đó của tổng thể
• Khi này ppxs của bnn gốc X là: B(1;p) hay A(p)
• Lấy mẫu nn cỡ n, gọi F là tỷ lệ mẫu
• Ta có:
27
1
1
p p F p n
3 Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• Cho hai tổng thể và 2 bnn gốc:
• Ta tiến hành lấy 2 mẫu độc lập:
• Các thống kê mẫu tương ứng:
28
~ X; X ; ~ Y; Y
X N Y N
1 2 1 2
W n X X, , ,X n W m Y Y, , ,Y m
3 Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• Ta có:
• Do đó:
X Y N
n m
2 X2 Y ~ 0;1
N
3 Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• Nếu chưa biết 2 phương sai nhưng mẫu lớn m>30, n>30 thì:
2 X2 Y 0;1
X Y
X Y
S S
n m
Trang 63 Hai tổng thể có pp Chuẩn, mẫu nhỏ
• Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• Trường hợp mẫu nhỏ (m hay n<30) và có thêm giả
thuyết2 phương sai bằng nhau(chưa biết) ta có:
• Với S2là phương sai chung được ước lượng như sau
31
2 X2 Y ~ t 2
X Y
S S
n m
x x y y
n S m S S
3 Hai tổng thể có pp Chuẩn, mẫu nhỏ
• Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• Trường hợp mẫu nhỏ (m hay n<30) và có thêm giả thuyết2 phương sai khác nhau(chưa biết) ta có:
• Trong đó:
32
X Y
S S
n m
2
/ /
X Y
S n S m k
S n S m
3 Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• Cho hai tổng thể và 2 bnn gốc:
• Ta tiến hành lấy 2 mẫu cỡ n và cỡ m
• Ta có:
33
~ X; X ; ~ Y; Y
X N Y N
1 2 1 2
W n X X, , ,X n W m Y, Y , , Ym
2
2
1
/ 1
/
~ 1; 1
/ 1
X
Y
n S
n S
F n m
m
3 Hai tổng thể có phân phối chuẩn
• Cho hai tổng thể và 2 bnn gốc:
• Ta tiến hành lấy 2 mẫu cỡ n và cỡ m
• Tương tự:
34
~ X; X ; ~ Y; Y
X N Y N
1 2 1 2
W n X X, , ,X n W m Y, Y , , Ym
*2 2
*2 2
/
/
S
F n m S
4 Hai tổng thể chưa biết ppxs, mẫu lớn
• Hai tổng thể có ppxs chưa biết
• Kích thước mẫu lớn m>30, n>30
• Đã biết hai phương sai
• Chưa biết hai phương sai:
2 X2 Y 0;1
X Y
X Y
n m
2 X2 Y 0;1
X Y
X Y
S S
n m
5 Hai tổng thể có phân phối B(n,p)
• Cho hai tổng thể có tỷ lệ lần lượt là p1; p2
• Lấy mẫu cỡ n từ tổng thể 1, tần suất mẫu F1=k1/n
• Lấy mẫu cỡ m từ tổng thể 2, tỷ lệ mẫu F2=k2/m
• Với n, m đủ lớn ta có:
1 2 1 2
~ 0;1
F F p p
p p p p
Trang 7Tổng thể Mẫu TQ Mẫu cụ thể
Kích
Trung
bình
Phương
sai
Độ lệch
chuẩn
Tỷ lệ A
Tóm tắt tổng thể và mẫu
37
E X
2
V X
V X
pP A
X
2 2
2 *
; ;
S S S
*
; ;
S S S F
x
2 2
2 *
; ;
s s s
*
; ;
s s s f
, t
2
N
Tổng thể Mẫu TQ Mẫu cụ thể Trung
bình Phương sai
Tỷ lệ PPXS đối với hai mẫu độc lập
38
;
X Y
2; 2
X Y
1; 2
p p
;
X Y
2 2
;
S S
1; 2
F F
;
x y
2 2
2 *
; ;
s s s
1; 2
f f
, t
F
N
Tổng hợp phân phối mẫu
• Một tổng thể
• Hai tổng thể
39
1 ~ ??? 2 ~ ???
1
3 ~ ??? 4 ~ ??? 5 ~ ???
1
S
p p
3 ~ ??? 4 ~ ??? 5 ~ ???
Ví dụ 1
• Giả sử bạn lấy mẫu 100 giá trị từ tổng thể có trung bình 500 và độ lệch chuẩn 80 Tính xác suất để trung bình mẫu nằm trong khoảng (490, 510)
40
Ví dụ 2 Một mẫu kích thước n được rút ra từ tổng thể phân phối
chuẩn với trung bình là μ và độ lệch chuẩn 10 Hãy xác
định n sao cho:
Ví dụ 3 Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 20,5 và độ lệch chuẩn 2
Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm để kiểm tra thì với xác suất 0,95 trọng lượng trung bình của chúng sai lệch so với trọng lượng qui định tối đa là bao nhiêu?
Trang 8Ví dụ 4
• Chiều dài của một loại sản phẩm là bnn pp chuẩn
với trung bình 20 m và độ lệch chuẩn 0,2 m Lấy
một mẫu ngẫu nhiên 25 sp
a) Cho biết ppxs của trung bình mẫu Tính kỳ vọng
và phương sai của nó
b) Xs để trung bình mẫu tối thiểu 30,06m
c) Tìm số k để tỷ số giữa phương sai mẫu hiệu
chỉnh và phương sai tổng thể ít nhất bằng k có
xác suất bằng 0,1
43
Ví dụ 5
• Giả sử X là năng suất lúa vùng A có pp chuẩn với phương sai bằng 3 (tạ/ha)2 Lấy một mẫu ngẫu nhiên kích thước 100 Tính xác suất để:
44
1
270
i i