Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến

Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, dạng ma trận của bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán dạng chuẩn tắc,... Mời các bạn cùng tham khảo.

VÍ DỤ 1

Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm và bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho một bánh mỗi loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho một bánh mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được cao nhất

VÍ DỤ 1

Gọi x1,x2,x3 lần lượt là số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất.

Điều kiện: xj ≥ 0 = 1,2,3

Tiền lãi thu được (ngàn đồng)

Lượng đường sử dụng và điều kiện:

Lượng đậu sử dụng và điều kiện:

VÍ DỤ 1

Vậy ta có mô hình bài toán:

Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính 3 biến, tìm giá trịlớn nhất của hàm mục tiêu

VÍ DỤ 2

Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng

đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức

ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày

VÍ DỤ 3

Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là

bàn, ghế và tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá bán mỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi loại cần phải sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất và

tổng doanh thu đạt được cao nhất, biết rằng cơ sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất

là 40 triệu đồng và số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6.

Ván xây dựng cần 3 giờ để cưa và 3 giờ để bào 10m ván

Máy cưa làm việc tối đa 8 giờ trong ngày và máy bào làmviệc tối đa 15 giờ trong ngày Nếu lợi nhuận của 10m vánthành phẩm là 120 (ngàn đồng) và lợi nhuận của 10m vánxây dựng là 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải

cưa bao nhiêu ván mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất

BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT

DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT

DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT

ưu của bài toán kia

• Các ràng buộc

chính đều là phương trình

• Các ẩn đều

không âm

BÀI TOÁN DẠNG CHUẨN TẮC

VÍ DỤ 6

Xét bài toán QHTT sau:

Bài toán trên có dạng chính tắc hay chuẩn tắc

VÍ DỤ 6

Ma trận hệ số tự do:

12 3 6

CÁC LOẠI PHƯƠNG ÁN

bài toán quy hoạch tuyến tính được gọi là phương án

chấp nhận được

Định nghĩa Phương án chấp nhận được làm cho hàm

mục tiêu có giá trị lớn nhất (nếu là bài toán max) hay nhỏnhất (nếu là bài toán min) thì được gọi là phương án tối

ưu (PATU)

VÍ DỤ 7

Cho bài toán QHTT:

Trong các phương án sau phương án nào là phương ánchấp nhận được

PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN

Trong bài toán chính tắc Xét phương án

Hệ vectơ liên kết với phương án

Trong đó Aj là vec tơ cột thứ j trong ma trận hệ số Amn

Định nghĩa Phương án cơ bản nếu hệ vecto liên kết với

PACB TRONG BÀI TOÁN CHUẨN TẮC

Cho ẩn cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k, còn các ẩn không

cơ bản bằng 0, nghĩa là:

Ta được một phương án cơ bản x = (0,6,0,0,12,3)

Phương án này không suy biến vì có đủ 3 thành phần dương Đây là phương án cơ bản ban đầu của bài toán

Tổng quát, trong bài toán QHTT dạng chuẩn bất kì, khi cho ẩn

cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k ( k = 1,2,…,m ), còn các ẩn không cơ bản bằng 0, ta được phương án cơ bản ban đầu của bài toán Nếu sắp xếp lại ta có dạng sau

ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Bước 1 Kiểm tra ràng buộc chính

ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Bước 2 Kiểm tra điều kiện dấu các ẩn số

Nếu có ẩn dạng: ta đổi biến:

Nếu ẩn xi có dấu tùy ý ta đổi biến:

Chú ý:

Các ẩn mới và các ẩn phụ đều không âm

Hệ số của các ẩn phụ trong hàm mục tiêu là 0

Khi tìm được PATU của bài toán dạng chính tắc ta chỉ cần tính giá trị của các ẩn ban đầu và bỏ đi các ẩn phụ thì sẽ được PATU của bài toán dạng tổng quát đã cho.

PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC (ĐỒ THỊ)

Sinh viên tham khảo thêm lý thuyết sách

College Mathematics for Busines – Raymond A Barnett

Chương 5 phần Linear Programing

Chỉ dùng cho bài toán quy hoạch tuyến tính 2 biến

min max

j j j

ij j i j

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị Oxy.

Xác định phần được giới hạn bởi các ràng buộc là tập phương án.

Xác định các điểm cực biên (đỉnh) của tập phương án thỏa mãn các ràng buộc.

Xác định giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực

biên.

So sánh và suy ra phương án tối ưu

VÍ DỤ 9 BÀI TOÁN KẾ HOẠCH SẢN XUẤT

Một nhà sản xuất lều sử dụng trên các vùng núi có 2 dòng sản phẩm: tiêu chuẩn và thám hiểm

Mỗi lều tiêu chuẩn yêu cầu 1 giờ công lao động từ bộ phận cắt

Nếu công ty thu được mức lợi nhuận $50 cho mỗi lều tiêu

chuẩn và 80$ cho mỗi lều thám hiểm, thì mỗi ngày nên sản

xuất bao nhiêu lều mỗi loại để tối đa hóa tổng lợi nhuận hàng ngày (giả sử rằng tất cả các lều có thể được bán)?

MÔ HÌNH BÀI TOÁN

Gọi x, y lần lượt là số lều tiêu chuẩn và thám hiểm

0,

32 0

y y

ĐƯỜNG ĐẲNG LỢI

Gán cho P một giá trị cố định và vẽ đồ thị P=50x+80y trên

hệ trục tọa độ Oxy ta có được một đường thẳng Đườngnày có tên là constant profit line hay đường đẳng lợi

Mọi điểm thuộc tập phương án và nằm trên đường nàyđều cho ta một kế hoạch sản xuất và có cùng lợi ích P nhưnhau

Với mỗi giá trị khác nhau của P ta có một đường đẳng lợikhác song song với đường đẳng lợi còn lại, vì có chung hệ

hơn và trượt theo hướng tăng lợi

nhuận, mà không làm thay đổi độ

dốc của nó Giá trị tối đa của P là

bao nhiêu? Giá trị tối đa này xảy ra ở đâu?

(B) Lặp câu (A) cho P = x + 10y.

(C) Lặp câu (A) cho P = 10x + y

CÁC ĐỊNH LÝ

Định lý 1 Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có PATU thì PATU

là một trong các PACB của tập phương án.

Định lý 2 (Về sự tồn tại phương án tối ưu)

A) Nếu tập phương án của bài toán QHTT bị chặn thì cả bài

toán min và max đều có PATU

B) Nếu tập phương án không bị chặn và các hệ số của hàm

mục tiêu đều dương thì bài toán min có PATU nhưng bài toán max không có PATU

C) Nếu tập phương án của bài toán rỗng thì cả bài toán min và max đều không có PATU

TÌM PATU BẰNG PP ĐỒ THỊ

VÍ DỤ 11A

Z max = 28

Z min = 15

VÍ DỤ 11B

Z min = 160Không có max

VÍ DỤ 13

Biểu diễn đồ thị các bất đẳng thức lên

hệ trục tọa độ ta được miền các

phương án là hình ngũ giác ABCDE

Các điểm có tọa độ như sau A(0,0);

B(0,2); C(1,4); D(4,1); E(2,0) là các

điểm cực biên lần lượt thay các cực

biên vào hàm mục tiêu ta có f(A) = 0;

f(B) = 2; f(C) = 3; f(D) = -3; f(E) = -2

Vậy phương án tối ưu x*=(4,1) tại đó

hàm mục tiêu đạt giá trị Min

D C

A B

E

VÍ DỤ 14

Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng 2 loại tàu 100

mã lực và 50 mã lực Trong xí nghiệp có 3 loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch Thợ rèn có 2000 công, thợ sắt có 3000 công, thợ mộc có 1500 công Định mức lao động của mỗi loại tàu được cho trong bản:

Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt

tổng số mã lực cao nhất?

100 mã lực 50 mã lực Thợ sắt (3000)

Thợ rèn (2000) Thợ mộc (1500)

150 120 80

70 50 40

, 0 x

1500 x

40 x

80

2000 x

50 x

120

3000 x

70 x

150

2 1

2 1

2 1

2 1

VÍ DỤ 15

Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán,

360 giờ máy tiện, 150 giờ máy mài để chế tạo 3 loại sảnphẩm A, B, C Để chế tạo một đơn vị sản phẩm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; 1 đơn vị sảnphẩm B cần 3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; 1 đơn vị sảnphẩm C cần 5 giờ máy cán 3 giờ máy tiện, 2 giờ máy mài Mỗi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trịgiá 16 ngàn đồng, mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng.Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cấn chế tạo bao nhiêu đơn vịsản phẩm mỗi loại để tổng giá trị sản phẩm xí nghiệp thuđược là lớn nhất, với điều kiện không dùng quá số giờ

hiện có của mỗi loại máy

VÍ DỤ 16

Một xí nghiệp điện cơ sản xuất quạt điện các loại Cần cắt

từ một tấm tôn các cánh quạt điện theo 3 kiểu A, B, C Có

6 mẫu cắt khác nhau theo bảng sau:

A B C

2 0 0

1 1 0

1 0 1

0 2 0

0 1 2

0 0 3

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Simplex method

Xuất phát từ một PACB đầu tiên, tìm cách đánh giá

PACB ấy, nếu nó chưa tối ưu thì tìm cách chuyển sang một PACB mới tốt hơn.

Quá trình được lặp lại vì số PACB là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước hoặc sẽ kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn hoặc sẽ tìm được phương án tối ưu

Do nhà toán học George Benard Danzig đưa ra năm 1947

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

1) Tìm một phương án cực biên (phương án cơ bản)

2) Xét xem PACB này đã là PATU hay chưa Nếu đã tối ưu

thì kết thúc Ngược lại chuyển sang bước 3

3) Tìm phương án cực biên liền kề tốt hơn PACB đang xét

4) Quay về bước 2

min 2

3 2

4 2

1

3 2

1

4 3

2 1

j

x

x x

x

x x

x

x x

x x

0 1

1

0 1

3

2

B A

1

01

3

2

B A

 0 , 0 , 4 , 5   0 2

0



 f x x

3 2

4

0

5

4 3

2

2 1

4

2 1

3

4 2

1

3 2

1

j

x x

x

x x

x

x

x x

x

x x

x

VÍ DỤ 17

Ta đánh giá f(x) như sau:

Bài toán min nên với

Ta chưa đánh giá được giá trị nhỏ nhất của f

 

    1 1 2 2

0 2

1

2 1

2 1

2 1

4 3

2 1

9 3

2

5 2 3

2 4

3 2

2 3

2

x x

x f x

x x

f

x x

x x

x x

x

f

x x

x x

4

1

4 1

1

x

x x

x x

5 3

2

1 2

3 2

0

5

4 3

2

3 2

4

3 2

1

4 2

1

3 2

1

j

x x

x

x x

x

x

x x

x

x x

x

2 1

2

3 2

9 4

2 3

2

x x

x f

x x

x x

x f

CHÚ Ý

Tổng quát ta có:

Với x0 là phương án cơ bản

+ Nếu bài toán min thì ta cần Delta dương

+ Nếu bài toán max thì ta cần Delta âm

Trong PP đơn hình phía sau thì Delta trong bảng đơn hìnhngược dấu với Delta ở đây

  x  f   x   k xk

Ẩn không cơ bản xk  0

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

j ij

i

ib c

f

i

x

DẤU HIỆU VỀ PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU

1 Nếu ∆k ≤ 0 thì x0 là phương án tối ưu

2 Nếu tồn tại một ∆k > 0 mà ajk ≤ 0 thì bài toán không cóphương án tối ưu

3 Nếu tất cả ∆k > 0 và tồn tại ajk > 0 thì ta có thể tìm

được phương án tốt hơn trong trường hợp bài toán

không suy biến

CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

Nhớ phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận Tương tự như khi đi tìm hạng của ma trận khi biến đổi về dạng bậc thang.

01

03

01

03

24

00

13

42

b A

X3 5

X4 2

X5 1

X6 3

1 0

0 1

0 3

0 1

0 3

2 4

0 0

1 3

4 2

b A

 x 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6

1 0

0 1

0 3

0 1

0 3

2 4

0 0

1 3

4 2

b A

 x 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6

X3 5

X4 2

X5 1

X6 3

2 4

3 1

3 1

X3 5

X4 2

X5 1

X6 3

1 0

0 1

0 3

0 1

0 3

2 4

0 0

1 3

4 2

b A

 x 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6

12 5

3 4 2

3 1

X3 5

X4 2

X5 1

X6 3

:

36

15 4

:

60

16 2

X3 5

X4 2

X5 1

X6 3

Chia hàng mới để có hệ số 1 tại vị trí xoay

Biến đổi trên dòng để các hàng còn lại là 0

Tính lại các giá trị Delta và giá trị f(x0)

X3 5

X4 2

X5 1

X6 3

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý

1) Đối với bài toán có hàm f(x)  max thì có thể chuyển về

giải bài toán với hàm g(x) = −f(x)  min (Chú ý là f max = −g min)hoặc cũng có thể giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu là k ≥ 0, dấu hiệu để điều chỉnh phương án là k < 0, còn các yếu tố

khác của thuật toán không đổi

2) Chọn vectơ đưa vào cơ sở ứng với max là với hy vọng làmtrị số hàm mục tiêu giảm nhiều nhất sau mỗi bước biến đổi, tuy nhiên vectơ đưa vào cơ sở thực sự làm trị số hàm mục tiêugiảm nhiều nhất phải ứng với max   nhưng trên nguyêntắc thì đưa bất kỳ vectơ nào ứng với k > 0 vào cơ sở cũng cảitiến được phương án

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý

3) Trường hợp bài toán suy biến thì θ0 có thể bằng 0, khi θ0

= 0 vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường, nghĩa

là vectơ ứng với θ0 vẫn bị loại khỏi cơ sở

Dấu hiệu xuất hiện phương án cực biên suy biến là θ0

đạt tại nhiều chỉ số, khi đó vectơ loại khỏi cơ sở được

chọn trong số những vectơ ứng với θ0 theo quy tắc ngẫu nhiên.

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý

Khi áp dụng thuật toán cần lưu ý hai trường hợp:

Phương án cực biên x 0 có cơ sở J0 là cơ sở đơn vị, lúc đó ma trận hệ

số phân tích của [ A | b] theo cơ sở đơn vị là chính nó nên ta có thể lập ngay được bảng đơn hình Bài toán dạng chuẩn là bài toán cho ngay một phương án cực biên với cơ sở là đơn vị, nên từ bài toán ta

có thể lập được bảng đơn hình ứng với phương án cực biên ấy.

Nếu J0 không phải là cơ sở đơn vị thì để lập bảng đơn hình trước

hết cần phải tìm ma trận hệ số phân tích theo J0 Để làm điều này ta viết ma trận mở rộng [A | b] sau đó thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận, biến đổi sao cho các vectơ cơ sở trở thành các vectơ đơn vị khác nhau Khi đó ma trận mở rộng sẽ trở

thành ma trận hệ số phân tích

VÍ DỤ 19

Cho bài toán:

Chứng tỏ rằng vecto x0 = (8, 0, 0, 0) là phương án cực biên.

Dùng vectơ trên giải bài toán theo phương pháp đơn hình

VÍ DỤ 19

Dễ thấy rằng x0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán, các ràng buộc là độc lập tuyến tính, vậy x0 là phương

án cực biên không suy biến.

Trước hết phải đưa bài toán về dạng chính tắc

VÍ DỤ 19

Từ x0 suy ra phương án cực biên không suy biến của bài toán dạng chính tắc: x = (8, 0, 0, 0, 18, 12) với cơ

sở là J0 = {A1, A5, A6} không phải là cơ sở đơn vị.

Vì vậy để lập được bảng đơn hình ứng với phương án cực biên x ta phải tìm ma trận hệ số phân tích của

ma trận điều kiện của bài toán dạng chính tắc qua cơ

sở J0

Chú ý rằng vế phải của ma trận hệ số phân tích phải trùng với các thành phần cơ sở của phương án cực biên.

VÍ DỤ 19

Quá trình biến đổi trên ma trận như sau:

Dựa trên ma trận hệ số phân tích ta lập bảng đơn hình

1 0

2

0 1

3

0 0

1

4 1

0

5 5

0

3 2

1

20 8 8

1 0

2

0 1

5

0 0

1

8 7

4

1 1

2

3 2

1

Ta có 3 = 4 > 0, nhưng aj3 < 0 (j  J), bài toán không cóphương án tối ưu.

X3 8

X4 -5

X5 0

X6 0

BÀI TOÁN ẨN GIẢ

QUAN HỆ HAI BÀI TOÁN

 Nếu bài toán M vô nghiệm thì bài toán ban đầu vô

nghiệm

 Nếu bài toán M có nghiệm (x1,x2,…,xn,0,…,0) thì

(x1,x2,…,xn) là nghiệm bài toán ban đầu

 Nếu bài toán M có nghiệm (x1,x2,…,xn,xn+1,…,xn+m) và có ítnhất 1 trong các ẩn giả >0 thì bài toán ban đầu vô nghiệm

 Thuận lợi: có thể xây dựng ngay phương án cơ bản ban đầu thông qua đặt các ẩn giả

VÍ DỤ 22.