Tài liệu luyện thi môn Toán THPT Quốc gia

Tài liệu luyện thi môn Toán THPT Quốc gia giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi chu đáo. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết kiến thức.

LUYỆN ĐỀ PRO – THẦY TÂN

Buổi 1: SỐ PHỨC 

Số Phức – Buổi 1: 

 4 phép toán 

 Module số phức 

 Số phức liên hợp 

 Biểu diễn hình học của số phức 

 Casio và số phức: Mod 2 – COMP (Casio 570) 

 Trắc nghiệm số phức trong các Đề 2018 

Dạng 1: 4 phép toán số phức 

Dạng 2: Tìm x, y (a, b) để các 2 số phức bằng nhau 

Dạng 3: Module số phức 

Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức 

[ToanThayTan-LD01] b1.pdf 

Dạng 1: 4 Phép toán và số phức liên hợp

Câu 1 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho hai số phức z1  1 3 ,i z2   2 5 i Phần ảo của số  phức z1z2 bằng 

Đáp án C

Có z1z2   1 2i có phần ảo bằng  2  

Câu 2 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Số phức nào dưới đây là một số thuần ảo ? 

  A. z 2 2 i   B. z 2.  C. z 2 i   D. z  1 2 i  

Đáp án C

Số phức là số thuần ảo nếu phần thực bằng 0. 

Câu 3 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) :  Cho  số  phức z abi a b ( ,     Xét  các  mệnh  đề ) sau: 

   (1) z là số thực khi và chỉ khi a0,b0. 

   (2) z là số thuần ảo khi và chỉ khi a0,b0. 

   (3) z vừa là số thực vừa là số thuần ảo khi và chỉ khi a0,b0. 

Số mệnh đề đúng là ? 

Đáp án D

Với z a bi thì  

z là số thực khi và chỉ khi b 0. nên    (1) sai 

z là số thuần ảo khi và chỉ khi a 0. nên    (2) sai 

z vừa là số thực vừa là số thuần ảo khi và chỉ khi a0,b0. nên    (3) đúng 

Vậy chỉ có một mệnh đề đúng. 

Câu 4 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) :  Nghiệm  phức  có  phần  ảo  âm  của  phương  trình 

2

z  z   là 

  A. z  1 2 i   B. z 1 2 i   C. z 1 2 i   D. z  2 i. 

Đáp án B

Ta có (z1)2  4 (2 )i 2   z 1 2iz 1 2 i  

Nghiệm phức có phần ảo âm là z 1 2 i 

Câu 5 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho  phương  trình  z2bz c 0b c,    có  một  nghiệm phức z 3 2i. Nghiệm phức còn lại của phương trình là  

  A. 3 2i   B.  3 2i.  C.  3 2i.  D. 2 3i  

Đáp án A

Vậy z26z130z 3 2 ,i z 3 2 i  

*Chú ý  mẹo  làm  nhanh,  phương  trình  bậc  hai  có  nghiệm  phức z 3 2i  thì  sẽ  có  nghiệm  phức z  3 2 i 

Câu 6 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho số phức z 5 4 i  Số phức liên hợp của z có điểm 

biểu diễn là: 

  A. 5; 4    B. 5; 4     C. 5; 4    D.  5; 4   

Đáp án C

Ta có: z 5 4 i Điểm biểu diễn là 5; 4   

Câu 7 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho số phức z 2 3 i  Điểm biểu diễn của  số phức 

 2

wiz i z là: 

  A. M2;6    B. M2; 6     C. M3; 4     D. M3; 4   

Đáp án B

Có w 2 6 i  Điểm biểu diễn của số phức w là 2; 6    

Câu 8 Trong , phương trình  4 1 i

z 1    có nghiệm là. 

  A. z 2 i  B. z 3 2i  C. z 5 3i  D. z 1 2i   



Chọn đáp án D 

Câu 9 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho z 3 2 i  Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 

  A. z  3 2 i   B. z 3 2 i   C. z  3 2 i   D. z   3 2 i  

Đáp án C

Với z 3 2iz  3 2 i 

Đáp án A

Phương pháp

Điểm M a; b  là điểm biểu diễn cho số phức  z   a bi, có phần thực là a và phần ảo là b. 

Cách giải

A(3; 2) là điểm biểu diễn cho số phức  z 3 2i, có phần thực là 3, phần ảo là 2. 

Câu 10 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho z a bi. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

  A. Phần thực là a, phần ảo là bi.  B. Điểm biểu diễn z là  M a b ; . 

  C. z2 a2b22abi.    D.  z a2b2. 

A sai vì phần ảo là b, C sai vì  z2 a2b22abi, D sai vì  z  a2b2, B đúng

Dạng 2: 2 số phức bằng nhau

Câu 11 (Thầy Nghiêm Xuân Tân) Cho  số  phức  z a bi a b ,    thỏa  mãn 

3z5z 5 2 i Tính giá trị của P a

b

  A.  5

7

16

25

Đáp án A

a

b

Câu 12: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Có  bao  nhiêu  số  phức  thỏa  mãn 

4

 Đáp án A

Đăt z a bi a, b    Thay vào biểu thức của bài toán ta có:  



Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán 

Câu 13 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Số phức z thoả mãn  z2z 1 3 i  Phần thực của z

bằng 

  A. 1.    B. 2.    C. 3.         D. 1 

Đáp án A

1

a

b

 





  

Câu 14 Số phức z a bi thỏa mãn  2z     Tính z 5 i 0 3a 2b ? 

Chọn A. 

2z     z 5 i 0

3a 5 b 1 i 0

5

3

b 1 0



 

Vậy 3a2b3 

Dạng 3: Module của số Phức:

Câu 15: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức  z 3 2i. Tính  z   

  A.  z  5.   B.  z 13.   C.  z  5    D. z 13.  

Đáp án B

Phương pháp giải: Số phức  z a bi có môđun là z  a2b2  

Lời giải: Ta có: z  3  2 i  z  32  22  1 3    

Câu 16: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)  Cho  số  phức  z  thỏa  mãn  z 2 i  13i1.  Tính  môđun của số phức z 

  A. z 34   B. z 5 34

3

3

   D. z  34 

Đáp án D

Phương pháp giải:

Tìm số phức z bằng phép chia số phức, sau đó tính môđun hoặc bấm máy tính 

Lời giải: Ta có z 2 i  1 13i z 1 13i 3 5i z 34

2 i



Câu 17:  (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Số phức z a bi a, b    thỏa mãn  z 2   z và 

z 1 z i     là số thực. Giá trị của biểu thức  S a 2b bằng bao nhiêu? 

Đáp án D

Phương pháp giải:

Đặt  z a bi, thực hiện yêu cầu bài toán, chú ý số phức là số thực khi phần ảo bằng 0 

Lời giải:

Ta có  z2  z  abi 2  abi a22b2a2b2 a   1

Khi  đó  z 1 biz 1 biz 1 z i    2 bi 1  b 1 i  b2  b 2 b 2 i    là 

số thực.  

Khi và chỉ khi  b 2 0b    2

Vậy  S a 2b    3

Câu 18:  ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho  số  phức  z  thỏa  mãn z 1 2i  zi15 i.   Tìm  môđun của số phức z 

  A.  z    5 B.  z    4 C.  z 2 5   D.  z 2 3  

Đáp án A

Phương pháp

Gọi z a bi  z a bi. Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau. 

Cách giải

z a bi a, b   

2 2

a bi 1 2i a bi i 15 i

2 2ai bi 2b ai b 15 i

Câu 19: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức zabi với  ,a b  là các số 

thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  A. Phần ảo của z là bi.    B. Môđun của z  bằng 2 2 2

a b  

  C.  zz không phải là số thưc.  D. Số z và  z  có môdun khác nhau 

Đáp án B

Đáp án A. Phần ảo của số phức z là b nên A sai. 

z  z  a b a b  nên B đúng. 

Đáp án C. Ta có z a biz  a bi z z2bi là số thực khi b 0 nên C sai. 

Đáp án D. Ta có za bi z a bi  z  z  a2b2  nên D sai. 

DẠNG 4: BIỂU DIỄN SỐ PHỨC:

Câu 20 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Điểm A trong hình vẽ bên là 

điểm biểu diễn của số phức z. 

Tìm phần thực và phần ảo của số phức  z  

  A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. 

  B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng  2  

  C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. 

  D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.   

Đáp án B

Có  A(3; 2)z 3 2iz  3 2 i 

Câu 21:  ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức 

z. 

  Mệnh đề nào sau đây đúng? 

  A. Phần thực là 3, phần ảo là 2 

  B. Phần thực là 3, phần ảo là 2i 

  C. Phần thực là -3, phần ảo là 2i 

D. Phần thực là -3, phần ảo là 2 

Câu 22: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho w là số phức  thay đổi thỏa mãn  w    Trong 2 mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z3w 1 2i chạy trên đường nào? 

  A. Đường tròn tâm I1; 2 , bán kính R 6.  B. Đường tròn tâm I  1; 2, bán kính R 2. 

  C. Đường tròn tâm I1; 2 , bán kính R    D. Đường tròn tâm 2 I  1; 2, bán kính R 6. 

Đáp án A

Ta có:  w 2;z x yi   

Xét: z3w 1 2i  z 1 2i3w z 1 2i 3 w    6

Câu 23 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Gọi S là tập hợp các số phức z thoả mãn  z i 3 và 

z    Kí hiệu z z  là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ 1, 2

nhất và lớn nhất. Tính  z2z1  

  A.  z2z1 5.  B.  z2z1 2 10.  C.  z2z1 4 10.  D.  z2z1 10. 

Đáp án B

Theo giả thiết, gọi M a b  là điểm biểu diễn số phức z ta có ( ; ) OM  z  và M phải nằm ngoài 

1

(C ) :x (y1)   và nằm trong hình tròn 9 2 2

2

(C ) : (x1) y 25. 

  Quan sát hình vẽ, ta có OAOM OB 2 z 6. 

Vậy min z 2M  AM(0; 2)z1 2i và  

2

max z 6M BM(6;0)z 6. 

Vậy  z1z2   6 2i 2 10. 

DẠNG 5: CÁC CÂU VDC

Câu 1 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Kí  hiệu  z z   là  hai  nghiệm  phức  của  phương  trình 1, 2

2 22018 0

z z   Tính  z1  z2  

  A. 22019   B. 21019   C. 21010   D. 22018. 

Đáp án C

Câu 2 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) : Cho số phức z thoả mãn  z 3 và  z 2 9 9 3. Tính 

P zz  zz  

  A. 3 3 3.   B. 3 3.  C. 3 3 2.   D. 6 3. 

Đáp án A

Theo giả thiết ta có: 

2











Do đó   

z z







. Vậy P  3 3 3 

Câu 3 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho  số  phức  z thoả  mãn  điều  kiện 

2

zz  zz  z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 3 2 i  

  A.  19 37   B.  37 19   C. 2 5.  D. 5 2. 

Đáp án A

za bi  a  b  a b a b  a  b  

P a  b  Ta thấy rằng P sẽ đạt giá trị lớn nhất khi a, b cùng âm. 

Khi đó điều kiện là 

a b    a b a  b  

P a b  a b   a b   a  b 

2 2

a b













Câu 4 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Gọi  z z   là  hai  nghiệm  phức  của  phương 1, 2

trình 4z24z 3 0. Giá trị của biểu thức  1 2

2 1



z z  bằng 

  A. 3

1

1 2

3

Đáp án D

3

1 2

4

 

  

Câu 5 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Có  bao  nhiêu  số  phức z thoả  mãn  z3i  5  và 

4



z

z là số thuần ảo ? 

Đáp án C

Khi đó 

2

Câu 6 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Cho  số  thực z 1  và  số  phức z 2 thoả 

mãn  z22i 1 và  2 1

1





z z

i  là số thực. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 

của  z1z2  Tính T ab. 

  A. T 4  B. T4 2  C. T 3 2 1   D. T  23 

Đáp án B

Với z1 a  ta có  2 1

1





z z

k z a k i z a k ki

Thay vào giả thiết ta có ak(k2)i  1 (ak)2 (k2)2 1 

 a  ka k  k    

Δa 0k  2k 4k3 0 1 k 3. 

Khi đó  2  1  1  2  2;3 2 

Cách 2: Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn của z z  1, 2

  Theo giả thiết  MOx và N( ) :C x2 (y2)2 1 có tâm  (0; 2)I  và bán kính R1. 

Và  2 1  (1 )(  ) // (1;1)

z z k i k  MN u  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên Ox, ta có 

2

Do đó  

2 1

( , )   ( , ) 2 1  2 1     2;3 2 

Vậy T  23 2 4 2. 

Câu 7 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )Gọi A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, 

iz và 2z. Biết diện tích tam giác ABC bằng 4. Môđun của số phức z bằng 

Đáp án D

Chú ý M biểu diễn số phức z1 và N biểu diễn số phức z2 ta có MN z1z2  

AB z iz z i z i z AC z z z

BC iz z z i z i z







 và 

ABC

S                        z  z   z 

Câu 8: ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ) Cho số phức zabi a b ( ,    thoả mãn ) 2

2

z



  là 

số thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn nhất. Tính giá trị biểu thức  P a b. 

  A. P 0.  B. P 4.  C. P 2 2 1.   D. P  1 3 2. 

Đáp án B

Theo giả thiết ta có  

2 2 (2 2 )

2 2

k k

k i z





4

1

i

i

Câu 9: ( Thầy Nghiêm Xuân Tân )  Số  phức  z a bi a b ,    có  z 2 2  và z2có 

phần ảo bằng 8, điểm biểu diễn số phức z nằm trong góc phần tư thứ ba của hệ trục toạ độ. Giá 

trị của biểu thức P a b bằng 

Đáp án C

Ta có  z 2 2 a2b2 2 2a2b2 8. 

Và z2a2b22abi2ab8. 

Vậy ta có hệ phương trình 

2 2

82 ( ; ) (2; 2);( 2; 2)

8

a b

a b ab







  Đối chiếu điều kiện nhận a 2,b   2

Câu 10 ( Thầy Nghiêm Xuân Tân ): Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m 

để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn  z z  1 và  z 3 4i m. Tính tổng các phần tử thuộc 

S.  

Đáp án A

Đặt zabi có 

2 2





Phương trình  2 2

1

a b   là một đường tròn tâm  ,O R 1. 

Phương trình (a3)2(b4)2 m2 là một đường tròn tâm  (3; 4),I Rm. 

Để có duy nhất số phức thoả mãn thì hệ có nghiệm duy nhất tức hai đường tròn này tiếp xúc 

4

m

m







