Các phương pháp tính và lập trình cho phương trình bậc 1,2,3,4,...n và hệ phương trình bậc n

Các phương pháp tính và lập trình cho bài toán: giải phương trình bậc n, giải hệ phương trình... Phương trình có dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho được gọi là phương trình bậc nhấ

Các phương pháp tính và lập trình cho bài toán: giải phương trình bậc n, giải hệ phương

trình

1.Phương trình bậc n.

*Phương trình bậc 1.

Phương trình có dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Tổng quát phương trình ax+b=0 được giải như sau:

+Nếu a và b đồng thời bằng 0 thì phương trình có vô số nghiệm

+Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm

+Nếu a khác 0 thì phương trình luôn có một nghiệm x = -b/a

Phương pháp lập trình:

*Phương trình bậc 2:

Phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

Cách giải phương trình bậc 2 như sau:

+Nếu a khác 0 thì tính Delta = b² – 4ac:

-Nếu Delta < 0 thì phương trình vô nghiệm

-Nếu Delta = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b/2a

-Nếu Delta > 0 thì sẽ có 2 nghiệm phân biệt: x1 = (-b + delta)/2a và x2 = (-b -Delta)/2a;

+Nếu a = 0 thì phương trình trở thành phương trình bậc 1

Phương pháp lập trình:

*Phương trình bậc 3:

Phương trình bậc 3 có dạng

Cách giải phương trình bậc 3:

+Phương pháp phân tích nhân tử:Nếu phương trình bậc ba ax^3 + bx^2 + cx + d

= 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó có thể phân tích ax^3 + bx^2 +

cx + d = (x − r)[ax^2 + (b + ar)x + c + br + ar^2 ] Từ đó ta đưa về giải một

phương trình bậc hai, có nghiệm là {−b − ra ± √( b^2 − 4ac − 2abr −

3a^2r^2 )}/2a

+Phương pháp Cardano: Xem thêm trong tài liệu tham khảo

+Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic: Xem thêm trong tài liệu tham khảo

+Cách giải tổng quát:

Phương pháp lập trình:

+Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định

+Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4

+Phương pháp đồ thị

Phương pháp lập trình(đoán giá trị ban đầu – cho giá trị nghiệm gần đúng):

*Phương trình bậc 4 trùng phương:

Phương trình có dạng sau: a^4 + b^2 + c = 0 (a≠0)

Cách giải phương trình bậc 4 trùng phương:

+ Biến đổi thành phương trình bậc 2 tương đương như sau:

-Quy nó về phương trình bậc 2 với t = x2

-Ta tiến hành chọn các nghiệm t thỏa mãn tính chất t ≥0

-Với nghiệm t = 0 thì ta suy ra phương trình có nghiệm x = 0

-Với nghiệm t > 0 thì ta suy ra phương trình có hai nghiệm x = ± sqrt(t)

Phương pháp lập trình:

*Phương trình bậc n:

Dạng phương trình: ax^n+bx^(n-1)+…=0

Với các dạng mũ >4 không có công thức tổng quát (không giải được bằng căn thức)

 Giải thuật tham khảo:

+Thuật toán: phương pháp Newton, hay còn gọi là phương pháp lặp nghiệm.

Công thức lặp nghiệm như sau: x = x - f(x)/f '(x)

Đầu tiên, khởi tạo 1 giá trị cho biến x, rồi lặp đi lặp lại Nếu PT có nghiệm thì x sẽ hội tụ đến Xo(nghiệm), còn nếu không có nghiệm (thực) thì sẽ phân kỳ.

Với phương pháp Cramer xảy ra 2 trường hợp:

+ Nếu định thức D = 0 thì phương trình hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm Nếu

Dx = Dy = 0 thì phương trình có vô số nghiệm Ngược lại thì phương trình trên

vô nghiệm

+ Nếu định thức D ≠ 0 thì hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất với x = Dx/D và y = Dy/D

Phương pháp lập trình:

*Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Dạng phương trình:

Cách giải tương tự với HPT 2 ẩn dùng phương pháp Cramer

Phương pháp lập trình:

Kết luận: Cách giải hệ phương trình n ẩn cũng dùng phương pháp Cramer tăng số lượng biến, hệ thức tương ứng theo công thức.