KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN

Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý – toán .... Do đó, phương pháp giải tích thường được sử dụng để giảng dạy cho sinh viên vì các bài toán vật lý tron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

VẬT LÝ - TOÁN

Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý

TP Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH

VẬT LÝ - TOÁN

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trúc Phương

Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Vũ Thụ Nhân

TP Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân – người đã tận tình giúp đỡ

và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn Trường, Phòng đào tạo, các thầy cô trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện khóa luận này

Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã giúp đỡ, động viên, hỗ trợ tôi hết mình trong thời gian thực hiện khóa luận

TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019

SINH VIÊN

Huỳnh Trúc Phương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC BẢNG BIỂU v

DANH MỤC HÌNH VẼ vi

MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 2

III Đối tượng nghiên cứu 2

IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2

V Phạm vi nghiên cứu 2

VI Cấu trúc đề tài 2

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 4

1.1 Một số hàm đặc biệt 4

1.1.1 Hàm delta Dirac 4

1.1.2 Hàm Heaviside 4

1.1.3 Hàm Bessel 4

1.1.4 Đa thức Legendre 5

1.2 Các phép biến đổi tích phân 6

1.2.1 Phép biến đổi Fourier 6

1.2.2 Phép biến đổi Fourier Sin và Cos 9

1.2.3 Phép biến đổi Fourier phức 9

1.2.4 Phép biến đổi Laplace 10

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ – TOÁN 15

2.1 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 15

2.1.1 Giới thiệu phương pháp 15

2.1.2 Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng 15

2.1.2.1 Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do 15

2.1.2.2 Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức 22

2.1.3 Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt 25

2.1.3.1 Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn 25

2.1.3.2 Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn 31

2.1.4 Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace 34

2.1.5 Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác 38

2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT 44

2.2.1 Giới thiệu phương pháp 44

2.2.2 Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền sóng 44

2.2.2.1 Truyền sóng trên dây dài vô hạn 44

2.2.2.2 Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn 46

2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 48

2.3.1 Giới thiệu phương pháp 48

2.3.2 Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý – toán 48

2.4 PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 54

2.4.1 Giới thiệu phương pháp 54

2.4.2 Hàm Green 54

2.4.3 Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian 56

2.4.4 Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất trong không gian ba chiều 60

2.4.5 Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell và bài toán phụ thuộc vào thời gian 62

Chương 3 ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN 68

3.1 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 68

3.1.1 Giải các bài toán truyền sóng 68

3.1.2 Giải các bài toán truyền nhiệt 75

3.1.3 Giải các bài toán Laplace 81

3.1.4 Giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác 88

3.2 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT 98

3.3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 101

3.4 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 115 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO 127

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 Bảng biến đổi Laplace 13 Bảng 1.2 Bảng biến đổi Laplace mở rộng 14

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Chu tuyến lL trong mặt phẳng phức 12 Hình 2.1 Đồ thị hàm số yu x t( , ) 100

MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Trong vật lý, việc giải các phương trình đạo hàm riêng như: phương trình truyền

sóng, phương trình truyền nhiệt,… mang lại ý nghĩa quan trọng Các nhà vật lý biết được dao động của dây, dao động của sóng nước, nhờ việc giải phương trình truyền sóng, biết sự biến thiên của nhiệt độ theo thời gian trong một miền cho trước nhờ việc giải phương trình truyền nhiệt, [7],[5] Để giải các phương trình này, các nhà vật lý thường

sử dụng một số phương pháp toán học: phương pháp số, phương pháp giải tích Phương pháp số có thể giải được nhiều bài toán phức tạp, nhưng chỉ giải ra nghiệm gần đúng [4] Còn phương pháp giải tích giải ra nghiệm một cách chính xác nhưng trở nên khó khăn đối với các bài toán phức tạp [3] Do đó, phương pháp giải tích thường được sử dụng để giảng dạy cho sinh viên vì các bài toán vật lý trong chương trình học của sinh viên không quá phức tạp

Hiện nay, ở nhiều trường đại học, sinh viên chuyên ngành vật lý được học các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý toán: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace Mỗi loại phương trình có nhiều dạng khác nhau: phương trình truyền sóng trên dây dài hữu hạn và vô hạn, truyền sóng trên dây dao động cưỡng bức; phương trình truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn chứa nguồn

và không chứa nguồn, phương trình Laplace, Các phương pháp giải tích thường được

sử dụng để giải các phương trình này là phương pháp tách biến và phương pháp đa thức D’Alembert Hai phương pháp này được dùng phổ biến vì không đòi hỏi sinh viên biết nhiều kiến thức toán phức tạp Ngoài ra còn có các phương pháp tìm ra nghiệm dễ dàng hơn nhưng khá nặng về kiến thức toán như phương pháp biến đổi tích phân, phương pháp hàm Green Do có nhiều dạng phương trình, nhiều phương pháp giải tích để giải chúng nên việc hệ thống lại các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý toán

là rất cần thiết Nhờ đó, sinh viên có thể xâu chuỗi lại kiến thức đã học, biết được thêm các phương pháp mới, giúp cho việc học trở nên dễ dàng hơn

Vì vậy, nhằm đáp ứng nhu cầu trên, tôi đã hệ thống lại các phương pháp giải tích

để giải các bài toán phương trình vật lý - toán trong đề tài này

II Mục đích nghiên cứu

Đề tài hướng đến hai mục đích sau:

 Đưa ra được hệ thống các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêng ứng dụng rộng rãi trong vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace

 Đưa ra hệ thống bài giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng đã nói ở trên bằng các phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green

III Đối tượng nghiên cứu

 Các bài toán đạo hàm riêng ứng dụng trong vật lý

 Các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán đạo hàm riêng trong vật lý

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu các bài toán đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý thông qua các giáo trình, sách, các tài liệu liên quan

 Phân tích những ưu điểm, nhược điểm của các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán vật lý – toán

V Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật

lý - toán thường gặp: phương trình truyền sóng trên dây, phương trình truyền nhiệt trên thanh, phương trình Laplace,…

VI Cấu trúc đề tài

Mở đầu: Phần này tôi trình bày tổng quan về đề tài nghiên cứu, bao gồm: lí do chọn đề

tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc đề tài

Chương 1 Cơ sở lý thuyết của đề tài nghiên cứu

Trong chương này, tôi trình bày một số hàm đặc biệt được đề cập tới trong đề tài

và các phép biến đổi tích phân để làm cơ sở cho phương pháp biến đổi tích phân trong chương 2

Chương 2 Các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý – toán

Trong chương này, tôi trình bày về các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý toán, cụ thể gồm: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức d’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green

Chương 3 Áp dụng các phương pháp giải tích giải phương trình vật lý - toán

Trong chương này, tôi trình bày hệ thống giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng trong vật lý theo từng phương pháp giải tích đã đề cập trong chương 2

Kết luận và hướng phát triển

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.1 Một số hàm đặc biệt

Đa thức Legendre bậc n, ký hiệu là 𝑃𝑛(𝑥), được cho bởi biểu thức sau:

𝑃𝑛(𝑥) = 1

𝑛! 2𝑛

𝑑𝑛(𝑥2− 1)𝑛

𝑑𝑥2 , 𝑛 = 0,1,2, … (1.1.11) Một vài giá trị bậc nhỏ của đa thức Legendre:

𝑃0(𝑥) = 1

𝑃1(𝑥) = 𝑥

1.2 Các phép biến đổi tích phân

1.2.1 Phép biến đổi Fourier

Cho 𝑓𝑇(𝑡) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T Chuỗi Fourier của hàm 𝑓𝑇(𝑡) có dạng:

{

𝑎0 =2

𝑇∫ 𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 2

−𝑇2

𝑎𝑛 = 2

𝑇∫ 𝑓𝑇(𝑡) cos(𝜔𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝑇 2

−𝑇2

𝑏𝑛 = 2

𝑇∫ 𝑓𝑇(𝑡) sin(𝜔𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝑇 2

−𝑇2

Thay 𝑎𝑛, 𝑏𝑛, 𝜔𝑛 vào 𝑓𝑇(𝑡):

⇒ 𝑓𝑇(𝑡) = 1

𝑇∫ 𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 2

−𝑇2

+2

𝑇∑ [cos 𝜔𝑛𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos(𝜔𝑛𝑣) 𝑑𝑣

𝑇 2

Do đó, 𝑓𝑇(𝑡) được viết lại dưới dạng sau:

𝑓𝑇(𝑡) = 1

𝑇∫ 𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 2

−𝑇2

+1

𝜋{∑ [cos 𝜔𝑛𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos(𝜔𝑛𝑣) 𝑑𝑣∆𝜔

𝑇 2

−𝑇2

]}

(1.2.3)

Biểu thức (1.2.3) đúng với T bất kỳ nhưng T phải có giá trị hữu hạn Bây giờ ta xét

𝑇 → +∞ và giả sử rằng kết quả thu được là một hàm không tuần hoàn:

𝑓(𝑡) = lim

𝑇→+∞𝑓𝑇(𝑡) Hàm này khả tích trên trục t, nghĩa là tồn tại tích phân

∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡

+∞

−∞

1.2.2 Phép biến đổi Fourier Sin và Cos

Cho hàm 𝑢(𝑥, 𝑡) xác định ∀ 𝑥 ∈ (0, +∞), ∀ 𝑡 ≥ 0 Biến đổi Fourier Sin của hàm 𝑢(𝑥, 𝑡) theo biến x được xác định bởi:

1.2.3 Phép biến đổi Fourier phức

Phép biến đổi Fourier phức của hàm f(t) được định nghĩa như sau:

Ý nghĩa vật lý của việc biến đổi này như sau: ta hình dung hàm 𝑓(𝑡) đóng vai trò

là chùm sáng trong quang học, việc biến đổi Fourier giống như việc cho chùm sáng đi qua lăng kính, khi đó chúng sẽ bị tách ra thành các thành phần có tần số 𝜔 ứng với cường

độ 𝐹(𝜔) Trong quang học, mỗi ánh sáng đơn sắc ứng với một tần số Do đó việc biến đổi Fourier sẽ cho ra các thành phần với các màu sắc khác nhau, tạo thành phổ màu Và khi biến đổi Fourier ngược, ta sẽ đưa về chùm sáng ban đầu [2]

Một trong những định lý quan trọng để giải các bài tập sử dụng phép biến đổi Fourier phức là định lý tích chập

1.2.4 Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace của hàm 𝑓(𝑥) được định nghĩa như sau:

ℒ(𝑓(𝑥)) = 𝐹(𝑝) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑝𝑥𝑑𝑥

+∞

0

(1.2.17) trong đó 𝑓(𝑥) xác định ∀ 𝑥 ≥ 0 và khả vi trên mọi miền dương hữu hạn; 𝑝 là số phức,

có dạng 𝑝 = 𝛾 + 𝑖𝛽, là một tham số phức hội tụ trong miền 𝑅𝑒(𝑝) = 𝛾 > 𝛾0 Hàm 𝑓(𝑥) được cho phải thỏa mãn điều kiện sao cho 𝑒−𝑘𝑥|𝑓(𝑥)| khả vi trong mọi miền 0 < 𝑥 <

∞ Để tìm lại hàm 𝑓(𝑥) từ hàm 𝐹(𝑝), ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược

Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa:

Nếu 𝑓(𝑧) có một cực điểm cấp 𝑚 > 1 tại 𝑧 = 𝑎 thì thặng dư được cho bởi:

Chu tuyến 𝑙 + 𝐿 biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình 1.1 Chu tuyến này bao quanh tất cả các điểm bất thường cô lập của hàm lấy tích phân Tích phân dọc theo chu tuyến 𝐿 + 𝑙 có giá trị:

Định lý 1.2.4 (Định lý tích chập trong biến đổi Laplace)

Cho 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai hàm bất kỳ, có biến đổi Laplace với ℒ(𝑓(𝑥)) =𝐹(𝑝), ℒ(𝑔(𝑥)) = 𝐺(𝑝) thì:

ℒ [∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢

𝑥 0

và biến đổi ngược:

ℒ−1[𝑓(𝑝)𝐺(𝑝)] = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢

𝑥 0

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH

VẬT LÝ – TOÁN

Nội dung chương 2 được tham khảo từ tài liệu [3]

2.1 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN

2.1.1 Giới thiệu phương pháp

Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp hiệu quả để giải các bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng Ý tưởng của phương pháp này là chuyển phương trình ban đầu thành các phương trình vi phân thường Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có thể biểu diễn thành chuỗi vô hạn các nghiệm của phương trình vi phân thường Nhờ vào điều kiện biên, ta tìm được hệ số của chuỗi, từ đó suy ra nghiệm phương trình đã cho

Phần này sẽ trình bày phương pháp tách biến để giải các bài toán truyền sóng, truyền nhiệt, Laplace,…Trước hết, ta sẽ xét các phương trình truyền sóng

2.1.2 Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng

Phương trình truyền sóng là phương trình đạo hàm riêng dùng để mô tả sóng cơ (sóng nước, sóng âm,…) hoặc sóng ánh sáng trong vật lý [7]

Ta sẽ lần lượt xét các bài toán truyền sóng một chiều: truyền sóng trên dây dài hữu hạn dao động tự do và truyền sóng trên dây dao động cưỡng bức

Ta xét một dây căng đàn hồi có chiều dài l Người ta làm biến dạng sợi dây, sau đó thả ra với vận tốc cho trước Ta sẽ xác định được độ lệch của dây tại một điểm 𝑥𝑖 nào

đó, dọc trên dây vào thời điểm t bằng cách tìm nghiệm phương trình sóng Phương trình truyền sóng một chiều của dây được cho như sau:

dây được mô tả bởi hàm 𝐹(𝑥) với:𝜕𝑢

𝜕𝑡 (𝑥, 0) = 𝐹(𝑥) Trong đó, 𝑓(𝑥) khả vi liên tục tới cấp 2 và 𝐹(𝑥) khả vi liên tục trên −∞ < 𝑥 < ∞ Sử dụng phương pháp tách biến, ta có:

Trong phương trình (2.1.3), vế trái là hàm theo t, vế phải là hàm theo x Do đó hai

vế chỉ bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số 𝜆 nào đó sao cho:

1𝑋

𝑇′′(𝑡) + 𝑐2𝜆𝑇(𝑡) = 0 (2.1.6) Đối với phương trình sóng một chiều, điều kiện biên có các trường hợp: hai đầu cố định, hai đầu thả tự do, một đầu cố định và đầu kia thả tự do

 Trường hợp hai đầu cố định

Điều kiện biên:

{𝑢(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0𝑢(𝑙, 𝑡) = 𝑋(𝑙)𝑇(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0

𝑘=1

= 𝐹(𝑥)

∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]

Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta thu được:

Sau khi tìm được 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền sóng đã cho

 Trường hợp hai đầu thả tự do

Điều kiện biên:

{𝑢′(0, 𝑡) = 𝑋′(0)𝑇(𝑡) = 0𝑢′(𝑙, 𝑡) = 𝑋′(𝑙)𝑇(𝑡) = 0 ∀𝑡 ≥ 0

Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆

(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥 Điều kiện biên (2.1.8): {

𝑋′(0) = 0𝑋′(𝑙) = 0

𝑎0 =2

𝑙 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑙 0

Thay 𝑎0, 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền sóng đã cho

 Trường hợp biên buộc ở đầu 𝑥 = 0 và biên thả dao động tự do ở đầu 𝑥 = 𝑙

Điều kiện biên:

{𝑢(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0𝑢′(𝑙, 𝑡) = 𝑋′(𝑙)𝑇(𝑡) = 0 ∀𝑡 ≥ 0

∀𝑡 ≥ 0

⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0

⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)

Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆

(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥

Điều kiện biên (1.1.9): {

𝑋(0) = 0𝑋′(𝑙) = 0

(2𝑘 + 1)𝜋𝑥2𝑙Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1):

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ [𝐴𝑘cos(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡

2𝑙 + 𝐵𝑘sin

(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡2𝑙 ] sin

2

𝑙 ∫ 𝐹(𝑥) sin(2𝑘 + 1)𝜋𝑥

𝑙 0

Thay 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền sóng đã cho

 Trường hợp biên buộc ở đầu 𝑥 = 𝑙 và biên thả dao động tự do ở đầu 𝑥 = 0

Tính toán tương tự, ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1) là:

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ [𝐴𝑘cos(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡

2𝑙 + 𝐵𝑘sin

(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡2𝑙 ] cos

Từ điều kiện đầu, ta khai triển Fourier tìm được hệ số 𝐴𝑘, 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát,

ta được nghiệm phương trình đã cho

Ta xét bài toán truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức với hàm 𝑔(𝑥, 𝑡), phương trình truyền sóng có dạng:

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 = 𝑎2𝜕

2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑔(𝑥, 𝑡), ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.10) với điều kiện đầu:

⇒ 𝐺𝑘(𝑡) =2

𝑙 ∫ 𝑔(𝑥, 𝑡) sin𝑘𝜋𝑥

𝑙 𝑑𝑥

𝑙 0

Với 𝑔(𝑥, 𝑡) đã cho ở đề bài, ta tính được 𝐺𝑘(𝑡) Khi đó, phương trình (2.1.10) thành:

⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝑇𝑘∗(𝑡) + 𝑇𝑅(𝑡) (2.1.13) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.10) có dạng:

(2.1.14)

Giải (2.1.14), ta tìm được hệ số 𝐴𝑘, 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta thu được nghiệm phương trình (2.1.10)

 Trường hợp hai đầu dây chuyển động theo một quy luật cho trước

Điều kiện biên có dạng:

{𝑢(0, 𝑡) = 𝜑1𝑢(𝑙, 𝑡) = 𝜑2, ∀𝑡 ≥ 0

𝑙 = 𝜑2(𝑡)

⇒ {𝑣|𝑥=0 = 0𝑣|𝑥=𝑙 = 0, ∀𝑡 ≥ 0

Ta đổi biến các số hạng trong (2.1.10):

 Nếu 𝑔1(𝑥, 𝑡) ≠ 0, phương trình trên trở thành phương trình truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức với hai đầu buộc chặt Sử dụng phương pháp tách biến, ta tìm được nghiệm phương trình đã cho

2.1.3 Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt

Phương trình truyền nhiệt là phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả sự biến thiên nhiệt độ trong một miền cho trước theo thời gian Trong phần này, tôi sẽ xét bài toán truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn không chứa nguồn và chứa nguồn

Ta xét một thanh có chiều dài l không chứa nguồn nhiệt Nhiệt độ ban đầu của thanh được cho bởi 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙] Phương trình truyền nhiệt trên thanh có dạng:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) (2.1.17) Phương trình (2.1.16) trở thành:

𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) = 𝑐2𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) (2.1.18) Tương tự như bài toán truyền sóng, hai vế phương trình (2.1.18) bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số 𝜆 sao cho:

𝑋′′(𝑥)𝑋(𝑥) =

Điều kiện biên (2.1.21): {

𝑋(0) = 0𝑋(𝑙) = 0

Giải tìm 𝐶𝑘, thay 𝐶𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt ứng với điều kiện đã cho

 Trường hợp hai đầu cách nhiệt

(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥

Điều kiện biên (2.1.22): {

𝑋′(0) = 0𝑋′(𝑙) = 0

𝑘=1

= 𝑓(𝑥)

⇒{

𝑎0 =2

𝑙 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑙 0

𝐶𝑘 =2

𝑙 ∫ 𝑓(𝑥) cos𝑘𝜋𝑥

𝑙 𝑑𝑥

𝑙 0

Giải tìm 𝑎0 và 𝐶𝑘, sau đó thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt với điều kiện đã cho

 Trường hợp đầu 𝑥 = 0 được cách nhiệt, đầu 𝑥 = 𝑙 được giữ ở nhiệt độ 00𝐶

(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥

Điều kiện biên (2.1.23): {

𝑋′(0) = 0𝑋(𝑙) = 0

Thay 𝐶𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt đã cho

 Trường hợp đầu 𝑥 = 0 được giữ ở 00𝐶 và đầu 𝑥 = 𝑙 cách nhiệt

Làm tương tự trường hợp trên, ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.16):

Ta xét sự truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chiều dài l, chứa hàm nguồn 𝑔(𝑥, 𝑡), phương trình truyền nhiệt có dạng:

𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 𝑎

2𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑔(𝑥, 𝑡), ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀ 𝑡 ≥ 0 (2.1.24) với điều kiện đầu:

⇒ 𝐺𝑘(𝑡) =2

𝑙 ∫ 𝑔(𝑥, 𝑡) sin𝑘𝜋𝑥

𝑙 𝑑𝑥

𝑙 0

Ta tính đạo hàm riêng của u theo t và x:

𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑥) , ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]