Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân cấp ba với điều kiện biên dạng ba điểm và dạng tích phân

ành lþ iºm b§t ëng Brouwer cho c¡c to¡n tû li¶n töc trong khænggian húu h¤n chi·u.. ành lþ iºm b§t ëng Schauder cho c¡c to¡n tû ho n to n li¶n töctr¶n mët tªp con lçi, kh¡c réng v compac

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

Líi cam oan

Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v  khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c Tæi công xin cam oanr¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc

Líi c£m ìn

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c tîi TS Tr¦n ¼nh Hòng, ng÷íi th¦y tªn t¼nh h÷îng d¨ntæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n

n y

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thºc¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng HSP Th¡i Nguy¶n ¢ truy·n thö cho tæi nhúngki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v  cho tæi nhúng þ ki¸n ânggâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

B£n luªn v«n ch­c ch­n s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡cb¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn Cuèi còng xin c£m

ìn gia ¼nh v  b¤n b± ¢ ëng vi¶n, kh½ch l» tæi trong thíi gian håc tªp,nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019

T¡c gi£

Ph¤m Thà Thu Trang

2 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi

i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm v  d¤ng t½ch ph¥n 122.1 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u

ki»n bi¶n d¤ng ba iºm 122.2 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u

ki»n bi¶n d¤ng t½ch ph¥n 24

A ∩ B giao cõa hai tªp hñp A v  B

A × B t½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v  Bker(f ) h¤t nh¥n cõa f

Coker(f ) èi h¤t nh¥n cõa f

Mð ¦u

Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba câ nhi·u ùng döng a d¤ng trong c¡c l¾nhvüc vªt lþ, kÿ thuªt [1], [9] Ch¯ng h¤n nh÷ b i to¡n x²t ë vãng cõa mëtd¦m ba lîp ÷ñc t¤o th nh bði c¡c lîp song song c¡c vªt li»u kh¡c nhau[8], b i to¡n nghi¶n cùu dáng ch£y cõa mët m ng mäng ch§t läng nhîttr¶n b· m°t r­n, khi mët m ng nh÷ vªy ch£y xuèng mët vªt li»u theoh÷îng th¯ng ùng s³ chàu £nh h÷ðng cõa sùc c«ng b· m°t, lüc h§p d¨ncông nh÷ ë nhît [12] Nhi·u ph÷ìng tr¼nh cõa h» dao ëng công ÷ñc

÷a v· c¡c h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba [11] Trong c¡c b i to¡n â,c¡c i·u ki»n bi¶n ÷ñc d¨n ¸n câ thº ð d¤ng ba iºm, d¤ng t½ch ph¥nhay c¡c d¤ng phi tuy¸n

Nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥nc§p ba ¦y õ vîi c¡c lo¤i i·u ki»n bi¶n kh¡c nhau thu hót ÷ñc nhi·u

sü quan t¥m cõa c¡c nh  to¡n håc Kÿ thuªt kh¡ phê bi¸n ÷ñc sû döng

º nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba l  ph÷ìng ph¡p nghi»mtr¶n v  nghi»m d÷îi [6], [7] v  c¡c ph÷ìng ph¡p li¶n töc düa tr¶n vi»c

¡nh gi¡ ti¶n nghi»m cõa mët hå c¡c b i to¡n vîi mët tham sè th¶m v o,sau â sû döng c¡c ành lþ v· iºm b§t ëng [2], [3], [4], [5]

Chóng tæi ¢ chån luªn v«n Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh viph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm v  d¤ng t½ch ph¥n Möc ½chcõa luªn v«n l  tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cõa Abdelkader Boucherif[3], [4] v· sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba ¦y õ:

y000(t) = f (t, y(t), y0(t), y00(t)), 0 < t < 1,

trong hai tr÷íng hñp, i·u ki»n bi¶n Dirichlet ba iºm v  i·u ki»n bi¶nd¤ng t½ch ph¥n.

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v 

t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· mët sè ành l½ iºm b§t

ëng, to¡n tû Fredholm v  h m Green

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët sè i·u ki»n õ º ¤t ÷ñc ¡nh gi¡ ti¶nnghi»m cõa mët hå b i to¡n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba ¦y õtrong hai tr÷íng hñp: i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm v  i·u ki»n bi¶n d¤ngt½ch ph¥n Sau â sû döng c¡c ành lþ iºm b§t ëng º chùng minh mët

sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc cì sð

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau,

÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [10], [13]

1.1 Mët sè ành lþ iºm b§t ëng

Cho ¡nh x¤ T : A → A Méi nghi»m x cõa ph÷ìng tr¼nh x = T x ÷ñcgåi l  mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

Mët sè ành lþ iºm b§t ëng sau ¥y l  c¡c ành lþ n·n t£ng cì b£n

÷ñc sû döng phê bi¸n trong chùng minh sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõac¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n

1 ành lþ iºm b§t ëng Banach cho c¡c to¡n tû co vîi h» sè co k

2 ành lþ iºm b§t ëng Brouwer cho c¡c to¡n tû li¶n töc trong khænggian húu h¤n chi·u

3 ành lþ iºm b§t ëng Schauder cho c¡c to¡n tû ho n to n li¶n töctr¶n mët tªp con lçi, kh¡c réng v  compact trong khæng gian Banach (væh¤n chi·u) ¥y l  mët têng qu¡t hâa cõa ành lþ b§t ëng Brouwer

4 ành lþ iºm b§t ëng Scheafer cho c¡c to¡n tû li¶n töc v  compacttrong khæng gian Banach

Ngo i ra mët sè ành lþ iºm b§t ëng quan trång kh¡c ÷ñc sû döngnhi·u trong nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi

tuy¸n, ch¯ng h¤n nh÷ ành lþ Leray - Schauder cho c¡c to¡n tû compacttr¶n mët tªp con lçi, kh¡c réng, bà ch°n cõa khæng gian Banach.

Còng vîi c¡c ành lþ iºm b§t ëng, l½ thuy¸t bªc Brouwer v  l½ thuy¸tch¿ sè iºm b§t ëng công l  nhúng cæng cö quan trång, ÷ñc ùng döngnhi·u trong nghi¶n cùu sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ li¶n töccông nh÷ sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n

(i) T : M ⊆ X → M l  mët ¡nh x¤ tø M v o ch½nh nâ;

(ii) M l  tªp âng, kh¡c réng trong khæng gian metric ¦y õ (X, d);(iii) T l  mët ¡nh x¤ co vîi h» sè k

Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t nghi»m x, tùc l  T câ duy nh§tmët iºm b§t ëng tr¶n M

ành lþ iºm b§t ëng Banach câ þ ngh¾a quan trång trong gi£i t½ch,

°c bi»t trong vi»c chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa c¡cph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n

ành lþ iºm b§t ëng Brouwer

Kh¡c vîi ành lþ iºm b§t ëng Banach, ành lþ iºm b§t ëngBrouwer khæng ch¿ ra t½nh duy nh§t cõa iºm b§t ëng, tuy nhi¶n c¡c

gi£ thi¸t cõa ành lþ Brouwer ÷ñc nîi läng hìn so vîi ành lþ iºm b§t

ëng Banach

ành lþ 1.1.3 (xem [13]) (ành lþ iºm b§t ëng Brouwer (1912))Gi£ sû M l  tªp con kh¡c réng, lçi, compact cõa Rn, trong â N ≥ 1 v 

f : M → M l  ¡nh x¤ li¶n töc Khi â f câ mët iºm b§t ëng

Mët h¤n ch¸ cõa ành lþ Brouwer l  ch¿ ¡p döng ÷ñc cho c¡c ¡nhx¤ li¶n töc tr¶n khæng gian húu h¤n chi·u Tuy nhi¶n khi x²t sü tçn t¤inghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ta ph£i x²t tr¶n c¡c khæng gian

h m, ¥y l  khæng gi¤n Banach væ h¤n chi·u, v¼ th¸ khæng thº ¡p döng

ành lþ iºm b§t ëng Brouwer èi vîi c¡c to¡n tû tr¶n khæng gian væh¤n chi·u th¼ ành lþ iºm b§t ëng Schauder - mët phi¶n b£n mð rëngcõa ành lþ iºm b§t ëng Brouwer °c bi»t hi»u qu£ v  ÷ñc sû döngphê bi¸n ành lþ n y s³ ÷ñc tr¼nh b y trong ph¦n d÷îi ¥y

ành lþ iºm b§t ëng Schauder

Trong ph¦n n y s³ tr¼nh b y mët têng qu¡t hâa cõa ành lþ iºm b§t

ëng Brouwer cho c¡c to¡n tû compact trong khæng gian Banach væ h¤nchi·u â l  ành lþ iºm b§t ëng Schauder

To¡n tû compact ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

ành ngh¾a 1.1.4 (xem [13]) Cho X v  Y l  c¡c khæng gian Banach v 

T : D(T ) ⊆ X → Y l  mët to¡n tû T ÷ñc gåi l  to¡n tû compact hay

ho n to n li¶n töc n¸u T ¡nh x¤ måi tªp bà ch°n v o tªp compact t÷ìng

èi

C¡c to¡n tû compact âng vai trá quan trång trong gi£i t½ch h m phituy¸n Thüc t¸ câ nhi·u k¸t qu£ cho c¡c to¡n tû li¶n töc tr¶n Rn ÷ñcchuyºn sang c¡c khæng gian Banach khi thay th¸ t½nh li¶n töc b¬ng t½nhcompact

V½ dö 1.1.5 Gi£ sû r¬ng ta câ h m li¶n töc

K : [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K,

trong â −∞ < a < b < +∞, 0 < R < ∞ v  K = R, C K½ hi»u

M = {x ∈ C([a, b] , K) : kxk ≤ R} ,trong â kxk = maxa≤s≤b|x(s)| v  C([a, b] , K) l  khæng gian c¡c ¡nh x¤li¶n töc x : [a, b] → K

X²t c¡c to¡n tû t½ch ph¥n

(T x)(t) =

Z b a

K(t, s, x(s))ds,

(Sx)(t) =

Z t a

K(t, s, x(s))ds, ∀t ∈ [a, b] Khi â S, T ¡nh x¤ M v o C([a, b] , K) l  to¡n tû compact

ành lþ 1.1.6 (xem [13]) (ành lþ iºm b§t ëng Schauder (1930)) Cho

M l  mët tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa khæng gian Banach X v  gi£

sû T : M → M l  to¡n tû compact Khi â T câ iºm b§t ëng

Mët phi¶n b£n kh¡c cõa ành lþ iºm b§t ëng Schauder ÷ñc ph¡tbiºu nh÷ d÷îi ¥y

H» qu£ 1.1.7 Cho M l  mët tªp con kh¡c réng, lçi, compact cõa khænggian Banach X, v  gi£ sû T : M → M l  to¡n tû li¶n töc Khi â T câ

iºm b§t ëng

ành lþ Schauder câ nhi·u ùng döng quan trång trong chùng minh sütçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n vîi tham sè b², sü tçn t¤inghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v  h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n,

ành lþ iºm b§t ëng Schaefer

ành lþ Schaefer l  mët bi¸n thº cõa ành lþ Leray - Shauder, côngth÷íng ÷ñc sû döng º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n ¦y õ

ành lþ 1.1.8 Cho X l  khæng gian Banach, h m f : X → X li¶n töc

Ta k½ hi»u F(X, Y ) l  khæng gian c¡c to¡n tû Fredholm tø X tîi Y Ch¿ sè cõa to¡n tû Fredholm T , k½ hi»u Index(T ) ÷ñc x¡c ành bði

Index(T ) = dim(Ker(T )) − dim(Coker(T ))

Mët sè t½nh ch§t

Cho X, Y, Z l  c¡c khæng gian Banach

i) N¸u T1 : X → Y v  T2 : Y → Z bà ch°n, v  hai trong ba to¡n tû T1, T2

v  T2T1 l  to¡n tû Fredholm, th¼ to¡n tû cán l¤i l  to¡n tû Fredholm, v 

Index(T2 ◦ T1) = Index(T1) + Index(T2)

ii) F(X, Y ) l  tªp mð trong L(X, Y ) v 

Index : F(X, Y ) → R

l  h m h¬ng

1.3 H m Green

H m Green câ ùng döng rëng r¢i trong nghi¶n cùu c¡c b i to¡n gi¡ tràbi¶n v  l  cæng cö quan trång º ch¿ ra sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»mcõa c¡c b i to¡n

X²t b i to¡n gi¡ trà bi¶n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t

trong â pi(x), i = 0, n l  c¡c h m li¶n töc tr¶n (a, b), p0(x) 6= 0 vîi måi

iºm thuëc (a, b)

ành ngh¾a 1.3.1 (xem [10]) H m G(x, t) ÷ñc gåi l  h m Green cõa

b i to¡n gi¡ trà bi¶n (1.3) - (1.4) n¸u xem nh÷ h m cõa bi¸n x, nâ thäam¢n c¡c i·u ki»n d÷îi ¥y vîi måi t ∈ (a, b):

(i) Tr¶n [a, t) v  (t, b], G(x, t) l  h m li¶n töc, câ ¤o h m li¶n töc tîi c§p

ành lþ sau ch¿ ra i·u ki»n v· sü tçn t¤i v  duy nh§t cõa h m Green.

ành lþ 1.3.2 (xem [10]) (Tçn t¤i v  duy nh§t) N¸u b i to¡n gi¡ tràbi¶n thu¦n nh§t trong (1.3) - (1.4) ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng th¼ tçn t¤iduy nh§t h m Green t÷ìng ùng vîi b i to¡n

trong â c¡c h» sè pj(x) v  c¡c h m v¸ ph£i f(x) trong ph÷ìng tr¼nh (1.5)

l  c¡c h m li¶n töc, vîi p0(x) 6= 0 tr¶n (a, b) v  Mi biºu di¹n c¡c d¤ng ëclªp tuy¸n t½nh vîi c¡c h» sè h¬ng

ành lþ sau thº hi»n mèi quan h» giúa t½nh duy nh§t nghi»m cõa (1.5)

- (1.6) vîi b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng

ành lþ 1.3.3 (xem [10]) N¸u b i to¡n gi¡ trà bi¶n thu¦n nh§t t÷ìng ùngvîi (1.5) - (1.6) ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng th¼ b i to¡n (1.5) - (1.6) cânghi»m duy nh§t biºu di¹n d÷îi d¤ng

y(x) =

Z b a

G(x, t)f (t)dt,trong â G(x, t) l  h m Green cõa b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng

Mët sè v½ dö d÷îi ¥y ch¿ ra c¡ch x¡c ành h m Green èi vîi b i to¡ngi¡ trà bi¶n cö thº

(1.7)

H m Green ÷ñc t¼m d÷îi d¤ng sau

trong â A1, A2 v  B1, B2 l  c¡c h m cõa t H m Green n y thäa m¢n

i·u ki»n (i)

Do h m Green G(x, t) thäa m¢n b i to¡n bi¶n vîi c¡c i·u ki¶n bi¶n thu¦nnh§t (ii) ta suy ra ÷ñc A1 = B1 = 0 Do â, h m Green cõa b i to¡n l 

Thay c¡c h» sè t¼m ÷ñc v o ph÷ìng tr¼nh (1.9) ta ÷ñc h m Green

(1.12)

Do â, nghi»m cõa b i to¡n (1.7) biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng

u(x) =

Z 1 0

(1.13)

Khi â h m Green t÷ìng ùng vîi b i to¡n n y câ d¤ng

G(x, t)ϕ(t)dt

Ch֓ng 2

Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n

d¤ng ba iºm v  d¤ng t½ch ph¥n

2.1 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p

ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm

Nëi dung trong möc n y ÷ñc tham kh£o trong t i li»u [3] X²t ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm:

y000(t) = f (t, y(t), y0(t), y00(t)), 0 < t < 1, (2.1)y(0) = y(a) = y(1) = 0, 0 < a < 1 (2.2)K½ hi»u I l  o¤n [0, 1], C(I) l  khæng gian Banach c¡c h m thüc li¶ntöc trong I vîi chu©n kyk0 = max {|y(t)| , t ∈ I}

Vîi k = 1, 2, , k½ hi»u Ck(I) l  khæng gian Banach c¡c h m câ ¤o

h m li¶n töc tîi c§p k trong I, vîi chu©n

kykk = max(kyk0, ky0k0, , ky(k)k0)

C03(I) l  khæng gian Banach c¡c h m y ∈ C3(I) thäa m¢n y(0) =y(a) = y(1) = 0; L1(I) l  khæng gian c¡c h m kh£ t½ch Lebesgue trong I

Sau ¥y ta s³ tr¼nh b y c¡ch x¥y düng h m G(t, s) Gi£ sû ur(t), (1 ≤

r ≤ 3) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh y000 = 0 v  thäa m¢n c¡c i·u ki»nbi¶n:

Tø t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t,suy ra ϕ(t, s) = v(t, s), tùc l 

→ R li¶n töc, th¼ y ∈ C3(I) l  nghi»m cõa b ito¡n (2.3), (2.4) khi v  ch¿ khi y ∈ C2(I) v  l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nht½ch ph¥n

y(t) = λ

Z 1 0

G(t, s)f (s, y(s), y0(s), y00(s))ds (2.5)

ành ngh¾a to¡n tû tuy¸n t½nh

L : C03(I) → C(I)x¡c ành bði

(Ly)(t) = y000(t), ∀t ∈ I

Khi â L l  to¡n tû Fredholm vîi ch¿ sè 0 v  câ h m ng÷ñc ho n to nli¶n töc L−1, ÷ñc cho bði cæng thùc

(L−1h)(t) =

Z 1 0

G(t, s)h(s)ds, ∀t ∈ I

Ta ành ngh¾a to¡n tû Nemitski F cõa f nh÷ sau:

F : C2(I) → C(I),(F y)(t) = f (t, y(t), y0(t), y00(t)), ∀t ∈ I

Khi â ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (2.5) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr¼nh

trong â j : C3

0(I) → C2(I) l  ph²p nhóng jy(t) = y(t)

Bê · 2.1.2 Cho y ∈ C1

0(I) N¸u tçn t¤i m1 > 0 sao cho |y0(t)| ≤ m1

vîi måi t ∈ I th¼ |y(t)| ≤ m1

|y0(s)| ds +

Z 1 t

|y0(s)| ds =

Z 1 0

y cõa (2.3), (2.4) th¼ b i to¡n (2.1), (2.2) tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m.Chùng minh °t U = y ∈ C3

0(I); kyk(3) < m + 1 Khi â U l  tªp conlçi mð cõa C3

Ti¸p theo ta s³ tr¼nh b y i·u ki»n õ cho h m f º ¤t ÷ñc ¡nhgi¡ ti¶n nghi»m cõa b i to¡n (2.3), (2.4).

Chùng minh Gi£ sû y 6= 0 l  nghi»m cõa (2.3), (2.4) Ta chùng minh

|y0(t)| ≤ r1 vîi måi t ∈ I Gi£ sû ng÷ñc l¤à, tçn t¤i t1 ∈ I sao cho |y0(t1)| >

r1 Khi â ho°c y0(t1) > r1 ho°c y0(t1) < −r1 X²t tr÷íng hñp y0(t1) > r1(tr÷íng hñp cán l¤i l m t÷ìng tü), suy ra max {|y0(t)| ; t ∈ I} > r1 Do

y0 li¶n töc n¶n tçn t¤i t2 ∈ I thäa m¢n y0(t2) = max {|y0(t)| ; t ∈ I} N¸u

t2 ∈ (0, 1) th¼ y0(t2) > r1, y00(t2) = 0 v  y0(t2)y000(t2) ≤ 0 Theo i·u ki»n(H1) ta câ:

y0(t2)f (t2, y(t2), y0(t2), y00(t2)) = y0(t2)f (t2, y(t2), y0(t2), 0) > 0

Theo (2.3) v  0 < λ ≤ 1 suy ra:

0 ≥ λy0(t2)y000(t2) > 0

i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

N¸u t2 = 0, tùc l  y0 ¤t gi¡ trà lîn nh§t t¤i t = 0, khi â y00(0) ≤ 0 v 

y0(0) > r1

N¸u y00(0) = 0, tø (H1) ta câ

y0(0)y000(0) = y0(0)f (0, 0, y0(0), 0) > 0,suy ra y000(0) > 0 Do â y00 ìn i»u t«ng vîi t g¦n 0 v  t > 0, suy ra

N¸u t2 = 1, x²t t÷ìng tü ta công nhªn ÷ñc sü m¥u thu¨n nh÷ tr¶n.

Z +∞

0

dσΦ(σ) > kqkL1, vîi måi ω ∈ R v  r1 trong

2, |y

0(t)| ≤ r1, ∀t ∈ I thäa m¢n |y00(t)| ≤ r2vîi måi t ∈ I

Chùng minh Gi£ sû y l  nghi»m cõa b i to¡n (2.3),(2.4) thäa m¢n |y(t)| ≤

Ta s³ chùng tä r¬ng |y00(t)| ≤ r2 vîi måi t ∈ I Gi£ sû ng÷ñc l¤i, tçn t¤i

t ∈ I thäa m¢n |y00(t)| > r2 Do y(0) = y(a) = y(1), n¶n tçn t¤i s1 ∈ (0, a)

v  s2 ∈ (a, 1) sao cho y0(s1) = 0 = y0(s2) Suy ra tçn t¤i t ∈ (s1, +s2) thäam¢n y00(t) = 0

Nh÷ vªy ta câ |y00(t)| = 0 v  |y00(t)| > r2

V¼ y ∈ C3(I) n¶n tçn t¤i o¤n [σ1, σ2] ⊂ I, thäa m¢n mët trong nhúng

i·u ki»n sau ¥y:

(i) y00(σ1) = 0, y00(σ2) = r2 v  0 < y00(t) < r2, ∀t ∈ (σ1, σ2)

σ1

y000(t)Φ(y00(t))dt ≤

Z σ2

σ1

q(t)dt ≤

Z 1 0

q(t)dt = kqkL1.Khi â ta câ b§t ¯ng thùc

Z r20

dσΦ(σ) ≤ kqkL1

i·u â m¥u thu¨n vîi c¡ch chån r2 X²t c¡c tr÷íng hñp cán l¤i ta thu

÷ñc |y00(t)| ≤ r2, ∀t ∈ I

ành lþ 2.1.6 Cho h m f : I × R3

→ R li¶n töc v  thäa m¢n (H1),(H2) Khi â b i to¡n (2.1) v  (2.2) tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m

Chùng minh Gi£ sû y l  mët nghi»m cõa (2.3), (2.4) Tø i·u ki»n (H1)

0(I); kyk(3) < 1 + r} v  ¡p döng ành l½ 2.1.3 ta câ

i·u ph£i chùng minh

V½ dö 2.1.7 X²t b i to¡n bi¶n:

y000(t) = tey(t)(y0(t) − 1)(1 + y00(t)2), 0 < t < 1, (2.7)