Bài giảng Toán tài chính - Chương 5c: Hồi quy và tương quan

Bài giảng Toán tài chính - Chương 5c: Hồi quy và tương quan cung cấp cho người học các kiến thức: Tương quan, biểu đồ phân tán, hệ số tương quan Pearson, đánh giá hệ số tương quan, hệ số tương quan Spearman,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

HỒI QUI VÀ CHƯƠNG

TƯƠNG QUAN

Hai biến (đại lượng) được nói là có tương quan nếu chúng cóquan hệ với nhau, chính xác hơn, sự thay đổi của biến này cóảnh hưởng đến thay đổi của biến còn lại

Ký hiệu (x,y) là cặp giá trị quan sát được của hai biến X, Y

Ta có thể vẽ đồ thị của các quan sát thông qua biểu đồ phântán (scatter diagram)

VÍ DỤ

Một công ty nghiên cứu ảnh hưởng của quảng cáo

tới doanh số bán hàng Dữ liệu quảng cáo và doanh thu từng tháng được thu thập như sau:

Hãy vẽ biểu đồ phân tán.

Tổng doanh số tháng

tới

HỆ SỐ TƯƠNG QUAN PEARSON

Ký hiệu: r hay rX,Y

HỆ SỐ TƯƠNG QUAN PEARSON

Ký hiệu: r hay rX,Y

TRUNG BÌNH; PHƯƠNG SAI VÀ HIỆP PHƯƠNG SAI

Đối với quan sát mẫu

ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ TƯƠNG QUAN

ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ TƯƠNG QUAN

n x y x y r

VÍ DỤ

Số liệu về thời gian quảng cáo trên truyền hình và lượng

sản phẩm tiêu thụ ở một công ty sản xuất đồ chơi trẻ emnhư sau:

Thời gian: phút/tuần

Lượng tiêu thụ: 1000sp/tuần

Hãy tính hệ số tương quan mẫu và cho kết luận

Thời gian 28 37 44 36 47 35 26 29 33 32 31 28

HỆ SỐ TƯƠNG QUAN SPEARMAN

6 1

1

d R

n n

å

-HỆ SỐ TƯƠNG QUAN SPEARMAN

Khi tuyển dụng, một công ty đánh giá các ứng viên thôngqua phỏng vấn và bài kiểm tra Khi phỏng vấn, các ứng

viên được đánh giá từ A (xuất sắc) đến E (không phù hợp)

và bài kiểm tra được tính theo thang điểm 100 Kết quảcủa 5 ứng viên như sau:

Tính hệ số tương quan hạng Spearman và cho nhận xét

Hiệu số

Hiệu số bình phương

VÍ DỤ

Một chuyên gia được

yêu cầu nếm thử 8 loại

rượu có giá dưới 4 $

Hương vị các loại rượu

Hiệu số

Hiệu số bình phương

H

PHÂN TÍCH HỒI QUY

giữa:

 Một biến phụ thuộc Y (biến được giải thích)

 Một hay nhiều biến độc lập X1, X2, …,Xn (còn được gọi là biến giải thích)

Biến phụ thuộc Y phải là biến liên tục

Các biến độc lập X1, X2, …, Xn có thể là biến liên tục, rờirạc hay phân loại

LIÊN HỆ HÀM SỐ VÀ LIÊN HỆ THỐNG KÊ

Liên hệ hàm số: Y=aX+b

Với một giá trị của X, có 1 giá trị duy nhất của Y

Liên hệ thống kê: Y=aX+b

Ví dụ: X: thời gian tự học; Y: điểm cuối kỳ

Một giá trị của X có thể có nhiều giá trị của Y

Dữ liệu X: dữ liệu mẫu

Dữ liệu mẫu  tìm đường hồi quy mẫu dự đoán chođường hồi quy tổng thể

VÍ DỤ

Một công ty muốn ước lượng hàm chi phí cho một sản phẩm Giá trị của hàm chi phí được xác định tại một vài mức sản xuất như sau.

VÍ DỤ

Mặc dù những điểm quan sát

không cùng nằm trên một đường

thẳng nhưng tương quan tuyến

THẶNG DƯ (RESIDUAL)

Ta cần xác định a, b sao cho tổng bình phương thặng dư nhỏnhất

VÍ DỤ

Số liệu về doanh số và số lượng nhân viên kinh doanh trong các khu vực của công ty X như sau:

Hãy tìm mô hình tuyến tính dự đoán doanh số theo số

Khu vực Doanh số Số nhân viên kinh doanh

=

å

ỨNG DỤNG KINH TẾ

Nhu cầu sử dụng dầu nhiên liệu để sưởi ấm nhà ở Hoa Kỳ đã giảm đều đặn trong nhiều thập kỷ Bảng sau liệt kê tỷ lệ hộ gia đình ở Hoa Kỳ sưởi ấm bằng dầu nhiên liệu từ 1960 đến 2009 Sử dụng hồi quy tuyến tính để ước lượng tỷ lệ hộ gia đình sử dụng dầu nhiên liệu vào năm 1995

HỒI QUY TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

Vấn đề: có hai biến quan sát X và Y

Ta cần tìm phương trình thể hiện mối liên hệ giá trị giữa Y

và X

Y: biến phụ thuộc; X: biến độc lập

Dùng mô hình hồi quy đơn giản nhất: hồi quy tuyến tính

Có thể sử dụng các mô hình khác: phi tuyến; bậc 2; bậc 3; mũ; logarit …

HỒI QUY TUYẾN TÍNH

X và Y có tương quan tuyến tính mạnh

Ta giả sử X và Y có mối quan hệ tuyến tính với nhau

Mô hình như sau:

HỒI QUY TUYẾN TÍNH

Với giá trị quan sát được ta có:

yi : giá trị quan sát được của Y khi X nhận giá trị là xi

xi: giá trị quan sát thứ i của X

ui: sai số ngẫu nhiên khi X nhận giá trị xi

HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ

Hàm hồi quy tổng thể

Đối với một quan sát cụ thể ta có:

Mô hình chỉ có một biến phụ thuộc Y và một biến giải

HÀM HỒI QUY MẪU SRF

Ta ít khi có số liệu của cả tổng thể mà chỉ có số liệu của mẫu(số liệu quan sát được)

Ta dùng số liệu mẫu để ước lượng tổng thể

Hàm hồi quy mẫu:

Đối với quan sát thứ i:

PRF VÀ SRF

Trong đó

là ước lượng cho b1

  là ước lượng cho b2

  là ước lượng cho Y hay E(Y|Xi)

Ta sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất thôngthường (OLS) để tìm   ;  

HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HỒI QUY MẪU

CHÚ Ý

Tình trạng Biện pháp

Không xác định được chính xác giá trị

Ước lượng Kiểm định

Hệ số β

Phương sai sai số 2

Hệ số Biến ngẫu nhiên

Có thể tính được giá trị trên mẫu đã chọn

Dùng để ước lượng cho các tham số tổng thể

Hệ số

Phương sai thặng dư

mẫu 2

ƯỚC LƯỢNG OLS

Tìm giá trị của β1; β2 sao cho:

Đạt giá trị nhỏ nhất (pp bình phương tối thiểu)

Dễ thấy:

2 2

-=

å

HỆ SỐ HỒI QUY MẪU

Là các ước lượng của β1; β2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

Giá trị trung bình các hệ số hồi quy mẫu:

Phương sai các hệ số hồi quy mẫu:

Ta dùng các kết quả trên để ước lượng giá trị của các hệ sốhồi quy tổng thể β1; β2

MỘT VÀI TÍNH CHẤT

KÝ HIỆU

Ta có:

TÁCH NHÓM BIẾN THIÊN: KHÁI NIỆM

TSS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa

từng giá trị yi và trị số trung bình của y

ESS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa

các giá trị quan sát và giá trị dự đoán của y

RSS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa

giá trị dự đoán của y và trị số trung bình của y

ĐO SỰ BIẾN THIÊN CỦA DỮ LIỆU

Tổng bình phương toàn phần (Total Sum of Squares)

Tổng bình phương hồi quy (Regression Sum of Squares)

Tổng bình phương sai số (Residual Sum of Squares)

( )2

1

n

i i

i

=

RSS Tổng chênh lệch

ESS

SRF Y

CÁC TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỘ LỆCH

Khi điểm quan sát càng gần đường thẳng ước lượng thì “độ

thích hợp” càng cao, có nghĩa là ESS càng nhỏ và RSS càng

lớn

Tham số đo độ thích hợp:

R2 càng lớn càng tốt

ESS: biến thiên không giải thích được

RSS: biến thiên giải thích được

R2 nhỏ nghĩa là nhiều biến thiên của Y không giải thích đượcbằng X Cần phải thêm nhiều biến khác vào mô hình

2

0 £ R £ 1

=

HỆ SỐ XÁC ĐỊNH

Coefficient of determination

Là tỷ lệ của tổng sự biến thiên trong biến phụ thuộc gây rabởi sự biến thiên của các biến độc lập (biến giải thích) so vớitổng sự biến thiên toàn phần

Tên gọi: R_bình phương (R squared)

HỆ SỐ XÁC ĐỊNH

Đánh giá mô hình tìm được có giải thích tốt cho mối liên

hệ giữa biến phụ thuộc Y và biến độc lập X hay không

Là bình phương của hệ số tương quan mẫu

i i

X Y

R S S R

Tính chất của hệ số xác định R 2

• 0≤ R2≤1

• Cho biết % sự biến động của Y được giải thích bởi

các biến số X trong mô hình.

• R2 =1: đường hồi quy phù hợp hoàn hảo

• R2 =0: X và Y không có quan hệ

• R2 càng lớn càng tốt

• Đối với dữ liệu chuỗi thời gian thì R2 thường lớn hơn

0,9 Nếu thấp hơn 0,6 hay 0,7 thì xem là thấp

• Với dữ liệu chéo thì R2 khoảng 0,6 hay 0,7 cũng

ƯỚC LƯỢNG CHO PHƯƠNG SAI SAI SỐ 2

ƯỚC LƯỢNG VÀ DỰ BÁO

1 Ước lượng hệ số góc

2 Ước lượng hệ số chặn

3 Ước lượng phương sai sai số

4 Dự báo giá trị trung bình

5 Dự báo điểm

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA 1

ƯỚC LƯỢNG CHO 1

Tổng quát với độ tin cậy (1 − )

-CÔNG THỨC ƯỚC LƯỢNG 1

Kho ảng tin cậy (1 − ) của hệ số b1

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

CÔNG THỨC ƯỚC LƯỢNG

Kho ảng tin cậy (1 − ) của hệ số b2

CÔNG THỨC ƯỚC LƯỢNG 2

• Khoảng tin cậy của phương sai sai số tổng thể:

DỰ BÁO

Cho X nhận giá trị là x0 Ta tiến hành dự báo:

Trung bình của Y khi X = x0 Ký hiệu: E(Y0|X0)

Giá trị cụ thể của Y khi X = x0 Ký hiệu: 0

Công thức chung:

Giá trị ước lượng ± Sai số

DỰ BÁO GIÁ TRỊ Y0

DỰ BÁO GIÁ TRỊ E(Y/X0)

BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Phân phối chuẩn

Phân phối Student

Phân phối Khi bình phương

GIÁ TRỊ TỚI HẠN 2 (n; α)

Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ ≤ 1) là số thực ký hiệu

2(n; ) sao cho với Z~ 2(n) thì:

BẢNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN KHI BÌNH PHƯƠNG

GIÁ TRỊ TỚI HẠN ( , )

Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ ≤ 1) là số thực ký hiệu

( , ) sao cho với Z~ (n) thì:

BẢNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN STUDENT

VÍ DỤ

Quan sát sự biến động của nhu cầu gạo Y (tấn/tháng) vàođơn giá X (ngàn đồng/kg) ta được các số liệu cho ở bảng Hãy lập mô hình hôi quy mẫu biễu diễn mối phụ thuộc vềnhu cầu vào đơn giá gạo

i i i

n

i i

Gi ải hồi quy bằng máy tính

1 Bật tần số: Shift+Mode+↓ +4+1 (Freq On

2 Chọn Mode Regression: Mode+3+2(chọn

A+Bx)

3 Nhập dữ liệu theo cột

4 Kiểm tra và nhấn AC thoát

5 Xem kết quả: Shift +1+ 3,4,5 (tùy theo Sum,

Var hay Reg)

Bài t ập 1

Thu thập số liệu về điểm học tập của học sinh và mức thu nhập hàng năm của bố mẹ ta có bảng số liệu sau:

Hãy tìm hàm hồi quy mẫu và tính các đặc trưng của nó

Xi: thu nhập (triệu/năm)

Yi: điểm trung bình

Yi 8,75 7,5 6,25 8,75 7,5 5,0 9,5 6,5

Bài t ập 1

b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng hệ số chặn,

hệ số góc và phương sai sai số.

c) Với độ tin cậy 90%, dự đoán điểm và điểm

trung bình khi thu nhập là 80

Yi 8,75 7,5 6,25 8,75 7,5 5,0 9,5 6,5

Bài t ập 2

Số liệu về tỷ lệ lạm phát và lãi suất trong năm

2011 của 6 quốc gia như sau:

a) Ước lượng và viết phương trình hồi quy tuyến

Bài t ập 3

Cho bảng số liệu sau:

a) Tìm hệ số tương quan mẫu

b) Tìm phương trình hồi quy mẫu

c) Tính Sxx, Sxy, Syy

d) Tính TSS, RSS, ESS.

e) Tính các giá trị hồi quy và từ đó tìm ESS

f) Ước lượng cho 1; 2; 2 với độ tin cậy 90%