Giáo trình Hướng dẫn giải bài tập Cơ kỹ thuật 2 (Phần Động học)

Giáo trình Hướng dẫn giải bài tập Cơ kỹ thuật 2 (Phần động học) bao gồm khái quát kiến thức, bài tập vận dụng về động học hệ chất điểm, động học phẳng vật rắn, chuyển động phức hợp của điểm. Mời các bạn cùng tham khảo giáo trình phục vụ quá trình học tập và nghiên cứu.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

CƠ KỸ THUẬT 2

(PHẦN ĐỘNG HỌC)

Phần I ĐỘNG HỌC (KINEMATICS)

Mục đích của bài

 Giới thiệu các khái niê ̣m vị trí, dịch chuyển, vận tốc, và gia tốc

 Khảo sát chuyển động của chất điểm do ̣c theo mô ̣t đường thẳng

 Khảo sát chuyển động của chất điểm dọc theo đường cong , sử du ̣ng các hê ̣ toa ̣

đô ̣ khác nhau

Yêu cầu đối với sinh viên

Nhớ công thức xác đi ̣nh vi ̣ trí, vâ ̣n tốc, gia tốc dưới da ̣ng véc tơ

Giải được bài toán động học (xác định các đặc trưng của chuyển động : vị trí, dịch chuyển, vâ ̣n tốc, gia tốc, quãng đường đi được , xác định tính nhanh chậm của chuyển động,…) đối với chất điểm chuyển đô ̣ng theo đường thẳng

Biết lựa cho ̣n hê ̣ toa ̣ đô ̣ phù hợp (hê ̣ toa ̣ đô ̣ Descartes, hê ̣ toa ̣ đô ̣ quỹ đa ̣o , hê ̣ toa ̣

đô ̣ cực, hê ̣ toa ̣ đô ̣ tru ̣) cho từng bài toán và giải được bài toán đô ̣ng ho ̣c của chất điểm chuyển đô ̣ng theo đường cong

I CÁC ĐẶC TRƢNG ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM

III ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyển đô ̣ng cong

Để khảo sát chuyển đô ̣ng của chất điểm mà quỹ đa ̣o của nó là đường cong , ta có thể sử dụng hệ toạ độ Descartes , hê ̣ toa ̣ đô ̣ tự nhiên (hê ̣ toa ̣ đô ̣ tiếp tu yến – pháp tuyến) hoă ̣c

hê ̣ toa ̣ đô ̣ cực, hê ̣ toa ̣ đô ̣ tru ̣

đã biết quỹ

đa ̣o chuyển

đô ̣ng của chất

Nếu phương trình của quỹ đạo đã biết thì:

  , ρ được gọi là bán kính cong

của quỹ đạo tại A

 Gia tốc pháp an luôn hướng về tâm của quỹ đạo

 TH riêng: điểm chuyển động theo quỹ đạo tròn tâm C, bán kính R

ds

a a

CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

 Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm (đườ ng thẳng hay đường cong, chuyển động phẳng hay chuyển đô ̣ng trong không gian ba chiều , đã biết hay chưa biết)

 Chọn hệ trục toạ độ để khảo sát chuyển động

 Sử du ̣ng công thức liên hê ̣ giữa toa ̣ đô ̣ vi ̣ trí với vâ ̣n tốc và gia tốc tương ứng với hê ̣ tru ̣c toa ̣ đô ̣ đã cho ̣n để xác đi ̣nh các đa ̣i lượng được yêu cầu (thực hiê ̣n phép tính đạo hàm hoặc tích phân, khi tích phân cần chú ý đến điều kiê ̣n đầu)

CÁC BÀI TẬP MẪU

Bài 1

Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương

trình x   3t2  12t  6( m ), trong đó t tính bằng giây Trong khoảng thời gian từ t=0 tới t=3s, (1) Vẽ đồ thị vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi

được; và (3) xác định dịch chuyển của chất điểm

Lời giải

Phần 1

Do chuyển động là thẳng, vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau:

Các hàm này được vẽ trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s Chú ý đồ thị của x là parabol, nên sau khi đạo hàm ta nhận được hàm bậc nhất đối với vận tốc và hằng số đối với gia tốc Thời gian để giá trị của x lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)

có thể được xác định bằng cách cho dx/dt=0, hay sử dụng phương trình v =–6t+12=0

Ta có kết quả t=2s Thay t=2s vào phương trình (a), ta tìm được

max 6m

Phần 2

Hình (d) cho ta biết chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới

t=3s Khi t=0, chất điểm dời điểm A (x =–6m) chuyển động sang phải Khi t =2s, nó

dừng ở B (x = 6m) Sau đó nó chuyển động sang trái, tới C (x =3m) khi t=3s Do đó,

quãng đường đi được bằng khoảng cách mà điểm dịch chuyển sang phải (AB) cộng với khoảng nó di chuyển sang trái (BC), ta có

m

d  AB  BC  12 3 15  

Phần 3

Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban

đầu tới vị trí cuối cùng của nó Véc tơ này (được chỉ ra là ∆r trong hình (d)) là

9

 Quan sát thấy rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) lớn hơn so với độ lớn của véctơ dịch chuyển (9m) vì hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã cho

Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là:

Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm t ta được t=2.090s Thay giá trị

này vào trong các phương trình (c) và (d) ta nhận được

Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là

Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây và trong hình (b)

Bằng việc tính độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm, dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận

tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo

Phần 2

Từ các phương trình (c) và (d), chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc bằng phép tính vi phân:

Thay t=2.090s, ta có:

Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là:

Hình ảnh véctơ a là:

Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b), chúng ta thấy phương của véctơ a không

tiếp tuyến với quỹ đạo

Bài 3

Xe ô tô trong hình vẽ chuyển động theo đường thẳng sao cho trong một khoảng thời gian ngắn vận tốc của nó được xác định bởi v3t 2 12 ft/st , trong đó t được tính bằng giây Hãy xác định (1) vị trí và (2) gia tốc của nó khi t = 3s Khi t =0, s =0

Lời giải

Hệ tọa độ: Tọa độ vị trí kéo dài từ gốc cố định O đến xe ô tô, hướng sang phải là

dương

Phần 1 Xác định vị trí

Vì v f t , vị trí của ô tô có thể được xác định từ vds / dt(vì phương trình này liên

quan đến v, s, và t) Chú ý rằng s =0 khi t =0, chúng ta có

Bài 4

Một chiếc xe đua cho trong hình (a) chạy với vận tốc 90km/h khi vào một đoạn đường cong dạng nửa đường tròn tại A Lái xe tăng tốc một cách đều đặn, đạt vận tốc 144km/h tại C Xác định giá trị của gia tốc khi xe ở B

Lời giải

Do xe đi theo một quỹ đạo tròn, nên thuận lợi để mô tả chuyển động của nó bằng cách

sử dụng hệ tọa độ quỹ đạo

Như thể hiện trong hình (b), chúng ta đặt s là khoảng cách được đo dọc theo quỹ đạo

trong đó C1 là hằng số tích phân Hai hằng số at và C1 có thể được xác định bằng việc

sử dụng hai điều kiện của chuyển động:

Thay điều kiện 1 vào trong công thức (a) chúng ta tìm được:

Như trong hình (b) hướng của a t là hướng xuống tại B, theo hướng của sự tăng tốc Khi thay giá trị của C1 và a t vào trong phương trình (a) quan hệ giữa v và khoảng cách

s được tìm ra là

2

1.55 312.52

33.35m/s

v v





Các thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là

hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (b)

Giá trị của gia tốc tại B là

với hướng được chỉ ra trong hình (b)

Bài 5

Một dây đai mềm chạy vòng quanh hai puli đường kính khác nhau Tại thời điểm như trong hình vẽ, điểm C trên đai có vận tốc 5m/s và gia tốc 50m/s2

hướng như hình vẽ Tính toán giá trị gia tốc của điểm A và B nằm trên đai tại thời điểm đó

Lời giải

Giả thiết rằng dây đai không giãn, chúng ta kết luận như sau:

1 Mỗi một điểm trên dây đai có cùng vận tốc, đó là v A = v B = v C = 5m/s

2 Tỉ lệ thay đổi của vận tốc (dv/dt) của mỗi điểm trên dây đai là như nhau

Do đó (a A ) t = (a B ) t = a C = 50m/s2.

Đối với điểm A

Đối với điểm B

Bài 6

Một xe goòng trong hình (a) di chuyển với tốc độ không đổi 90km/h dọc theo một

đường ray hình parabol được mô tả bằng phương trình y =x 2 /500 trong đó x và y được

tính bằng mét Tính toán gia tốc của xe goòng khi nó tại (1) điểm O và (2) tại điểm A

Lời giải

Thảo luận ban đầu:

Bởi vì tốc độ của xe goòng là không đổi, thành phần gia tốc tiếp tuyến của nó bằng 0 tại tất cả các điểm dọc theo đường ray Do đó, gia tốc chỉ có một thành phần gia tốc pháp tuyến, được xác định bởi phương trình

2

n

v a

2 2

1 dy

dx

d y dx

Thay các phương trình (c) vào trong phương trình (b), chúng ta tìm ra bán kính cong của đường ray là

Sử dụng phương trình (d), bán kính cong tại điểm O (x O =0) là

Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến trong công thức (a) là

Chú ý răng tiếp tuyến của đường ray tại O nằm trên trục x Do đó (an)O nằm dọc trên

trục y hướng vào tâm cong của đường ray, như trong hình (b)

Phần 2

Sử dụng công thức (d) bán kính cong tại A (x A =100m) là

Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến là:

Sử dụng công thức đầu tiên trong các công thức ở (c), độ dốc của đường ray tại A là

Do đó, (a n ) A có hướng như trong hình (b) vuông góc với đường ray và hướng vào tâm cong

(b)

R t  , trong đó thời gian được tính bằng giây Xác định vận tốc và gia tốc

của con trượt tại thời điểm t =0.5s

Lời giải

Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của các tọa độ cực của con trượt A và hai đạo

hàm đầu tiên của nó ở thời điểm t = 0.5s:

Các thành phần của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức

Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t =0.5s là

Kết quả này được thể hiện trong hình (b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa véctơ v và tay quay được tính toán như sau:

(a)

Các thành phần của gia tốc có được từ công thức

Véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t =0.5s là

Véctơ này được thể hiện trong hình (c) Giá trị của véctơ a và góc  được tính toán từ công thức:

(b)

(c)

Bài 8

Sợi cáp nối tời A với điểm B nằm trên xe goòng trong hình (a) được cuốn đều với vận

tốc 2m/s Khi 0

60

  , xác định (1) vận tốc của B và ; và (2) gia tốc của B và  Bỏ

qua bán kính của tời

  Do véctơ v R hướng ngược với véctơ eR

(hướng về A) nên v R   R 2 /m s Việc biết véctơ v

R và phương của véctơ v (nằm

ngang) giúp chúng ta hoàn thành sơ đồ vận tốc Từ quan hệ hình học, vận tốc của B tại

thời điểm khi 0

60

  là:

(b) (a)

2

4 m/scos 60

v  (hướng sang trái)

v R

  được thể hiện trong hình (c)

Thành phần hướng kính theo công thức:

Dấu âm chỉ ra rằng véctơ aR hướng ngược chiều véctơ eR Do véctơ gia tốc a được biết

là nằm ngang, sơ đồ gia tốc có thể hoàn thành Từ sơ đồ gia tốc, giá trị của gia tốc tại

Bài 9

Một khoang hành khách của một công viên giải trí được nối với một cột thẳng đứng

OC bằng cánh tay AB Trong suốt một khoảng thời gian, cột quay với tốc độ không đổi 1 2 rad / s trong khi cánh tay AB được nâng lên với tốc độ không đổi

Các thành phần vận tốc theo tọa độ trục là:

Nhắc lại rằng  là hằng số, các thành phần gia tốc là:

Hình M3.8

ĐỘ NG HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM

Mục đích của bài

 Trình bày chuyển động tương đối của hai chất điểm

 Phân tích chuyển động ràng buộc của hai hay nhiều chất điểm: đưa ra các khái niê ̣m về ràng buô ̣c đô ̣ng ho ̣c , số bâ ̣c tự do của cơ hê ̣ ; trình bày cách xác định

các ràng buộc động học, số bâ ̣c tự do

Yêu cầu đối với sinh viên

Nhớ công thức liên hê ̣ tương đối giữa hai chất điểm về vi ̣ trí, vâ ̣n tốc và gia tốc Giải được bài toán chuyển động tương đối của hai chất điểm

Viết đươ ̣c phương trình ràng buô ̣c giữa các chất điểm trong bài toán cu ̣ thể , từ đó đưa ra được liên hê ̣ vâ ̣n tốc và gia tốc của chúng

Xác định được số bậc tự do của hê ̣ chất điểm

 Toạ độ độc lập về mặt động học : Toạ độ vị trí của các chất điểm

mà không phụ thuộc vào các ràng buộc động học

 Số bâ ̣c tự do : Số toa ̣ đô ̣ đô ̣c lâ ̣p về mă ̣t đô ̣ng ho ̣c cần để mô tả

đầy đủ cấu hình của mô ̣t hê ̣ chất điểm

Quỹ đạo

của A

Quỹ đạo

của B

CÁC BÀI TẬP MẪU

Bài 1

Hai máy bay A và B đang bay với vận tốc không đổi ở cùng độ cao Vị trí của hai máy

bay tại thời điểm t = 0 được biểu diễn trong hình (a) (hệ quy chiếu xy là cố định trong

không gian) Hãy xác định (1) vận tốc tương đối của máy bay A so với máy bay B; (2) véc tơ định vị tương đối của A so với B như là hàm của thời gian; và (3) khoảng cách gần nhất giữa hai máy bay và thời điểm điều đó xảy ra

B – tức là, vận tốc của A trong hệ toạ độ không quay x y  gắn với máy bay B Vì vA B/

là véc tơ hằng, quỹ đạo tương đối của A đối với hệ toạ độ tính tiến x y  là một đường thẳng như biểu diễn trong hình (b)

Phần 2

Quỹ đạo tương đối của A

Véc tơ định vị tương đối của A so với B có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc tương đối:

trong đó t tính bằng giờ và r0 là hằng số tích phân Từ điều kiện đầu, rA B/  30 kmj khi

t =0, chúng ta có r0  30 kmj Do đó, véc tơ định vị tương đối trở thành

Thay giá trị này của t vào phương trình (a), chúng ta được khoảng cách gần nhất giữa

hai máy bay

Chú ý

Các kết quả trong phần 3 cũng có thể nhận được từ hình (b) Khoảng cách gần nhất

giữa hai máy bay xảy ra khi máy bay đến vị trí C Từ tam giác ABC, chúng ta có

0 min 30sin 26.93 13.59 km

A B

AC t v

Bài 2

Hình (a) biểu diễn một hệ gồm hai khối hộp A và B được nối với nhau bởi một dây không giãn vắt qua hai ròng rọc Xác định liên hệ động học giữa vận tốc và gia tốc của các khối hộp

Lời giải

Cơ hệ trong hình (a) có một bậc tự do vì một toạ độ (y A hoặc x B), xác định cấu hình của

hệ Để thuận tiện, ta đánh số các ròng rọc và ký hiệu khoảng cách cố định, h, như đã chỉ ra trên hình (b) Đặt L là chiều dài của dây, chúng ta có

L = y A + (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 1) + (y A – h)

+ (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 2) + x B

Vì L, h, và chiều dài của đoạn dây cáp quấn quanh mỗi ròng rọc là không đổi, đạo hàm

hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta có

Hệ có một bậc tự do vì chỉ một toạ độ (x A , y B , hoặc θ) xác định cấu hình của hệ

Phương trình ràng buộc thể hiện liên hệ giữa các toạ độ là

Đạo hàm phương trình này theo thời gian (lưu ý rằng xA v A và yB v B) chúng ta có

2x v A A2y v B B 0 Phương trình này được rút gọn thành

sin cos

cos

A B

v a

 

ĐỘ NG HỌC PHẲNG VẬT RẮN

Mục đích của bài

 Giới thiệu về các chuyển động phẳng của vật rắn bao gồm chuyển động tịnh tiến, chuyển đô ̣ng quay quanh trục cố định và chuyển động phẳng tổng quát (chuyển động song phẳng)

 Khảo sát vật chuyển động tịnh tiến và vật quay quanh một trục cố định

 Khảo sát vật chuyển động phẳng tổng quát Trình bày cách xác định tâm vận tốc tức thời và cách xác đi ̣nh vâ ̣n tốc của mô ̣t điểm sử du ̣ng tâm vâ ̣n tốc tức thời

 Phân tích chuyển động phức hợp của chất điểm

Yêu cầu đối với sinh viên

Nhâ ̣n biết được loa ̣i chuyển đô ̣ng của mỗi vâ ̣t rắn trong từng bài toán cu ̣ thể Nhớ tính chất của vâ ̣t chuyển đô ̣ng ti ̣nh tiến

Nhớ các công thức xác đi ̣nh vâ ̣n tốc, gia tốc của điểm thuô ̣c vâ ̣t quay quanh mô ̣t trục cố định

Nhớ công thức liên hê ̣ vâ ̣n tốc và gia tốc giữa hai điểm thuô ̣c vâ ̣t chuyển đô ̣ng phẳng tổng quát

Giải được bài toán độn g ho ̣c phẳng vâ ̣t rắn (xác định vận tốc góc và gia tốc góc của vật, vâ ̣n tốc và gia tốc của điểm thuô ̣c vâ ̣t, …)

Xác định được tâm vận tốc tức thời của vật chuyển động phẳng tổng quát và sử dụng nó để tìm vận tốc của điểm bất kì thuô ̣c vâ ̣t

Nhâ ̣n biết được bài toán hợp chuyển đô ̣ng

Nhớ công thức liên hê ̣ vâ ̣n tốc và gia tốc của điểm tham gia hợp chuyển đô ̣ng Giải được bài toán hợp chuyển động của điểm (xác định vận tốc tuyệt đối , vận tốc tương đối, vâ ̣n tốc theo, gia tốc tuyê ̣t đối, gia tốc tương đối, gia tốc theo, gia tốc coriolis của điểm, vâ ̣n tốc góc, gia tốc góc của các vâ ̣t trong bài toán,…)