Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 7 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 7: Phương pháp đồ thị để giải bài toán tối ưu hóa có 2 tham biến cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp đồ thị, tìm giá trik k đẻ hai đường cong tiếp xúc nhau,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Khoa Công nghệ Cơ khí

đồ thị trong trường hợp này lại giúp tìm ra kết quả dễ dàng mà không cần sử dụng những kỹ thuật phức tạp khác

3 bước Cơ bản của phương pháp này là:

- Vẽ đồ thị các hàm ràng buộc

- Xác định miền lời giải hợp lệ (vùng diện tích được giới hạn bởi

các đường cong ràng buộc)

- Vẽ các đường cong đồng mức của hàm mục tiêu để xác định cực

trị ở trong miền hợp lệ

Chú ý: Đi theo hướng của Gradient đến điểm cực trị nhưng phải trong khuôn khổ miền hợp lệ

Bước 2: Vẽ các đường ràng buộc bất đẳng thức

Xét ràng buộc đầu tiên, ta bỏ dấu bất đẳng thức ≤ để vẽ đồ thị đường: x1  x2  16  0

Bước 3: Phân định miền bất đằng thức: Dựa vào tọa độ của 1 điểm thuận tiện không nằm trên đường cong ràng buộc thuộc 1 trong 2 miền Từ đó xác định được dấu của 2 miền 2 phía đường cong

Không hợp lệ

Hợp lệ

Bước 4: Vẽ các đường cong ràng buộc còn lại và xác định miền hợp lệ: Làm tương tự bước 3 cho các đường cong ràng buộc còn lại

A

C

F G

Miền

ABCDE

hợp lệ

Bước 5: Vẽ các đường đồng mức của hàm mục tiêu

“chạm” vào miền hợp lệ Trên

Bước 6: Tìm tọa độ điểm D là điểm mà ta nhận thấy hàm f đạt

cực đại mà vẫn thỏa mãn miền hợp lệ

Dễ dàng nhận thấy D là giao điểm của 2 đường cong ràng buộc

g1 và g2 Tọa độ giao điểm này chính là nghiệm của hệ phương trình:

Phương pháp đồ thị

Khi hàm ràng buộc song song với hàm mục tiêu, chúng ta sẽ có

tình huống nhiều lời giải

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x  1, 2     x1 0.5 x2  min

Với các ràng buộc: 2 x1  3 x2  12; 2 x1  x2     8; x1 0; x2  0

Do hàm mục tiêu f song song với

giải có thể là cả đoạn thằng BC do đường đồng mức của hàm f sẽ trùng với đoạn BC giúp f đạt giá trị nhỏ nhất có thể khi xét tới các ràng buộc

Phương pháp đồ thị

Khi ta bỏ sót các ràng buộc hoặc phát biểu sai bài toán tối ưu

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x  1, 2     x1 2 x2  min

Với các ràng buộc:  2 x1  x2   0; 2 x1  3 x2     6; x1 0; x2  0

Do miền hợp lệ mở rộng đến

vô cùng bên phải, nên không

có lời giải tối ưu hữu hạn

Cần xem lại phát biểu bài toán tối ưu

Phương pháp đồ thị

Khi các ràng buộc mâu thuẫn nhau khiến cho miền lời giải rỗng

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x  1, 2    x1 2 x2  min

Với các ràng buộc: 3 x1  2 x2  6; 2 x1  3 x2  12; x x1, 2    0;5

Miền hợp lệ phải là giao của 2

miền OAG và HDEF Và 2 miền

này hoàn toàn không có 1 khoảng chung nên giao của nó

là 1 tập rỗng Như vậy bản thân các ràng buộc đã mâu thuẫn nhau nên không tồn tại vùng tìm kiếm hợp lệ Bài toán vô

H

1 2

10

248 10 2

2

207 10 10

Gradient Chính vì vậy điểm A là

điểm mà đường đồng mức của

hàm f có thể đạt được giá trị nhỏ

nhất Vậy ta cần tìm tọa độ của A,

nó là giao của 2 đường cong g1 ,

g2

2

0.1558137545 0.0411872369

x x

Miền hợp lệ là tam giác OBC Các

vòng tròn là đường đồng mức

của hàm mục tiêu f

Các véctơ Gradient túa ra từ điểm tâm (1.5;1.5) có nghĩa là giá

trị của hàm f sẽ tăng theo chiều

của các mũi tên Gradient đó

Như vậy ta thấy giá trị nhỏ nhất (gần tâm nhất) có thể mà vẫn thuộc miền hợp lệ chính là tiếp

điểm A của đường đồng mức mầu đỏ với cạnh BC Cũng như

điểm xa tâm nhất thuộc miền

Tìm k để 2 đường cong f x x k  1, 2,   0 và g x x k  1, 2,   0

tiếp xúc với nhau tại 1 điểm và tìm tọa độ giao điểm đó

Ý tưởng nằm ở chỗ: Tìm k để sao cho hệ phương trình sau có

Tìm k để 2 đường cong f x x k  1, 2,   0 và g x x k  1, 2,   0

tiếp xúc với nhau tại 1 điểm và tìm tọa độ giao điểm đó

1) Trước hết ta có 2 phương trình sau:

2) Tính đạo hàm riêng theo 1 trong 2 biến x1 (hoặc x2) của 2

phương trình đường cong, ví dụ theo biến x1:

Cách 3:

Tìm k để 2 đường cong f x x k  1, 2,   0 và g x x k  1, 2,   0

tiếp xúc với nhau tại 1 điểm và tìm tọa độ giao điểm đó

Ý tưởng nằm ở chỗ: Khi 2 đường cong f và g tiếp xúc với nhau tại 1 điểm (a,b) thì 2 véctơ pháp tuyến (Gradient) của 2 đường cong này

sẽ song song (hoặc trùng) nhau Do đó ta có hệ phương trình sau:

min 2

1 1

1 2

2 1

Tìm tọa độ điểm cực đại O là (0;0) Khi đó fmax=4.5

Cách 1:

1 1 0.5

x x k

- O là điểm yên ngựa

Phải đi tìm được tọa

độ những điểm này

Cách 1:

Thế 2 giá trị k vào 1 trong 2 hệ phương trình, ta thu được 4 lời

giải, đó chính là tọa độ 4 điểm cần tìm:

Tọa độ A:

1

min 2

3

3 3

A

A

x

f x

3

3 3

B

B

x

f x

3

15 3

C

C

x

f x

3

15 3

D

D

x

f x

3 3

A

A

x

f x

3

15 3

C C

x

f x

3

3 3

B B

x

f x

3

15 3

D D

x

f x

3 3

A

A

x

f x

3

15 3

C C

x

f x

3

3 3

B B

x

f x

3

15 3

D D

x

f x

C

Ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Tìm cực trị hàm số sau:   2 2

là phần đường màu đỏ nhưng nằm bên trong hình ngũ giác màu vàng (đường ab) Phần bên ngoài hình ngũ giác và bên trong nhưng không thuộc đường cong màu đỏ đều không phải miền lời giải hợp lệ Như vậy ta cần tìm trên phần đường cong ab điểm nào làm cho hàm f đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

b

a

c

34

được chiều tăng giá trị hàm f

Dựa vào các đường đồng mức kết hợp với các véc tơ Gradient ta biết được đường đồng mức nào có giá trị lớn hơn Như vậy, dễ dàng ta thấy:

1 Điểm b sẽ là điểm hợp lệ khiến cho f có giá trị nhỏ nhất b sẽ là giao điểm của đường x1 + 5x2 – 22 = 0 và

1) Trước hết ta có 2 phương trình sau:

1 4

2

; 10

2

1 2

4

3

x x

MATLAB để hỗ trợ vẽ đồ thị

Chỉ dùng để vẽ các đường đồng mức và ràng buộc khi chúng là các hàm phi tuyến

phức tạp Sau đó in ra và tiếp tục vẽ và chú thích bằng tay thêm cho bài toán