Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1a - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Toán cho tài chính cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy số, định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn vô cực của dãy số, tính chất, cấp số nhân, lãi đơn, gãi gộp,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trang 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

TOÁN CHO TÀI

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un).

• ungọi là số hạng thứ n của dãy.

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5

• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5

càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10

-9).

• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng

n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn.

• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5

  2n 11

u n n







Định nghĩa giới hạn dãy số

• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:

• Chênh lệch (un) và a có thểnhỏ tùy ýkhin đủ lớn

n

n n

Trang 2

• Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu:

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0đều tồn tại n1>n0

để chênh lệch giữa un1và a lớn hơn .

• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách giữa dãy (un) và a Độ chênh lệch giữa (un) và a không thể nhỏ tùy ý.

Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi:

• (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ

Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi:

• (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ lớn.

Trang 3

Tính chất

• 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

• 2 Cho lim n; lim n tồn tại hữu hạn Khi đó:

• với q không đổi.

• q được gọi là công bội của cấp số nhân.

• |q|<1 cấp số nhân lùi vô hạn.

n n

x S q



Trang 4

Chuỗi số

• Cho {an} là một dãy số vô hạn.

• Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số:

• Tổng riêng thứ n của dãy:

• Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗi

số (a1+a2+a3+…) là hội tụ và gọi S là tổng của chuỗi số, ký hiệu.

• Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phân kỳ.

2 4

n n

• Nếu |q|<1 thì chuỗi hội tụ và:

• Nếu |q|>1 thì chuỗi số phân kỳ

• Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ

• Nếu q=-1 thì

Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phân

kỳ

11

S q





01

n

n chan S

Trang 5

Lãi suất

• Định nghĩa Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi

trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trong

thời gian đó.

• Ví dụ Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu

được 112 triệu đồng Như vậy sau 1 năm nhà

đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là

Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãikhông sinh lợi

• Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụtài chính ngắn han

• Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tươnglai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư

Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thuđược

26

Công thức tính lãi đơn

• b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãiđơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời

118 triệu vào cuối đợt đầu tư Hỏi thời gian đầu tưbao lâu?

• c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu

là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6tháng (tính theo lãi đơn)?

28

Chú ý

• Nếu đơn vị thời gian của lãi suất i và thời điểm n

không đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi để

chúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng công

thức

• Ví dụ.

• a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng

thu được tổng số tiền là 105,6 triệu Hỏi lãi suất

đầu tư là bao nhiêu?

• b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm Sau một

thời gian rút hết ra thu được 106 triệu Hỏi thời

gian đầu tư mất bao lâu?

Lãi suất ngang giá (tương đương)

• Hai lãi suất i và iktương ứng với 2 chu kỳ khác nhauđược gọi là tương đương nhau khicùng một số vốn,đầu tư trongcùng một thời gianthì chocùng mức lãi

như nhau (giá trị đạt được bằng nhau)

• Giả sử có hai lãi suất i (chu kỳ 1 năm) và ik(chu kỳ 1/kcủa năm)

Trang 6

Ví dụ

• Ví dụ Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi

suất 12%/năm theo phương thức lãi đơn Kết

thúc đợt đầu tư, giá trị đạt được là:

• Theo lãi suất hàng tháng:

• Theo lãi suất hàng năm:

Tỷ suất lợi tức bình quân

• Tỷ suất lợi tức bình quân trong lãi đơn được tính theo phương pháp bình quân có trọng số.

• Trong đó:

• ij là các mức lãi suất khác nhau trong các khoảng thời gian njkhác nhau.

1 1

.

k j j k j j

n i i n

• Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu

đồng với lãi suất thay đổi như sau: 8%/năm

trong 6 tháng đầu; 10%/năm trong 3 tháng tiếp

theo và 12%/năm trong 4 tháng cuối cùng.

• Tính:

• a) Lãi suất trung bình của số vốn vay.

• b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi

• Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn.

–n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)

–Vn: giá trị đạt được sau đầu tư

• Vốn đầu tư ban đầu:

• Thời gian đầu tư:

• Lãi suất đầu tư:

Trang 7

Ví dụ

• a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm

Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệu

đồng (tính theo lãi kép) Hỏi vốn đầu tư ban đầu là

bao nhiêu?

• b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất

10%/năm Sau một thời gian thu được cả vốn lẫn

lời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép) Hỏi

thời gian đầu tư là bao lâu?

• c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu với lãi suất

10%/năm Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là

214,358881 triệu (tính theo lãi kép) Hỏi lãi suất

đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?

Lãi suất ngang giá (tương đương)

• Hai lãi suất i và ik tương ứng với hai chu kỳ khác nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được).

• Giả sử lãi suất i tính theo năm, lãi suất ik tương ứngvới chu kỳ 1/k của năm (1 quý, 6 tháng …) là tươngđương nhau thì:

• Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi

suất 6%/6 tháng Ông B cũng gửi ngân hàng 100

triệu đồng với lãi suất 12,36%/năm Hãy tính số

tiền lãi mà ông A và ông B nhận được sau 1

năm gửi Cho nhận xét.

• Giải

• Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng

và 12,36%/1 năm là tương đương nhau.

Lãi suất bình quân trong lãi kép.

• Ví dụ Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi

kép với lãi suất lũy tiến.

• 8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên;

• 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo;

• 11%/năm trong vòng 4 năm cuối.

• a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu?

• b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu?

40

Lãi suất bình quân trong lãi kép.

Ta có:

Với

là tổng thời gian đầu tư

iklà mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk

So sánh lãi đơn và lãi kép.

• Lãi đơn: Lãi kép:

ã đơ

ã kép

1 0

Trang 8

So sánh lãi đơn và lãi kép.

• Ví dụ Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực

12%/năm Hãy tính :

a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thời

gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm.

b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thời

gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm

c) Vẽ đồ thị của các lãi suất.

Lãi kép liên tục

• Ví dụ Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi suất 8%/năm, tính theo lãi kép Hãy tính lãi thu được nếu ghép lãi theo:

• a) Năm b) Nửa năm

2

0, 08 ) 1 1000 1 1.485,95 $

4

0, 08 ) 1 1000 1 1.485,95 $

4

n n

1

/ i

n t n

n n

• Ví dụ 1 Tính giá trị tương lai của số tiền 5000$ đầu tư

2 năm với mức lãi suất 8%/năm theo phương thức lãikép và thời gian ghép lãi: a) Theo ngày b) Liên tục

• Đáp số: a) 5.867,45 ($) b) 5.867,55 ($)

xe hơi sau 5 năm Giả sử giá của chiếc là 8.000$ và lãisuất hàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gianghép lãi: a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục

Trang 9

Giá trị thời gian của tiền tệ

• Giá trị hiện tại PV

• Giá trị tương lai FV

• Giá trị hiện tại ròng NPV

• Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ IRR

Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền

• Giá trị tương lai của tiền tệ là giá trị tại một

thời điểm nhất định trong tương lai của một khoản đầu tư ở hiện tại với một mức lãi suất cho trước.

• Giá trị hiện tại của tiền tệ là giá trị tính đổi về

thời điểm hiện tại của dòng tiền tệ tương lai.

50

Giá trị tương lai của tiền tệ

1.Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn

2.Giá trị tương lai của dòng tiền

2.1 Giá trị tương lai của dòng tiền đều

2.2 Giá trị tương lai của dòng tiền không đều

Giá trị tương lai của khoản tiền đơn

• Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn (khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền này

ở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nó sinh ra trong khoảng thời gian từ hiện tại cho đến một thời điểm trong tương lai.

i

52

Giá trị tương lai của khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

Giá trị hiện tại của khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

• Tính theo lãi kép

 1 

FV PV

i





Trang 10

Ví dụ

• Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm

5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngày

đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền

vào đại học Lãi suất hàng năm là 6% Vậy số

tiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đại

học là bao nhiêu? (tính theo lãi kép)

để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ?

Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, thì kết quả là

một ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con số

ban đầu tăng gấp đôi

2028 thì thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam sẽ đạt 4.430 đô-la (từ mức 2.215 đô-la hiện nay).

72 chia cho 8 được 9

tăng gấp đôi số tiền

của bạn với lãi suất

hằng năm là 8%.

Dòng tiền (chuỗi tiền tệ)

• Dòng tiền tệ (gọi tắt là dòng tiền) là một chuỗi các khoản tiền (thu nhập hoặc chi trả) xảy ra qua một số thời kỳ nhất định

khoản tiền bằng nhau được phân bố đều đặn theo

thời gian

3 loại dòng tiền đều :

• Dòng tiền đều thông thường (ordinary annuity) – xảy

ra vào cuối kỳ

• Dòng tiền đều đầu kỳ (annuity due) – xảy ra vào đầu

kỳ

• Dòng tiền đều vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ

và không bao giờ chấm dứt

Dòng tiền không đều

Dòng tiền không đều (mixed cash flows)

Dòng tiền không đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền không bằng nhau phát sinh qua một

số thời kỳ nhất định.

Trang 11

Giá trị tương lai của dòng tiền

• Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm

chính là tổng giá trị tương lai của từng khoản

tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n

năm.

Giá trị tương lai của dòng tiền

• Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chính

là tổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n năm.

• FVA( Future Value of Annuity) : Giá trị tương lai củadòng tiền thông thường

• FVAD : Giá trị tương lai của dòng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dòng tiền (các khoản tiền cấu thành)

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn (thường là năm)

62

Giá trị tương lai dòng tiền đều

là bao nhiêu? Biết lãi suất tiền gửi là 6%/năm.

Giá trị hiện tại của dòng tiền

• Giá trị hiện tại của dòng tiền là tổng giá trị hiện tại của các khoản tiền cấu thành

• PVA( Present Value of Annuity): Giá trị hiện tại củadòng tiền thông thường

• PVAD : Giá trị hiện tại của dòng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dòng tiền cấu thành

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn ( thường là năm)

Trang 12

Ví dụ

• Một người quyết định dành tiền để mua mở nhà

hàng sau 7 năm nữa Hiện tại trong tài khoản người

đó đã có 30.000USD và người đó quyết định trong

vòng 6 năm vào cuối mỗi năm sẽ tiết kiệm và gửi vào

tài khoản số tiền 30.000USD Nếu lãi suất tiết kiệm là

7%/năm thì sau 7 năm người này có thể mở nhà

hàng với số tiền tối đa là bao nhiêu?

Giá trị hiện tại của dòng tiền đều

với lãi suất 12%/năm

và thời gian là 5 năm,

mỗi năm trả 50 triệu

VNĐ Biết rằng việc

trả tiền được tiến

hành vào đầu năm

• Đ/S: 12,5 tr

70

Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ bất kỳ

FVA : giá trị tương lai của dòng tiền cuối kỳ

CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t

Giá trị tương lai của dòng tiền không đều

• Công ty Nam Phong dự định mở rộng một phân xưởngsản xuất bánh kẹo Công ty dự kiến đầu tư liên tụctrong 5 năm vàomỗi cuối nămlần lượt các khoản tiềnsau: 50 triệu VNĐ, 40 triệu VNĐ, 25 triệu VNĐ, 10 triệuVNĐ và 10 triệu VNĐ Lãi suất là 10%/năm Vậy tổnggiá trị đầu tư của công ty tính theothời giá của nămthứ 5là bao nhiêu ?

Trang 13

Giá trị hiện tại chuỗi tiền tệ bất kỳ

PV : giá trị hiện tại của dòng tiền

CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t

01

74

Trả nợ dần – Trả góp

• Amortization

• Thanh toán khoản vay bao gồm khoản tiền được

dùng để thanh toán lãi suất phát sinh trên khoản

vay cùng với số tiền gốc còn lại

• Cùng với thời gian, phần lãi suất giảm khi số dư

nợ giảm và khoản tiền gốc đã thanh toán tăng để

trả hết nợ (trả dần) theo đúng thời gian đã định

76

1 1 i n PVA CF

• Giả sử bạn mua 01 ti vi giá 800$ và trả góp

trong vòng 18 tháng với mức lãi suất là

• Ví dụ Giả sử bạn vay 500$ và đồng ý trả góp

trong vòng 6 tháng với số tiền góp bằng nhau.

Lãi suất là 1% mỗi tháng trên số tiền chưa trả.

Hãy lập kế hoạch trả nợ dần cho khoản vay?

Trang 14

Khấu trừ

dư nợ

Dư nợ

Ví dụ

• Lập bảng khấu hao cho khoản vay 1000$, trả góp hàng tháng, trong vòng 6 tháng với lãi suất 1,25%/tháng trên dư nợ.

80

Giá trị hiện tại ròng NPV

• Net Present Value

• NPV là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền

sẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triển

• Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riêng

lẻ sau khi đã chiết khấu, theo nghĩa trên

• CI: cash in (luồng tiền thu về)

• CO: cash out (luồng tiền chi)

• n: số năm hoạt động của dự án

• t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là nămgốc

• Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riêng

lẻ sau khi đã chiết khấu, theo nghĩa trên

• CF0: tiền đầu tư

• CFi: tiền thu về năm thứ i

• n: số năm hoạt động của dự án

• t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm

• Mức lãi suất đang tính là bao nhiêu?

Năm Thu nhập hàng năm ($) Giá trị hiện tại ròng NPV ($)

Trang 15

Tỷ suất hoàn vốn nội bộ

• IRR – Internal rate of return (tỷ suất hoàn vốn

nội bộ): mức lãi suất mà dự án có thể đạt được

đảm bảo cho tổng các khoản thu của dự án cân

bằng với các khoản chi

 lãi suất chiết khấu làm cho NPV = 0

1 1

Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ

IRR có được bằng phương pháp thử sai như sau:

• - Tìm mức chiết khấu sao cho NPV nhỏ và dương;

• - Tìm mức chiết khấu lớn hơn sao cho NPV nhỏ

và âm

• - Sử dụng nội suy tuyến tính giữa hai giá trị trên

để tìm mức chiết khấu sao cho NPV=0

• Theo phương pháp nội suy ta có:

• Kết quả tính toán theo Excel: 10%

Trang 16

Ví dụ

• Hãy xác định IRR của dự án sau:

• Sử dụng hàm IRR trong Excel

• Cú pháp: IRR(values, guess)

Thời gian 0 1 2 3

Dòng tiền -100 50 50 20

11%

• Điều kiện chọn dự án: chọn IRR cao nhất hoặc

• R minlà lãi suất đi vay nếu phải vay vốn đầu tư.

• Nếu IRR lớn hơn lãi suất chiết khấu (chi phí cơ hội) thì dự án đáng giá.

• Tỉ lệ hoàn vốn nội bộ càng cao thì khả năng thực thi dự án là càng cao IRR còn được sử dụng để đo lường, sắp xếp các dự án có triển vọng theo thứ tự, từ đó có thể dễ dàng hơn trong việc cân nhắc nên thực hiện dự án nào.

• Nói cách khác, IRR là tốc độ tăng trưởng mà một dự án có thể tạo ra được Nếu giả định rằng tất cả các yếu tố khác của các dự án là như nhau thì dự án nào có tỉ suất hoàn vốn nội bộ cao nhất thì dự án đó

có thể được ưu tiên thực hiện đầu tiên.

• Có hai phương án (A) mua máy photocopy và (B) thuê

máy photocopy Hãy tính NPV, IRR của từng phương án.

Từ đó quyết định xem nên mua hay thuê? Biết rằng đơn vị

tính là triệu đồng.

93

(A) Mua máy

(B) Thuê máy Thu nhập hàng năm (triệu/năm)

Đầu tư ban đầu (triệu)

Chi phí hàng năm (triệu/năm)

Giá trị còn lại (triệu)

Tuổi thọ (năm)

160 30 50 5 10

160 0 100 0 10

Suất thu lợi tối thiểu 20%/năm

1 Công ty bạn mua 1 máy photocopy giá 6000USD sửdụng trong 5 năm Luồng tiền công ty thu được trong cácnăm như sau, lãi suất chiết khấu là 10%:

Hãy tính NPV?

2 Tính giá trị hiện tại ròng của một dự án mà bạn bỏ vốnban đầu là 200 triệu VND năm 1 bạn thu về 20 triệu VND,năm 2 bạn chi ra 50 triệu VND Đến năm 3 bạn thu được

100 triệu VND và năm 4 là 170 triệu VND Với lãi suất là10%

BÀI TẬP NPV

94

BÀI TẬP NPV

• 3 Bạn đang dự định đầu tư xây dựng trang trại mà có

thể chịu lỗ 55 triệu VND vào cuối năm thứ nhất, nhưng

sau đó sẽ thu lại 95 triệu VND, 140 triệu VND, 185 triệu

VND vào cuối năm thứ 2 thứ 3 thứ 4, và sẽ phải trả chi

phí ban đầu là 250 triệu VND, với tỷ lệ lãi suất là 12%

năm Hãy đánh giá việc đầu tư này

• 4 Bạn đánh giá thế nào về hai dự án sau:

• Dự án 1: bạn bỏ ra 200 triệu VND để nhận được 250

triệu VND vào 2 năm sau

• Dự án 2: bạn bỏ ra 400 triệu VND để nhận được 500

triệu vào 3 năm sau

• Bạn có một ngôi nhà hiện đang được định giá là 1 tỷ 2

Bạn đang muốn cho thuê trong dài hạn thì bạn sẽ chothuê bao nhiêu một năm với mức lãi yêu cầu của bạn

là 18%/năm Với chi phí quản lý bạn bỏ ra là 6triệu/năm

• Đ/S: 222 triệu/năm

BÀI TẬP

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	586,81 KB