Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 6: Hàm nhiều biến cung cấp cho người học các kiến thức về Đạo hàm riêng và ứng dụng bao gồm: Hàm hai biến, đồ thị, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp hai, cực trị có điều kiện,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm riêng và ứng dụng
Lecture 6 Nguyen Van Thuy
Hàm hai biến
Định nghĩa Hàm 2 biến là một quy tắc gán mỗi cặp số thực (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 với duy nhất một số thực ký
hiệu 𝑓(𝑥, 𝑦) Tập D được gọi là miền xác định và
miền giá trị của hàm f là tập 𝑇 = *𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) 𝐷+
𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑥
𝑦
𝑂
6-2
Ví dụ
d) Miền xác định: 𝐷 = *(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)+
2
f x y
2 2
(1, 2)
2.1.0
2 2
6-3
Ví dụ
𝑓 𝑥, 𝑦 = ln (𝑥 + 𝑦 − 1)
c) Tìm và vẽ miền xác định của hàm 𝑓
Đồ thị
Định nghĩa Đồ thị của hàm 𝑓 là tập hợp
3
G x y z z f x y x y D
(𝑥, 𝑦, 0)
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑆
D
𝑥
𝑦
𝑧
O
Mặt cong 𝑆
Miền xác định
6-5
Đồ thị
Ví dụ Dùng Maple, vẽ đồ thị hàm số sau
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2+ 𝑦2
plot3d(sqrt(x^2+y^2), x = -10 10, y = -10 10)
Trang 2Vẽ đồ thị
Ví dụ Vẽ đồ thị các hàm sau
𝑐) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦
Đạo hàm riêng
Định nghĩa Đạo hàm riêng của hàm 𝑓 theo biến 𝑥 tại điểm (𝑎, 𝑏)
Tương tự
'
0
( , ) ( , ) ( , ) lim
f a h b f a b
f a b
h
'
0
( , ) ( , ) ( , ) lim
f a b h f a b
f a b
h
6-8
Đạo hàm riêng
Nhận xét
Khi tính , ta xem 𝑦 là hằng số
Khi tính , ta xem 𝑥 là hằng số
Ví dụ Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3− 3𝑦2+ 2𝑥 − 1
Tính
'
x
f
'
y
f
(1, 2), (1, 2)
6-9
Đạo hàm riêng
Ví dụ Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của
diff(x^y,x)
diff(x^y,y)
Đạo hàm riêng
Câu 259 Tìm vi phân cấp 1 của hàm
𝑧 = ln 𝑥 − 𝑦
𝑥 − 𝑦 𝑏) 𝑑𝑧 =
𝑑𝑦 − 𝑑𝑥
𝑥 − 𝑦
2(𝑥 − 𝑦) 𝑏) 𝑑𝑧 =
𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 2(𝑥 − 𝑦)
Đạo hàm riêng cấp 2
Định nghĩa
Câu 268 Tìm vi phân cấp hai 𝑑2𝑧 của hàm
𝑧 = 𝑥2𝑦3
" ' ' " ' '
" ' ' " ' '
6-12
Trang 3GTLN-GTNN địa phương
Tìm điểm dừng
Tính
Nếu 𝐷 < 0: 𝑀(𝑥0, 𝑦 0 ) là điểm yên ngựa
Nếu 𝐷 = 0: chưa có kết luận
Nếu 𝐷 > 0
: 𝑓 đạt GTNN địa phương tại 𝑀(𝑥 0 , 𝑦0)
: 𝑓 đạt GTLN địa phương tại 𝑀(𝑥0, 𝑦0)
'
0 '
0
0 0
x y
x x f
y y f
Df x y f x y f x y
"
0 0
( , ) 0
xx
f x y
"
0 0
( , ) 0
xx
f x y
6-13
GTLN-GTNN địa phương
Câu 290 Cho hàm 𝑧 = 𝑥2+ 4𝑥𝑦 + 10𝑦2+ 2𝑥 + 16𝑦 Khẳng định nào sau đây đúng?
GTLN-GTNN địa phương
Maple
maximize(𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 2 + 2𝑥 + 16𝑦,location)
minimize(𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 2 + 2𝑥 + 16𝑦,location)
−7, *,*𝑥 = 1, 𝑦 = −1+, −7-+
GTLN-GTNN địa phương
Ví dụ Tìm GTLN, GTNN địa phương và điểm yên ngựa (nếu có) của các hàm số sau
Cực trị có điều kiện
Câu 300 Tìm cực trị của hàm 𝑧 =
1 = 0 Khẳng định nào sau đây đúng?
a) 𝑧 đạt cực đại tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2)
b) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2)
c) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và đạt cực đại tại
𝐵(1, −2)
d) 𝑧 không có cực trị
Bài tập