Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 9 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 9: Các bài toán tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí cung cấp cho người học các kiến thức: Thiết kế về hình dạng, quy trình 1 lập mô hình toán tối ưu hóa, các bài toán thiết kế dầm, ứng suất đơn và trượt thuần túy,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

3

Ví dụ như một người nông dân có 1 diện tích đất trồng trọt rất lớn Tuy nhiên ông ta chỉ có lượng lưới thép dài 200 m dùng để làm hàng rào Như vậy ông ta sẽ cần giải bài toán để tìm kích thước thửa đất trồng trọt sao cho chu vi của nó bằng 200 m, và diện tích bên trong của nó lớn nhất có thể để năng suất canh tác của ông ta được lớn nhất

Mảnh cần rào lại để trồng trọt

5

Quy trình 1 lập mô hình toán tối ưu hóa

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán,

nó sẽ bao gồm 2 loại:

- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số

- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc

Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính toán các hàm mục tiêu và ràng buộc

Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm Các ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời giải SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN

Quy trình 2 lập mô hình toán tối ưu hóa

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc

Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính toán các hàm mục tiêu và ràng buộc

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán,

nó sẽ bao gồm 2 loại:

- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số

- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển

Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm Các ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời giải SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN

7

Chú ý, từ quy trình 1 ta đẩy bước 1 xuống về sau bước 5 thì

sẽ thu được quy trình 2

- Quy trình 1 ứng dụng cho những mô hình toán không

quá phức tạp, ngay từ đề bài ta đã có thể liệt kê được toàn bộ các tham biến thiết kế

- Quy trình 2 ứng dụng cho những mô hình toán phức tạp,

mà ở đó phát biểu của bài toán là chưa đủ để biết được hết tất cả các tham biến thiết kế Chỉ sau khi xây dựng được hết tất cả các hệ thức, công thức tính toán thì các tham biến mới lộ diện cũng như ý nghĩa của chúng được làm rõ Khi đó ta mới có thể liệt kê được toàn bộ danh sách của chúng

Sự khác biệt của quy trình 1 và 2

Các bài toán thiết kế dầm (Beam)

Hãy thiết kế kích thước mặt cắt ngang của một cái dầm công-xon bằng

thép dài L=2m chịu tải P=20 kN ở một đầu như hình vẽ để sao cho nó

đủ bền khi chịu uốn và cắt, độ võng tối đa của đầu chịu lực là 1 cm,

đồng thời ít tốt vật liệu nhất có thể Cho biết bề rộng 60mm ≤ w ≤ 300mm, bề dày 10mm ≤ t ≤ 40mm Tỉ lệ w/t không vượt quá 8

Cho E=21e4 N/mm2, G=8e4 N/mm2, [σ u]=165 N/mm 2, [τ c]=90 N/mm 2

9

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:

- Các hằng số:

L=2e3 mm – chiều dài dầm

P=2e4 N – tải trọng tác dụng vào đầu dầm

E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm dầm

G=8e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi trượt của thép làm dầm

[f]=10 mm – độ võng tối đa của đầu dầm chịu tải

[σu]=165 N/mm2 – ứng suất chịu uốn cho phép của dầm

[τc]=90 N/mm2 – ứng suất chịu cắt cho phép của dầm

- Các tham biến điều khiển:

w [mm] – bề rộng mặt cắt

t [mm] – độ dày thành ống mặt cắt

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài

Khối lượng của dầm phải nhỏ nhất có thể thì sẽ tốn ít vật liệu nhất Do dầm đồng chất, chiều dài L đã biết nên khối lượng nhỏ nhất cũng sẽ tương đương với tiết diện mặt cắt nhỏ nhất

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán

Có 3 ràng buộc:

- Ứng suất pháp dạng uốn lớn nhất xuất hiện trong dầm không

được vượt quá giới hạn cho phép [σu]

- Ứng suất tiêp dạng cắt lớn nhất xuất hiện trong dầm không

được vượt quá giới hạn cho phép [τc]

- Độ võng (chuyển vị) lớn nhất của dầm không được vượt qua

giới hạn cho phép [f]

Xác định các kiến thức cần thiết

SỨC BỀN VẬT LIỆU

- Xem lại vẽ biểu đồ để tìm mặt cắt có 2 nội lực M x lớn nhất và Q y lớn nhất

- Xem lại chương các đặc trưng hình học của mặt cắt để tính mômen tĩnh và

mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt

- Xem lại chương điều kiện bền ƯS pháp lớn nhất để tính σmax

- Xem lại chương các trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn để tính τmax

- Xem lại chương chuyển vị của dầm chịu uốn để tính độ võng vmax

trung tâm của cả mặt cắt đối với trục x

Các điểm có ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt cắt A

a

b

12

x a

1 max 2

3 3

4 4

2 2e4

8 2 2

12

2 3e4

phân hàm gián đoạn để dễ tìm vị trí chuyển vị đạt cực đại

c c

x x

giá trị âm, tức là cực đại giá trị dương,

hay tại B thì độ võng dầm đạt cực đại

1 4 4

3 3

4 4

4 4

1 2

1 2

24e7

165 2

2 3e4

x x

Đây là bài toán tối ưu hóa phi

tuyến với ràng buộc bất đẳng

thức: 2 tham biến và 8 ràng

buộc bất đẳng thức

Ứng suất đơn và trượt thuần túy

- Điểm b

 

max

3 2

y b

Q bh

     

3 12

x

A b h

bh I

 



4 8

b h y

S y A 

  

2 3

; 3

2 3

; 18

; 81

x

c

x

bh I

y

h y y

b h y b

h

b h y A

h

b h y h y S

   

Nếu mặt cắt đang

Ứng suất đơn và trượt thuần túy

 4 4

; 4

;

2

; 3

y b

4

x d

y d

19

3 3

; 12

x

h y

y b

4

x d

y d

 

3 3

y b

4

x d

y d

; 2

1 1

M c I

y b

Các loại tải trọng Hàm mômen uốn

 

0 0

- Các kích thước lớn nằm trong khoảng [60;300] mm, các kích thước thành mỏng nằm trong khoảng [10;40] mm

- Ứng suất pháp cho phép [σ]=165 N/mm2

- Ứng suất tiếp cho phép [τ]=90 N/mm2

- Môđun đàn hồi E=21E4 N/mm2

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:

- Các hằng số:

P1 =5e3 N – lực tập trung

w1 =2 N/mm – lực phân bố đều

M1 =5e6 N.mm – mômen ngẫu lực

E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm dầm

G=8e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi trượt của thép làm dầm

[f]=10 mm – độ võng tối đa của đầu dầm chịu tải

[σu]=165 N/mm2 – ứng suất chịu uốn cho phép của dầm

[τc]=90 N/mm2 – ứng suất chịu cắt cho phép của dầm

- Các tham biến điều khiển:

27

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài

Khối lượng của dầm phải nhỏ nhất có thể thì sẽ tốn ít vật liệu nhất Do dầm đồng chất, chiều dài dầm đã biết nên khối lượng nhỏ nhất cũng sẽ tương đương với tiết diện mặt cắt nhỏ nhất

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán

Có 3 ràng buộc:

- Ứng suất pháp dạng uốn lớn nhất xuất hiện trong dầm không

được vượt quá giới hạn cho phép [σu]

- Ứng suất tiêp dạng cắt lớn nhất xuất hiện trong dầm không

được vượt quá giới hạn cho phép [τc]

- Ứng suất phẳng (có cả pháp và tiếp) trong dầm không vượt

quá giới hạn cho phép [σu]

- Độ võng (chuyển vị) lớn nhất của dầm không được vượt qua

giới hạn cho phép [f]

- Tỉ lệ kích thước lớn trên kích thước mảnh không vượt quá 8

để đảm bảo tính ổn định thành mỏng

Xác định các kiến thức cần thiết

SỨC BỀN VẬT LIỆU

- Xem lại vẽ biểu đồ để tìm mặt cắt có 2 nội lực M x lớn nhất và Q y lớn nhất

- Xem lại chương các đặc trưng hình học của mặt cắt để tính mômen tĩnh và

mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt

- Xem lại chương điều kiện bền ƯS pháp lớn nhất để tính σmax

- Xem lại chương các trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn để tính τmax

- Xem lại trạng thái ứng suất phẳng theo thuyết bền 3

- Xem lại chương chuyển vị của dầm chịu uốn để tính độ võng vmax

Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính



b t h y b h t y

t y I

t b t bh bh t bht h I

5.5 Tính chuyển vị lớn nhất của dầm: Nên dùng phương pháp tích

phân hàm gián đoạn để dễ tìm vị trí chuyển vị đạt cực đại

5.25

A

1 4

x x

x

z z

z z

3

2

2e3 1

38e9 2e3 0

3 4

3 6e3

h t b t

10 4

8

8

x x

x x x

35

Các bài toán thiết kế giàn thanh

Cho giàn cấu tạo từ 2 thanh thép nhẹ có tiết diện ống mỏng như hình vẽ Tại

điểm nối bản lề chịu lực tác dụng W theo phương 0⁰≤θ≤90⁰ Kích thước của

giàn có thể được lựa chọn khi thay đổi chiều cao h và bề rộng s Kích thước mặt cắt của 2 thanh dạng ống cũng có thể được lựa chọn Hãy thiết kế kết cấu sao cho nó tổng khối lượng của hệ là nhỏ nhất mà vẫn thỏa mãn điều

kiện bền (ứng suất pháp cho phép của thanh là [σ]) Chuyển vị theo phương ngang và thẳng đứng không được vượt quá giới hạn cho phép lần lượt là [f u]

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:

- Các hằng số:

W=2e4 N – tải trọng tác dụng vào điểm khớp nối

θ – góc đặt tải trọng W

E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm thanh

[fu]=5 mm – chuyển vị ngang tối đa của điểm khớp nối

[fv]=7 mm – chuyển vị dọc tối đa của điểm khớp nối

[σ]=165 N/mm2–ứng suất chịu kéo–nén cho phép của thanh

- Các tham biến điều khiển:

h [mm] – chiều cao giàn

s [mm] – chiều rộng giàn

d o1 [mm] – đường kính ngoài của ống thanh 1

d i1 [mm] – đường kính trong của ống thanh 1

d o2 [mm] – đường kính ngoài của ống thanh 2

d i2 [mm] – đường kính trong của ống thanh 2

37

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài

Khối lượng của hệ tức là tổng khối lượng của 2 thanh phải nhỏ nhất Do 2 thanh cùng được làm từ thép nên tức là tổng thể tích của 2 thanh nhỏ nhất

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán

Xác định các kiến thức cần thiết

CƠ LÝ THUYẾT và SỨC BỀN VẬT LIỆU

- Xem lại 2 phương trình cân bằng của chất điểm (điểm khớp bản lề) để tìm

nội lực của 2 thanh

- Xem lại kiến thức sức bền vật liệu chương kéo nén để biết tính ứng suất

pháp và chuyển vị của điểm điểm bản lề

- Xem lại phương pháp nhân biểu đồ Vereshagin để tính chuyển vị được

 

1 1

2 2

o

z z

u z

N   1

2

u z

N   1

2

u z

Phát biểu mô hình toán:

toán tối ưu

hóa phi tuyến

đường kính dây thép (d), đường kính cuộn dây lò xo (D),

số vít của mỗi lò xo sao cho khối lượng nhỏ nhất, đồng thời biến dạng tối đa khi chịu tải là 0.1 in., ứng suất tiếp lớn nhất xuất hiện không vượt quá 1e4 psi trong lò xo Đồng thời tần số dao động tự nhiên của lò xo tối thiểu là

100 Hz Cho biết công thức tính độ cứng (k), ứng suất trượt của lò xo (τ), tần số dao động tự nhiên của lò xo (f n) như sau:

4 3 3

2

8 8

1 2

4

s

n

d G k

D N FD K

d

k g f

m d

F=5000/4=1250 lb – tải trọng tác dụng lên mỗi lò xo

g=386.0886 in/s2 – gia tốc trọng trường

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:

- Các hằng số:

ρ=0.3 lb/in3 – khối lượng riêng của vật liệu lò xo

G=12e6 psi – môđun đàn hồi trượt của vật liệu lò xo

Ks=1.05 – hệ số điều chỉnh ứng suất cắt

F=1250 lb – tải trọng tác dụng lên mỗi lò xo

- Các tham biến điều khiển:

d [in] – đường kính dây thép

D [mm] – đường kính cuộn lò xo

N [-] – số vít của mỗi lò xo

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài

Khối lượng của lò xo cần nhỏ nhất có thể

45

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán

Có 4 ràng buộc:

- Biến dạng tối đa của lò xo khi chịu tải không vượt quá 0.1 in

- Ứng suất tiếp lớn nhất xuất hiện không vượt quá 1e4 psi

- Tần số dao động tự nhiên của lò xo tối thiểu là 100 Hz

Xác định các kiến thức cần thiết

Kiến thức về sức bền vật liệu, dao động cơ học

Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính

x x x

x f

Phát biểu mô hình toán:

2 3

1

1 2

x x

Đây là bài toán tối

ưu hóa phi tuyến

47

r

l

Bài toán thiết kế cơ cấu tay quay con trượt

Cho cơ cấu tay quay con trượt quay với tốc độ không đổi ω=100

rad/s Hãy thiết kế cơ cấu để sao cho tại vị trí θ=30⁰ thì:

a) vận tốc con trượt đạt giá trị lớn nhất

b) Gia tốc con trượt đạt giá trị lớn nhất

Với các điều kiện:

- Groshof để tay quay có thể quay được kín vòng: l≥2.5r

- Các điều kiện về kích thước không gian cơ cấu: 0.5≤r≤10; 2.5≤l≤25;

10≤x≤20 (đơn vị chiều dài)

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:

- Các hằng số:

θ=30⁰ – Vị trí góc cần khảo sát của tay quay

ω=100 rad/s – gia tốc góc không đổi của tay quay

- Các tham biến điều khiển:

r – chiều dài tay quay

l – chiều dài thanh truyền

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài

a) vận tốc con trượt tại vị trí cần xét đạt cực đại

b) gia tốc con trượt tại vị trí cần xét đạt cực đại

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán

Có 2 nhóm ràng buộc:

- Chiều dài của thanh truyền phải không nhỏ hơn 2.5 lần chiều

dài của tay quay để tay quay có thể quay hết đủ 1 vòng trong

1 hành trình theo điều kiện Groshof

- Tọa độ x nằm trong khoảng [10;20]

49

Xác định các kiến thức cần thiết

Kiến thức về cơ lý thuyết động lực học

Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính

5.1 Xác định tọa độ x của con trượt:

0

cos sin 1

Phát biểu mô hình toán:

51

Bài toán thiết kế cơ cấu vít me

Phát biểu bài toán thiết kế tối ưu khối lượng vít me khi chịu lực tải F mà vẫn

đảm bảo các điều kiện ràng buộc:

- Vít me phải tự khóa được

- Ứng suất cắt khi xoắn trong vít me không vượt quá giới hạn trượt của vật

liệu vít me

- Ứng suất cắt trong các ren của vít và đai ốc không vượt quá giới hạn

trượt của vật liệu vít me và đai ốc tương ứng

- Ứng suất dập không được vượt quá giới hạn chịu dập của các ren

- Giới hạn ổn định của vít me không được nhỏ hơn tải F đặt vào

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài

Khối lượng của vít me cần cực tiểu hóa

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán

Có 6 ràng buộc:

- Vít me phải tự khóa được

- Ứng suất cắt khi xoắn trong vít me không vượt quá giới hạn

trượt của vật liệu vít me

- Ứng suất cắt trong các ren của vít không vượt quá giới hạn

trượt của vật liệu vít me

- Ứng suất cắt trong các ren của đai ốc không vượt quá giới hạn

trượt của vật liệu đai ốc

- Ứng suất dập không được vượt quá giới hạn chịu dập của các

ren

- Giới hạn ổn định của vít me không được nhỏ hơn tải F đặt vào

53

Xác định các kiến thức cần thiết

CHI TIẾT MÁY

 Xem lại toàn bộ bài về cơ cấu vít me

Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính 4.1 Các hệ thức liên quan đến điều kiện tự khóa của vít me:

2

p p d

d – đường kính ngoài của vít me

4.2 Các hệ thức liên quan đến ứng suất cắt khi xoắn trong vít me :

2

m y

m

d

T

T F p

d

p d

F=80 kN – tải trọng

β=0.252944 – góc ren

d m – đường kính trung bình của vít me

α – góc xoắn của ren

φ – góc ma sát

h – chiều cao của đai ốc

t – độ dày của ren

d c – đường kính lõi thân vít me

55 4.4 Các hệ thức liên quan đến ứng suất cắt trong các ren của đai ốc:

σ yn=150 MPa – giới hạn đàn hồi kéo của vật liệu đai ốc

4.5 Các hệ thức liên quan đến ứng suất dập không được vượt quá

giới hạn chịu dập của các ren:

1644

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:

- Các hằng số:

(Ở các slides trên)

- Các tham biến điều khiển:

p=x1 – bước ren

d=x2– đường kính ngoài của vít me

h=x3 – chiều cao của đai ốc

1 2

2 1

0.577 0

2 2

0.5 0

16

0 4

2 2 4

Ổn định của thanh trụ chịu nén

Cho thanh dạng ống trụ được chôn dưới đất (liên két ngàm) chịu nén 1

lực P Cần tìm khối lượng tối thiểu

để thanh vẫn thỏa mãn điều kiện bền

- Hệ số ổn định k, phụ thuộc vào mô

đun đàn hồi và ứng chuất chảy của vật liệu

Hãy lập mô hình toán tối ưu hóa,

cho biết bán kính trung bình R của

ống (ở giữa bán kính trong và

ngoài), bề dày thành ống t