Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 7: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức về Tích phân bất định, xác định và ứng dụng bao gồm: Tích phân bất định, công thức tích phân cơ bản, bài toán diện tích, định nghĩa tích phân xác định,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1TÍCH PHÂN
Tích phân bất định, xác định và
ứng dụng
Lecture 7 Nguyen Van Thuy
Tích phân bất định
𝑓(𝑥): đạo hàm của 𝐹(𝑥)
(𝐹(𝑥))’ = 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑥): 1 nguyên hàm của 𝑓(𝑥)
𝑥 3
3 + 1 ′ = 𝑥 2 ⟹ 𝑥 3
3 + 1 là một nguyên hàm của 𝑥 2
𝑥 3
3 − 5 ′ = 𝑥 3
3 + 𝐶 ′ = ⋯ = 𝑥 2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-2
Tích phân bất định
số nguyên hàm của hàm 𝑥 2 ?
dạng tổng quát?
tích phân bất định của hàm 𝑥 2
𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3
3 + 𝐶 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-3
Tích phân bất định
Vậy
Tính chất
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ( ( )) ' F x f x ( ) f x dx F x ( ) ( ) C
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-4
Công thức tích phân cơ bản
ln | |
1
1
sin( ) cos( )
1
cos( ) sin( )
ax b ax b
dx
x a
a
a
a
2 2
2 2
1
a r c ta n
a r
1 ln 2 l
c s
|
i
n
C
u a a
C
u a
d u
u u
a
C
k
a
C k
u
u
a
Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần
Tích phân hàm hữu tỷ
Tích phân hàm vô tỷ
Tích phân hàm lượng giác
Maple: int(f(x),x)
GG: Tichphan[f(x)]
Trang 2Tích phân bất định
Câu 313 Tính tích phân 𝐼 = 𝑥(𝑥+1) 𝑑𝑥
𝑎) 𝐼 = arctan 𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2arctan 𝑥 + 𝐶
𝑐) 𝐼 = arcsin 𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = ln 𝑥 + 𝐶
Câu 345 Tính tích phân 𝐼 = 4𝑥 1−𝑥 3 𝑑𝑥 8
𝑎) 𝐼 = 2 1 − 𝑥 8 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = ln 𝑥 4 − 1 − 𝑥 8 + 𝐶
𝑐) 𝐼 = ln 𝑥 4 + 1 − 𝑥 8 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = arcsin 𝑥 4 + 𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-7
Tích phân bất định
Câu 387 Tính tích phân 𝐼 = 4 𝑥cos 2𝑥𝑑𝑥
𝑎) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶
𝑐) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶
Câu 393 Tính tích phân 𝐼 = ln 𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥
𝑎) 𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥−1 4𝑥 2 + 𝐶 𝑏)𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥+1 𝑥 2 + 𝐶
𝑐) 𝐼 = 2𝑙𝑛𝑥+1 4𝑥 2 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥+1 4𝑥 2 + 𝐶 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-8
Bài toán diện tích
Tính diện tích hình phẳng S
{( , ) | , 0 ( )}
S x y a x b y f x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-9
Bài toán diện tích
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-10
Bài toán diện tích
( ) l m [ ( ) ( ) ( n ) ]
n
Bài toán diện tích
Ví dụ
S=?
Trang 3Bài toán diện tích
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-13
𝑛 = 4, 𝑝ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.46875
𝑛 = 4, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.21875
Bài toán diện tích
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-14
𝑛 = 10, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.285 𝑛 = 10, 𝑝ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.385
Bài toán diện tích
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-15
Định nghĩa tích phân xác định
Chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành 𝑛 đoạn con
Lấy tùy ý 𝑐 𝑖 ∈ [𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ]
Lập tổng tích phân
𝑆 𝑛 = 𝑓(𝑐 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑛
𝑖=1
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-16
𝑥 0 𝑥 1 𝑥 𝑖−1 𝑥 𝑛
𝑐 𝑖
𝑥 𝑖
Tích phân xác định
Định nghĩa
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞ 𝑓 𝑐 𝑖 𝑛 𝑖=1
(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 )
Công thức Newton-Leibniz
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Tính chất
'
' ( )
( )
( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( )] '( ) [ ( )] '( )
x
a
v x
u x
C f x d x C f x d x
f x g x d x f x d x g x d x
f t d t f x
f t d t f v x v x f u x u x
Trang 4Tính tích phân xác định
Tương tự như tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần
𝑢𝑑𝑣
𝑏
𝑎
= 𝑢𝑣 𝑏
𝑎 − 𝑣𝑑𝑢
𝑏
𝑎
Tích phân hàm hữu tỷ, hàm vô tỷ
Tích phân hàm lượng giác
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-19
Tính tích phân xác định
(406)
(409)
1
4 ln
e
I x xdx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-20
a I e b I e c I d I e
1
0
2 arccos
a I b I c I d I
Ví dụ
Tính
(395)
(398)
0 2 0
sin lim
x
x
tdt L
x
2
0
2
10 0
( 1) ln(cos ) lim
t x x
L
x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-21
1
2
a L b L c I d I
Diện tích giữa đường cong và trục hoành
{( , )
)
)
b
a
x x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-22
Diện tích giữa 2 đường cong
( )]
b
a
S x y a x b g x y f x
A S f x g x dx
Diện tích giữa 2 đường cong
Ví dụ Tính diện tích phần hình phẳng được
tô đậm sau
Trang 5Diện tích giữa 2 đường cong
( )]
d
c
S x y c y d g y x f y
A S f y g y dy
S
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-25
Diện tích giữa 2 đường cong
Ví dụ Tính diện tích phần hình phẳng được
tô đậm sau
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-26
Diện tích giữa 2 đường cong
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y x y x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-27
Thể tích
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
( )
b
a
V A x dx
7-28
Thể tích
Ví dụ Tính thể tích hình cầu bán kính r
2 2
2 2
3
4
r
r
x
Thể tích vật thể tròn xoay
b y a
V xf x dx
2
[ ( )]
b x a
V f x dx
Trang 6Bài tập
308 448
508 547
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-31