Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp 1 và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm chung, cấp của phương trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ dị,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CẤP 1 & ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 6

Khái niệm chung

• Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy

• Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân

Định nghĩa

• Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc

lập, hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của

nó gọi chung là phương trình vi phân

• Ví dụ.

dx

 

 , , ', , , n 0

F x y y y  y 

Cấp của PTVP

• Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình

• Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

• Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:

• Phương trình vi phân cấp n là phương trình có

dạng:

 , , ' 0 '  ,

F x y y  hay y f x y

 

, , , , , n 0

Ví dụ

• Nêu cấp của các PTVP sau:

2 2 2

Phương trình vi phân cấp 1

• Định nghĩa Phương trình vi phân cấp 1 là phương

trình có dạng:

• Trong đó:

• - F xác định trong miền G thuộc R3

• - x là biến độc lập, y là hàm cần tìm

 , , ' 0 , ,dy 0

dx

 

 

  

 

Trang 2

Nghiệm của PTVP cấp 1

• Nghiệm tổng quát

• Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng

quát)

• Nghiệm riêng

• Nghiệm kỳ dị

Nghiệm tổng quát

• Dạng:

• Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C

• Với mọi điểm ( 0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao cho

 , 

Nghiệm tổng quát dạng ẩn

• Tên khác: tích phân tổng quát

• Hệ thức Φ , , = 0 hay Φ , ) = gọi là

nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong

miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát của

phương trình trong D

Nghiệm riêng

• Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng

số C0 xác định được gọi là nghiệm riêng

• Nghiệm riêng:

• Tích phân riêng:

Nghiệm kỳ dị

• Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ

nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C

PTVP cấp 1 thường gặp

• PT biến số phân ly

• PT biến số phân ly được

• PT đẳng cấp cấp 1

• PT tuyến tính cấp 1

• PT Bernoulli

• PT vi phân toàn phần

Trang 3

PT biến số phân ly

• Dạng: g(y)dy=f(x)dx

• Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x

• Ta có:

• Ví dụ

2

2 1

x





PT biến số phân ly được

• Dạng 1.

• Cách giải:

• Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly

• Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0

f x g y dy g y f x dx

Ví dụ

• Giải phương trình:

• Đáp án:

• Nghiệm tổng quát:

• Nghiệm: y=-1

• Nghiệm: x=1

x y dx x  y dy

3

1

ln 1 2 ln 1

3 x  y y C

PT biến số phân ly được

• Dạng 2.

• Đặt z=ax+by

• Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz

y f axby

Ví dụ

• Giải phương trình sau:

• Đáp số:

3

y   x  y

1

3 3

x

Ce

 

Phương trình đẳng cấp cấp 1

• Dạng:

• Cách giải:

• Đặt t=y/x

• Đưa về dạng biến số phân ly

y

x

 

   

 

Trang 4

Ví dụ

• Đáp án:

2

x y y

xy



 

2

2 1

y

x

Phương trình tuyến tính cấp 1

• Dạng phương trình:

• trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) nào đó.

• Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất

• Nếu q(x) ≠ 0 ta có phương trình không thuần nhất

y p x yq x

Phương pháp giải

• B1 Giải phương trình thuần nhất

• B2 Giải phương trình không thuần nhất bằng

phương pháp biến thiên hằng số

• B3 Công thức nghiệm tổng quát:

y p x y 

       0

y p x yq x q x 

y e  q x e dx C

   

Ví dụ

• Cho phương trình vi phân:

• A) Giải phương trình

• B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1

• Đáp số:

• Nghiệm riêng:

1 2

x

  

2

y x Cx

2

2 3

y x  x

Ví dụ

• Đáp số:

2

y  xyxe

 2  x2

y x C e

Phương trình Bernoulli

• Dạng phương trình:

• Chia hai vế phương trình cho

• Đặt ta có:

y   p x y  q x y

1

z





Trang 5

Phương trình Bernoulli

• Chú ý:

• Nếu > 0 thì y=0 cũng là nghiệm

• Nếu > 1 thì y=0 là nghiệm riêng

• Nếu 0 < < 1 thì y=0 là nghiệm kỳ dị

Ví dụ

• Đáp số:

• Nghiệm kì dị: y=0

2

y xy    y

x y





Phương trình vi phân toàn phần

• Dạng:

• Điều kiện:

M x y dx  N x y dy 



0

y x

u x y M x y dx N x y dy C

u x y M x y dx N x dy C

Ví dụ 1

• Giải phương trình vi phân:

• Ta có:

3x 6xy dx 6x y4y dy0

12

M x y x xy N x y x y y

xy

Ví dụ 1

• Nghiệm tổng quát của phương trình:

y x

3

x  x y y C

Ví dụ 2

• Giải phương trình vi phân:

2

a x y dx x y dy

b xy xy xy dx x xy dy

Trang 6

Thừa số tích phân

• Xét phương trình vi phân dạng:

• Nếu phương trình trên chưa có dạng phương trình

vi phân toàn phần thì ta có thể tìm hàm ( , )

sao cho phương trình:

• Là phương trình vi phân toàn phần

• Hàm ( , ) gọi là thừa số tích phân

M x y dx  N x y dy 

 x y M x y dx ,   ,   x y N x y dy ,   ,  0

Ví dụ

• Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng ( )

• Chú ý:

– Thừa số tích phân khá khó tìm – Ta tìm dạng đặc biệt như ( ) hay ( ) – Sinh viên không cần trình bày cách tìm thừa số TP

2 xy  3 y dx  7 3  xy dy  0

Ví dụ

• Giải các ptvp sau

 

2

) tan ln 0 ) 2 1; 0 1

) 0 ) ln ; 1 1

1 ) 2 1 2 )

3

y

x

x y



     

 

   

 

Bài tập 1

Trang 7

Bài tập 4

Bài tập 5

Bài tập 6

• Giải các phương trình vi phân sau bằng phương

pháp thừa số tích phân

Ứng dụng PTVP cấp 1

• Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị

• Tìm hàm số khi biết hệ số co giãn

• Mô hình điều chỉnh giá thị trường

• Mô hình tăng trưởng Domar (tự tham khảo)

• Mô hình tăng trưởng Solow (tự tham khảo)

Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị

• Xét phương trình vi phân cấp 1 dạng:

• Đồ thị pha (đồ hình pha)

• Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y

và trục tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y)

• Đồ thị đó được gọi là đường pha

 

dy

f y

dt 

Đồ thị pha

• Tại các điểm trên trục hoành thì y’ dương nên y tăng theo thời gian, y đi từ trái sang phải

• Tại các điểm dưới trục hoành thì y’ âm nên y giảm theo thời gian, y đi từ phải sang trái

• Tại giao điểm với trục hoành, giả sử là tại , ta có y’=0 Ta gọi là trạng thái cân bằng

Trang 8

Đồ thị pha – dạng 1

• Trạng thái cân bằng ổn định động

y

y

0

y

• Tại các điểm trên trục hoành y đi từ trái sang phải

• Tại các điểm dưới trục hoành y đi từ phải sang trái

• Tại giao điểm với trục hoành là trạng thái cân bằng

Đồ thị pha – dạng 2

• Trạng thái cân bằng không ổn định động

y

y

0

y

• Tại các điểm trên trục hoành y đi từ trái sang phải

• Tại các điểm dưới trục hoành y đi từ phải sang trái

• Tại giao điểm với trục hoành là trạng thái cân bằng

Trạng thái cân bằng ổn định

y

0

y

0

y

Trạng thái cân bằng không ổn định

y

0

y

0

y

Nhận xét

• Tính ổn định của trạng thái cân bằng phụ thuộc

dấu của đạo hàm tại điểm cân bằng

• Trạng thái cân bằng ổn định động khi:

  0

f y 

Ví dụ

• Xét mô hình ptvt tuyến tính cấp 1:

• Ta có:

• Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi:

0

p 

Trang 9

Tìm y(x) biết hệ số co giãn

• Ta có:

• Giả sử:

• Ta có pt vi phân sau:

'

x

y

x

 

x

y x

 

'

x

y

x



Ví dụ 1

• Biết hệ số co giãn của hàm cầu theo giá:

• Tìm hàm cầu QDbiết 10 = 500

• Đáp số:

2

5 2

D P Q

Q

2

Ví dụ 2

• Biết hệ số co giãn của hàm cầu:

• Tìm hàm cầu QDbiết 0 = 2000

2

2000 2

D P Q

P P



Biến động của giá trên thị trường

• Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa cho bởi:

• Điểm cân bằng thị trường:

• Nếu giá ban đầu là thì thị trường cân bằng Còn nếu không thì thị trường sẽ đạt giá cân bằng sau một quá trình điều chỉnh nào đó

;

Q p Q    p

 







 0

• Trong quá trình điều chỉnh, các Qs, Qdvà p đều

thay đổi theo t (biến thời gian)

• Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn

tỷ lệ với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời

điểm đó Nghĩa là:

• Với k>0 là hằng số

p t k Q t Q t 

• Từ đó ta có:

• Do đó:

'

 

 



dp



Trang 10

• Với t=0, ta có giá tại thời điểm ban đầu:

• Vậy:

• Dễ thấy:

p p C Cp p

p t pp p e 

0

lim lim 0 k t 0

 

     

Nhận xét biến động của P(t) theo t

• Nếu giá ban đầu p(0)cao hơngiá cân bằng ̅ thì P(t) là hàmgiảmtheo t và

• Nếu giá ban đầu p(0)thấp hơngiá cân bằng ̅ thì P(t)

là hàmtăngtheo t và

• Như vậy trong mọi trường hợp cùng với thời gian giá

cả sẽ dần dần trở về với giá tại điểm cân bằng Do đó điểm cân bằng thị trường có tính chất ổn định động

 

lim

 

lim

Biến động của giá trên thị trường

• Ví dụ: Cho:

• Tìm thời gian t sao cho:

 

1 2 ; 2 3 ; 0, 2; 0 0, 4

Q   p Q    p k p 

1%

pp

Giải

• Ta có:

• Vậy:

• Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu cầu trên

0 0, 2 2 3 1; 0, 6

 

0

5

ppC e p p e    e

1

0, 01 0, 05 ln 0, 05 5

ln 20 3

t

       

  

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	424,37 KB