Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 0 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 0: Hàm số, giới hạn, liên tục cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa hàm một biến, đồ thị hàm số, hàm xác định từng khúc, hàm số tăng, giảm, hàm số ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

• E: miền giá trị (range)

• x:biến độc lập (independent variable)

• f(x): biến phụ thuộc (dependent variable)

y

Trang 2

Tiêu chuẩn đường thẳng đứng

• Đường cong trong mặt phẳngOxylà đồ thị của

hàm f khi và chỉ khi không có đường thẳng

đứng nào cắt đường congnhiều hơn một điểm

• Chú ý: đường thẳng đứng trong Oxy có dạng:

Trang 3

Tính đối xứng

• Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu:

• Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu:

• Hàm số f tăng trên khoảng I nếu:

• Hàm số f giảm trên khoảng I nếu:

• Đồ thị hàm số tăng đi lên từ trái sang phải

• Đồ thị hàm số giảm đi xuống từ trái sang phải

Trang 4

Hàm số ngược

• Định nghĩa hàm 1-1:Hàm số f gọi là hàm 1-1

nếu nó không nhận cùng một giá trị nào đó 2

lần trở lên Nghĩa là:

• Tiêu chuẩn đường nằm ngang:Hàm f là hàm

1-1 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằm

ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một

102156

1234

3158

điểm Vậy f là hàm1-1

0

x y

• Xét trên miền[0; +) hàm g

là 1-1

y

Trang 5

102156

• Miền xác định của f-1= miền giá trị của f

• Miền giá trị của f-1= miền xác định của f

• Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x là

biến độc lập nên hàm số ngược thường viết

Trang 6

• Đồ thị hàm ngược f-1đối xứng với hàm f qua

đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứnhất)

Trang 7

: 0;

x

f f x f f x f x x mxd

Trang 8

CÁC LOẠI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Hàm tuyến tính

• Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu:

• Đồ thị hàm y là một đường thẳng cắt trục tungtại điểm có tung độ b, hệ số góc là a

• Sử dụng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia,

lấy căn các hàm đa thức ta được hàm đại số

• Ví dụ:

 

2 2

Trang 9

• Miền xác định:tùy thuộc vào số mũ 

Hàm số mũ

• Dạng:

• Miền xác định: D=R

• Miền giá trị: (0; +)

• Nếua>1: hàm sốtăng

• Nếu0<a<1: hàm sốgiảm

• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0,1), nằmphía trên và tiệm cận với trục hoành

• Miền xác định D= (0; +), miền giá trị: R

• Là hàm số ngược của hàm số mũ y=a x

• Logarit với cơ số e (e≈2.71828) gọi là logarit cơ số tự

Trang 10

Đồ thị log2x và log1/3x

Hàm số tăng nếu a>1

và giảm nếu 0<a<1

log ( ) log log

1log 0 log 4 1log 4

• Tăng trên các khoảng:

• Tuần hoàn với chu kỳ π

Trang 11

• Tăng trên các khoảng:

• Tuần hoàn với chu kỳ π

Quan hệ hàm lượng giác

• Ta hay dùng công thức sau:

• Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác

Hàm lượng giác ngược

1 Hàm arcsin: (đọc là ác – sin) hay sin-1

Là hàm ngược của hàm y=sin(x)

Trang 12

2 Hàm arccos: (đọc là ác – cô sin) hay cos-1

Là hàm ngược của hàm y=cos(x)

Trang 13

Hàm arccos x

y=cosx trên miền [0; 2]

Hàm arccos(x) và cos(x)

4 Hàm arccot: (đọc là ác – cô tang)

Là hàm ngược của hàm y=cot(x)

Trang 14

Một số hàm trong phân tích Kinh tế

• Hàm sản xuất: Q=Q(L)

• Hàm doanh thu: R=R(Q)

• Hàm chi phí: C=C(Q)

• Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q)

• Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p

• Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p

• Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá

• Ngắt bỏ vô cùng bé tương đương

Dãy số

• Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự

nhiên khác 0

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un)

• ungọi là số hạng thứ n của dãy

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số0.5

• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và0.5

càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10

-9)

• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng

n lên và có thểnhỏ tùy ýmiễn làn đủ lớn

• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5

  2n 11

u n n







Trang 15

Định nghĩa giới hạn dãy số

• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:

• Chênh lệch (un) và a có thểnhỏ tùy ýkhin đủ lớn



Hệ quả

• Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu:

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0đều tồn tại n1>n0

để chênh lệch giữa un1và a lớn hơn 

• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cáchgiữa dãy (un) và a Độ chênh lệch giữa (un) và akhông thể nhỏ tùy ý

Trang 16

Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi:

• (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ

Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi:

• (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủlớn

• 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

• 2 Cho lim n; lim n tồn tại hữu hạn Khi đó:

Trang 17

q q

a e n

• Chia tử và mẫu cho biểu thức khác 0 (thường

chia cho nhay an…)

• Dùng công thức giới hạn dãy số e

3 1 2 2

2 ) lim 1

1 1 ) lim

5

n n

a

n n b n

Trang 18

• Từ bảng giá trị và đồ thị ta thấy Khix dần về 2

(cả 2 phía) thì giá trị củaf(x) dần về 4 Có nghĩa

là giá trị f(x) có thểgần 4 một cách tùy ýnếu tachọnx đủ gần 2

• Ta nói: Giới hạn của hàm số f(x)=x 2 -x+4 khi x

• Giới hạn của hàm sốf(x)khix dần đến abằngL

nếu giá trị củaf(x)có thểgần Lmột cáchtùy ý

khi lấy giá trị của x đủ gần a nhưng x không

Trang 19

Giới hạn bên trái

• Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần

đến a từbên tráibằng L nếu giá trị của hàm số

f(x)có thểgần Lmột cáchtùy ýkhi giá trị củax

Giới hạn bên phải

• Định nghĩa:Giới hạn của hàm số f(x) khi x dầnđến a từbên phảibằng L nếu giá trị của hàm số

f(x)có thểgần Lmột cáchtùy ýkhi giá trị củax

Trang 20

Giới hạn bên trái

• f có giới hạn trái và giới hạn phải tại a

• Hai giới hạn đó bằng nhau

Trang 21

số nào đó

• Ta nói: giới hạn hàm sốtại x=0 không tồn tại vàviết:

  2

1

f x x



2 0

1 lim

e x







Trang 22

lim lim

x

x c

0

2 2 2 2 2

2

lim cos 5 lim

x x

x x b

x x c x

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé

(VCB) khi xa nếu:

4 Thương của hai VCB có thể không là một VCB

Trang 23

Định nghĩa

• Cho f(x); g(x) là hai VCB khi xa Giả sử:

1 Nếu k=0 thì f(x) làVCB bậc caohơn g(x).

g x

Các VCB tương đương khi x0



x x

x

x x x x

0 1

Trang 24

Vô cùng lớn

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn

(VCL) khi xa nếu:

• Cho f(x); g(x) là hai VCL khi xa Giả sử:

1 Nếu k=  thì f(x) làVCL bậc caohơn g(x).

2 Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là haiVCL cùng cấp

3 Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là haiVCL tương đương



2 2

2 4



3 3 3 2

Trang 25

Chú ý khi thay thế hàm tương đương

• Điểm gián đoạn

• Liên tục trên khoảng

Hàm số liên tục tại một điểm

• Định nghĩa 1 Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại x0nếu xác định tại điểm này và:

• Định nghĩa 2 Hàm số f(x) liên tục tại x0khi và chỉ khi:

Liên tục trái – Liên tục phải

• Hàm số f(x) liên tục trái tại x0:

• Hàm số f(x) liên tục phải tại x0:

• Định lý:f(x) liên tục tại x0khi và chỉ khi f(x) liên

tục trái và phải tại x0

Điểm gián đoạn

• Cho x0là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số

1 Điểm gián đoạn loại 1:

• Tồn tại hữu hạn:

2 Điểm gián đoạn loại 2: nếu không là điểm gián đoạn loại 1

- Một trong hai giới hạn không tồn tại.

- Hoặc tồn tại nhưng bằng .

0 0

Trang 26

Liên tục trên khoảng

• f liên tục trên (a;b)nếu f liên tục tạimọi điểm

thuộc(a;b)

• f liên tục trên [a;b)nếu f liên tục tại mọi điểm

thuộc(a;b) vàliên tục phải tại a

• f liên tục trên (a;b]nếu f liên tục tại mọi điểm

thuộc(a;b) vàliên tục trái tại b

• f liên tục trên [a;b]nếu f liên tục tại mọi điểm

thuộc(a;b); liên tụcphải tại avà liên tụctrái tại

b

Tính chất hàm số liên tục

• Cho f(x) và g(x) là 2 hàm liên tục tại x0 Khi đó:

• Cho f(x), g(x) là hai hàm liên tục trên [a,b] Khi đó:

lieân tuïc treân

Neáu lieân tuïc treân

lieân tuïc treân

Sự liên tục của hàm sơ cấpĐịnh lý Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác địnhcủa nó

Ví dụ: Tìm các khoảng liên tục của hàm số:

sin 6 sin 8 sin 2 sin sin

x x

Trang 27

Bài tập 3_Giới hạn một phía

f x x

x x x

 c) Tìm giới hạn một phía

lim , lim sin sin

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	548,46 KB