Tài liệu luyện thi Toán trắc nghiệm THPT quốc gia năm 2018 cung cấp 5 bài toán vận dụng cao từ đề thi THPT quốc gia các năm, giúp các em học sinh có thêm tư liệu để tham khảo, phục vụ quá trình luyện thi.
Trang 15 BÀI TOÁN V N D NG CAO T Đ THI TH L N 14 TH Y ĐOÀN TRÍ DŨNGẬ Ụ Ừ Ề Ử Ầ Ầ
Câu 1: Trong không gian v i h t a đ ớ ệ ọ ộ Oxyz, cho hai đi m ể A(3;3; 1− ), B(2;3;1) và m t ph ngặ ẳ
( )P : 2x y+ −2z+ =1 0. G i ọ M là đi m di đ ng trên m t ph ng ể ộ ặ ẳ ( )P sao cho MA MB t o, ạ
v i m t ph ng ớ ặ ẳ ( )P các góc ,α β tho mãn ả α β+ = °90 . Giá tr nh nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ
4MA MB+ b ngằ bao nhiêu?
L i gi i:ờ ả G i ọ H K l n l t là hình chi u vuông góc c a , ầ ượ ế ủ A B trên m t ph ng , ặ ẳ ( )P Theo gi thi t taả ế
có :
Xét các tam giác
·
4 cos sin
,
2 sin
AH
AMH BMK
BK BMK
⇒
4
. Áp d ng BĐT Bunyakovsky t ng quát ta cóụ ổ :
3
Câu 2: Cho ba đi m ể A B C l n l t là 3 đi m bi u di n c a các s ph c , , ầ ượ ể ể ễ ủ ố ứ z z z th a mãn đi u1, ,2 3 ỏ ề
ki n ệ z1 = z2 = z3 =9 và z1+ = +z2 8 6i. Tìm giá tr l nị ớ
nh t di n tích tam giác ấ ệ ABC?
A. 28 14 B. 28 17
C. 30 14 D. 30 17
L i gi i:ờ ả Ta có z1+ = +z2 8 6i nên trung đi m c a ể ủ AB là đi mể
( )4;3
M và ba đi m ể A B C thu c đ ng tròn , , ộ ườ (O;9)
Ta h ạ CH vuông góc AB và h ạ OK vuông góc CH
2
Câu 3: Cho hàm s ố y= f t( ) có đ o hàm ạ ( )
( )2 1
t t
e
f t
e
′ =
+ và f x( )+ f y( ) =1 v i m i ớ ọ x y thoả ,
mãn e x y+ ≤ + +x y 1. Tích phân ln 2 ( )
0
f t dt
∫ b ngằ ?
L i gi i:ờ ả Ta có ( )
1
t
t t
e
e
+
+
M(4,3)
O(0,0)
C
H K
Trang 2Do đó ta có ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 1
( )
0
ln 3
f t dt=
∫ Ch n Cọ Câu 4: Chóp t giác đ u ứ ề S ABCD có AB a= , góc gi a m t bên và m t đáy b ng ữ ặ ặ ằ 60 G i 0 ọ M là
m t đi m thu c c nh ộ ể ộ ạ AB sao cho MAuuur+2MBuuur r=0. G i ọ ( ) ( )S1 , S l n l t là giao tuy n c a2 ầ ượ ế ủ hai m t c u ngo i ti p các kh i chóp ặ ầ ạ ế ố S ABCD
và S CDM Bi t r ng ế ằ ( )S và 1 ( )S có giao 2
tuy n là m t đế ộ ường tròn Tính bán kính c aủ
đường tròn đó?
C. 5
8
a
D. 3 8
a
L i gi i:ờ ả Ta d th y đễ ấ ường tròn giao tuy n c n tìm chínhế ầ
là đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế SCD. G i ọ I là trung
đi m c a ể ủ CD. T gi thi t ta suy ra ừ ả ế SI a=
Khi đó:
2
M t khácặ 2
SCD
S
∆
Câu 5: Cho bi t ế z z là hai trong s các s ph c th a mãn đi u ki n 1, 2 ố ố ứ ỏ ề ệ z i− = −z 1 và
1 2 4 2
z −z = G i ọ w là s ph c th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ 2 w+ − +2 i 3w− +1 2i ≤6 2. Tính giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ P= − + −w z1 w z2 .
L i gi i:ờ ả Ta có 2 ( ) (2 )2 2
z i− = − ⇒z x + y− = −x +y ⇒ qũy tích là đường th ng ẳ d x y: − =0.
d: x y = 0
M N
N'
Do v y n u g i ậ ế ọ A B là hai đi m bi u di n c a các s ph c , ể ể ễ ủ ố ứ z z thì 1, 2 AB=4 2
L i có: ạ 6 2 2≥ w+ − +2 i 3w− +1 2i ≥2( w+ − + − + −2 i w 1 2i)≥2 3 3− =i 6 2.
Nh v y đ ng th c x y ra khi và ch khi ư ậ ẳ ứ ả ỉ w= −1 2i do đó đi m bi u di n c a ể ể ễ ủ w là đi m ể M(1; 2− ).
I
O
S
M
Trang 3D ng hình bình hành ự ABMN và l y ấ N′ đ i x ng ố ứ N qua đường th ng ẳ AB , ta có:
P= − + −w z w z =MA MB AM AN AM AN+ = + = + ′≥MN′
Mà MN′= NN′2+MN2 = 4d M AB2( ;( ) )+AB2 =5 2. Do v y ậ Ch n Cọ