Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tintinh thể hỗn độn tt

Lý thuyết: Các trường khả dĩ, các đánh giá và các kết quả tính toán cụ thể cho các mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu đa tinh thể d chiều là mới và tốt hơn so với các đánh giá trước đây.. Đá

ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: GS TSKH Phạm Đức Chính Người hướng dẫn khoa học 2 : TS Lê Hoài Châu

Phản biện 1: GS TS Phạm Chí Vĩnh

Phản biện 2: PGS TS Lã Đức Việt

Phản biện 3: PGS TS Trần Bảo Việt

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến

sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ’, ngày … tháng … năm 2020

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

a Nguyên nhân khách quan

Vật liệu đa tinh thể đang được sử dụng nhiều trong mọi lĩnh vực của đời sống con người Hướng nghiên cứu các hệ số đàn hồi của vật liệu này đã có nhiều kết quả giải tích tiêu biểu: Voigt, Ruess, Hill, Hashin-Strikman, Phạm Đức Chính Tuy nhiên kết quả PTHH chưa nhiều Câu hỏi đặt ra là: những đánh giá trên có phải là tốt nhất, có thể xây dựng các kết quả giải tích tốt hơn, tính toán phần tử hữu hạn (PTHH) cụ thể như thế nào, liệu có khác biệt nhiều so với các kết quả giải tích đã có?…

b Nguyên nhân chủ quan

Đồng nhất hóa vật liệu là hướng nghiên cứu lâu năm của thầy hướng dẫn Phạm Đức Chính cùng nhóm Cơ học Vật liệu với nhiều kết quả công bố NCS đã hoàn thành luận văn thạc sỹ

về đồng nhất hóa hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng

Do đó, NCS chọn đề tài “Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn

hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn” làm luận án nghiên cứu

2 Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu của luận án

a Mục tiêu: tìm ra các đánh giá tốt hơn các đánh giá đã có, đưa

ra được các kết quả so sánh đánh giá giải tích và PTHH cụ thể

b Phương pháp: sử dụng đường hướng năng lượng và áp dụng

đồng thời phương pháp giải tích và phương pháp số

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận án

a Đối tượng: các hệ số đàn hồi vĩ mô của đa tinh thể d chiều

b Phạm vi: Đối với các đánh giá, luận án xét vật liệu đa tinh

thể d chiều; Đối với mô phỏng số, luận án chỉ xét các đa tinh

thể 2D với dạng hình học hexagonal của các tinh thể

4 Những đóng góp mới của luận án

a Lý thuyết: Các trường khả dĩ, các đánh giá và các kết quả

tính toán cụ thể cho các mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu đa tinh

thể d chiều là mới và tốt hơn so với các đánh giá trước đây

b Mô phỏng số: Kết quả và chương trình tính PTHH cho mô

đun đàn hồi của các đa tinh thể square, orthorhombic, tetragonal

với hướng tinh thể hỗn độn là mới

5 Bố cục luận án

Chương 1: Trình bày lịch sử phát triển và phương pháp nghiên

cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể của các tác giả đi trước

Chương 2: Dùng đường hướng biến phân để xây dựng các đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô tổng quát Chương 3: Áp dụng

kết quả Chương 2 cho các lớp đa tinh thể 2D, 3D; Tính toán và

so sánh với các đánh giá V-R, HS, PĐC, SC, luận án và nhận

xét Chương 4: Áp dụng PTHH để mô phỏng các giá trị mô đun

đàn hồi vĩ mô 2D, so sánh với các kết quả đánh giá và nhận xét

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan về vật liệu đa tinh thể

Vật liệu đa tinh thể được cấu tạo từ những đơn tinh thể thường có sắp xếp hỗn độn với hình học không gian xác định

Hình 1.2: Mô hình vật liệu đa tinh thể hỗn độn

1.2 Lịch sử nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể

1.2.1 Sơ lược quá trình phát triển hướng nghiên cứu

Cách tiếp cận phổ biến là sử dụng phương pháp biến phân, các giả thuyết về đẳng hướng thống kê và đối xứng hình học cơ

sở đã giúp thu hẹp các biên đánh giá từ bậc một đến bậc hai và bậc ba Thực nghiệm chỉ ra rằng giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô phân tán gần như thống nhất trong một khoảng so với các đánh giá bậc ba Do đó các đánh giá bậc ba là đánh giá tốt nhất cho tính chất vĩ mô của đa tinh thể cũng như vật liệu tổ hợp

b Đánh giá Hashin- Strikman (đánh giá bậc hai)

HS với nguyên lý biến phân mới và trường phân cực đã xây dựng đánh giá tốt hơn Hill Công thức HS cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng tổng quát khá phức tạp Với cubic, đánh giá HS cho

mô đun khối trên U

HS

 và dướiHS L : 0

c Đánh giá Phạm Đức Chính (đánh giá bậc ba)

Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu và xây dựng trường khả dĩ phân cực tương

tự trường HS, PĐC đã tìm được đánh giá hẹp hơn đánh giá HS nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệuA,B Đánh giá PĐC cho đa tinh thể hạt cầu có dạng đơn giản:

Ưu điểm: tính toán đơn giản, cho kết quả nhanh; Nhược điểm: là

giá trị cho mô hình vật liệu lý tưởng (ít gặp trong thực tế) và có nhiều sai số, nên luận án chỉ sử dụng để tham khảo

1.3 Phương pháp nghiên cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể

1.3.1 Phương pháp giải tích

Giải bài toán thông qua việc tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng trên RVE Cụ thể: chọn các trường thử khả dĩ cho biến dạng và ứng suất, đặt vào các phương trình cơ học, với các ràng

buộc, biến đổi để nhận được các đánh giá Đây là phương pháp truyền thống mà V-R, HS, PĐC sử dụng

1.3.2 Phương pháp số

Dùng phương pháp PTHH với các bước tiến hành cơ bản: gieo hướng tinh thể ngẫu nhiên, chia lưới RVE, thiết lập ma trận độ cứng, các phương trình mô tả cân bằng của vật liệu, áp các điều kiện, giải hệ phương trình để nhận được các chuyển vị nút, biến dạng, ứng suất, từ đó tính các hệ số đàn hồi vĩ mô

1.4 Kết luận chương 1

Việc nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể có ý nghĩa khoa học và thực tiễn cao Các kết quả giải tích rất phát triển, tuy nhiên kết quả PTHH còn ít công bố Vì vậy, NCS sử dụng cả 2 phương pháp giải tích và số để nghiên cứu, đồng thời đưa ra các so sánh và kết luận cụ thể

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ MÔ ĐUN ĐÀN HỒI

VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN D CHIỀU

Chương này sử dụng phương pháp giải tích để xây dựng các đánh giá trên và dưới tổng quát cho mô đun đàn hồi khối và

trượt vĩ mô của đa tinh thể d chiều Những nhận xét cho các

đánh giá mới này được trình bày ở cuối chương

2.1 Cơ sở khoa học

2.1.1 Các hệ số đàn hồi của đơn tinh thể

Các tinh thể là dị dướng với tính chất đàn hồi và thường dùng

ký hiệu Voigt 2 chỉ số C C mn , S S mn , m n, 1, 6 hoặc

Voigt 4 chỉ số C C ijkl , S S ijkl , i j k l, , , 1,d

2.1.2 Các hệ số đàn hồi của đa tinh thể

Xác định các hệ số đàn hồi theo các công thức sau đây

a Định luật Hooke

Trường ứng suất và trường biến dạng có liên hệ:

với ε thỏa mãn phương trình tương thích

c Nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (với σ cân bằng)

Coi RVE có V=1 đơn vị thể tích, vlà tỷ lệ thể tích tương ứng

của miền V V Các tham số thống kê hình học pha bậc ba:

Trường này chỉ có 2 hệ số tự do k0,0, HS biến đổi từ cùng

một trường khả dĩ này để dẫn đến đánh giá trên và dưới Tham

khảo trường HS, phân tách phiếm hàm năng lượng của PĐC,

luận án chọn các trường thử tổng quát d chiều khác nhau cho

đánh giá trên và dưới, cụ thể với đánh giá trên cho k eff :

trong đó: ε là biến dạng thể tích của vật thể; 0 a  aij là các

hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc

Đặt trường biến dạng khả dĩ vào biểu thức năng lượng cực tiểu,

biến đổi ta được:

d d

b b

F i , G i , là các biểu thức liên quan đến thông số của tinh thể.

Tìm cực trị (2.60), tối ưu theo cácaijchịu ràng buộc (2.59), sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta được:

eff Ud 

1 1, , ,

 Chọn max theo f 1 , g 1: đây là 2 thông số thể hiện dạng hình học của đa tinh thể, nên chọn các giá trị làm cho mô đun vĩ mô lớn nhất để làm đánh giá trên

2.2.3 Xây dựng đánh giá dưới mô đun đàn hồi khối

Tương tự, chọn trường khả dĩ tổng quát cho ứng suất:

Đặt trường khả dĩ vào phiếm hàm năng lượng bù cực tiểu, tối

ưu theoaij, b, f 1 , g 1 chịu các ràng buộc tương ứng, ta được đánh giá dưới:

1 1

1 1 ,

2.3 Mô đun đàn hồi trượt vật liệu đa tinh thể d chiều

2.3.1 Xây dựng đánh giá trên mô đun trượt d chiều

Chọn trường thử khả dĩ d chiều cho biến dạng:

0  

1

12

2.3.2 Xây dựng đánh giá dưới mô đun trượt

Chọn trường thử khả dĩ d chiều cho ứng suất:

σ là ứng suất lệch Tương tự ta được đánh giá:

1 1

1 1 ,

đánh giá mới cho các hệ số đàn hồi vĩ mô đa tinh thể d chiều:

 Các đánh giá này phụ thuộc phức tạp vào các thông số hình

học f 1 , g 1 và các hệ số đàn hồi thành phần Cijcủa đơn tinh thể

 Khi không có các thông tin hình học này thì đánh giá của luận án chính là đánh giá V-R Số hạng thứ hai trong các biểu thức đánh giá khiến cho kết quả của luận án tốt hơn

CHƯƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ CHO CÁC ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN TỪ CÁC LỚP ĐỐI

XỨNG TINH THỂ CỤ THỂ

Chương này NCS sẽ áp dụng các công thức đánh giá tổng quát ở chương 2 cho một số đối xứng tinh thể 2D, 3D Sử dụng Matlab tính toán cụ thể cho một số đa tinh thể thực tế và

so sánh với các kết quả đánh giá trước đây Để tiện so sánh, ta dùng tham số phân tán cho mô đun khối S và trượt S k :

3.1 Các đa tinh thể 2 chiều

3.1.1 Đối xứng tinh thể hình chữ nhật (Orthorhombic 2D)

a Đánh giá trên mô đun đàn hồi diện tích

Tính các số hạng trong (2.64) cho orthorhombic 2D ta được:

K K ; b , U f ,1U g và 1U b , L f ,1L g là các giá trị của 1L

các biến (các thông số hình học vật liệu đa tinh thể) đạt được ứng với đánh giá trên và dưới của luận án; so sánh với đánh giá V-R, đánh giá cho tinh thể dạng hình tròn U, L

cir cir

K K nhận được

kết quả trong Bảng 3.2; S k LA, S k cir, S k VR tương ứng là các tham

số phân tán của Luận án, dạng hạt tròn và V-R

Bảng 3.1: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể 2D orthorhombic

Bảng 3.2: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích orthorhombic 2D

Nhận xét Bảng 3.2: Đánh giá mới của luận án luôn nằm trong khoảng đánh giá V-R, chứng tỏ kết quả của luận án

S

(%)

ir

c k

S

(%)

VR k

S

(%)

S(1) 1.9928 2.1365 2.1365 2.1612 2.1612 2.5150

-1.40 0.06 0.51

-0.67

0 0.20

0.57 0.57 11.5

S(2) 1.7604 1.7678 1.7678 1.7680 1.7774 1.7775

-0.52

0 0.41

-0.88 0.01 0.04

0.27 0.01 0.48

U(1) 16.554 16.739 16.7399 16.7489 16.7489 17.022

-1.02 0.16 0.51

-0.97 0.31 0.41

0.03 0.03 1.39

U(2) 12.637 12.643 12.6434 12.64341 12.64341 12.657

-0.05

0 0.31

-1.25 0.16 0.14

5 4.10 4.105 0.08

3.1.2 Đối xứng tinh thể hình vuông (Square)

a Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích

12

Bảng 3.3: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích square

Bảng 3.4: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt square

Nhận xét Bảng 3.3, 3.4: Mô đun trượt cho đối xứng square của luận án tốt hơn so với V-R, HS, còn mô đun

đàn hồi diện tích trùng nhau chứng tỏ kết quả luận án hoàn toàn hợp lý

3.1.3 Tinh thể hình chữ nhật đáy vuông (Tetragonal 2D)

a Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích

0 0

b Đánh giá mô đun đàn hồi trượt

11 22 0

Bảng 3.5: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể tetragonal 2D

Bảng 3.6: Kết quả mô đun đàn hồi diện tích tetragonal 2D

Bảng 3.7: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt tetragonal 2D

3.2 Các đa tinh thể 3 chiều

Tính toán tương tự cho tetragonal 3D, ta được các kết quả sau

3.2.1 Mô đun đàn hồi thể tích

Bảng 3.8: Các hệ số đàn hồi một số đa tinh thể tetragonal 3D

Bảng 3.9: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi thể tích tetragonal 3D

Bảng 3.10: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt tetragonal 3D

Nhận xét Bảng 3.9 và 3.10: Tương tự, kết quả cho tetagonal 3D của luận án cũng tốt hơn V-R, HS, ngoài ra

khi f =g =0: các đánh giá mới của luận án trùng với PĐC, chứng tỏ kết quả này hoàn toàn phù hợp

3.3 Kết luận chương 3

Áp dụng các công thức xây dựng ở chương 2, NCS đã đạt được:

 Xác định các công thức đánh giá cụ thể cho một số đối xứng 2D, 3D; Tính toán số cho một số vật liệu đa tinh thể thực tế và

so sánh với các đánh giá V-R, HS, PĐC, SC

 Kết quả luận án hợp lý và tốt hơn các đánh giá đã có

CHƯƠNG 4: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PTHH VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH

ĐA TINH THỂ CỤ THỂ

Chương này sử dụng phương pháp PTHH để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô của đa tinh thể 2D, tính toán cho một số đối xứng tinh thể cụ thể và so sánh với các kết quả đánh giá của V-R, HS, giá trị SC, đánh giá mới của luận án

e Trong hệ tọa độ cơ sở của tinh thể, theo định luật Hooke ta có:

eff:



4.2 Quy trình tính toán PTHH

4.2.1 Chia lưới phần tử đặc trưng

Ký hiệu kích thước RVE là nxn, kích thước lưới là mxm (n: số tinh thể hexagonal trên mỗi chiều của RVE, m: số phần tử trên

mỗi chiều của tinh thể hexagonal,m8); Phần tử lưới là hình

tứ giác, mỗi phần tử có 4 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do Như vậy, RVE 4 4 có 8 8    4 4 1.024 phần tử tứ giác, RVE

64 64 có 8 8  64 64 262.144 phần tử tứ giác, đây là

1 con số không hề nhỏ, nên quá trình tính toán yêu cầu thời gian

và tài nguyên máy tính lớn

RVE 4x4 RVE 8x8 RVE 16x16 RVE 32x32 RVE 64x64

Hình 4.1: Kích thước RVE

4.2.2 Xác định các ma trận, véc tơ

RVE chia thànhN e phần tử tứ giác với R điểm nút, mỗi phần tử

có r điểm nút, mỗi nút có s bậc tự do Để tính các hệ số đàn hồi,

chọn chuyển vị là ẩn, ứng suất và biến dạng sẽ được xác định sau khi biết chuyển vị tại các nút Gọi  q là chuyển vị nút

4.2.3 Xác định các giá trị mô đun đàn hồi

Đặt tải trọng trung bình, từ (4.3) tính được mô đun đàn hồi thể tích và mô đun trượt tương ứng:

Gắn mỗi tinh thể với 1 góc quay φ, ( 0  2 ) Trong

chương trình tính, chọn lệnh “random” cho góc φ để đảm bảo tính hỗn độn về hướng của tinh thể Ứng với mỗi góc φ sẽ tính

ra một giá trị của mô đun đàn hồi Điều kiện biên tuần hoàn của bài toán:

    0  

d là khoảng cách biên giữa 2 phần tử liền kề, U là chuyển vị của

phần tử

4.3 Áp dụng cho đối xứng tinh thể cụ thể

Tính toán cho các tinh thể orthorhombic 2D, square, tetragonal 2D với dạng hình học hexagonal đã xét trong chương 3

4.4.2 Các kết quả cho đối xứng tinh thể orthorhombic 2D

Hình 4.6: Kết quả mô đun đàn

 Kết quả PTHH rải rác quanh các giá trị giải tích V-R, HS,

SC, luận án, chứng tỏ kết quả PTHH hoàn toàn phù hợp

 Khi số mẫu thử càng lớn thì các giá trị PTHH có xu hướng tập trung quanh các giá trị giải tích, tức là khi tăng số hướng tinh thể thì tính chất vĩ mô của đa tinh thể được thể hiện rõ hơn, điều này hợp lý với lý thuyết cơ bản của đồng nhất hóa vật liệu

 Khi RVE tăng thì các kết quả PTHH tiến dần đến và nằm trong khoảng đánh giá tốt hơn Như vậy kết quả PTHH của luận

án hội tụ và đạt độ chính xác cao hơn khi tăng RVE, điều này hoàn toàn hợp lý với lý thuyết mô phỏng số nói chung Tuy nhiên vấn đề thời gian và cấu hình máy tính là trở ngại lớn

 Những tinh thể có tham số phân tán lớn thì tốc độ hội tụ nhanh hơn các tinh thể có tham số phân tán nhỏ

 Khi xét mối liên quan giữa kích thước RVE hội tụ với tham

số phân tán ta nên so sánh các tinh thể trong cùng tính chất đàn hồi (các giá trị tham số phân tán mô đun diện tích so với nhau, tham số trượt so với nhau)

4.5 Kết luận chương 4

Sử dụng phương pháp PTHH để mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn 2D và so sánh với các kết quả giải tích, nhận được kết quả PTHH hội tụ đến đánh giá của luận án với RVE 64x64 tinh thể; Phương pháp số luận án sử dụng không mới, nhưng cách tiếp cận tính toán cho các mô đun đàn hồi vĩ mô cụ thể của luận án là mới, có thể được sử dụng để mô phỏng các tinh thể hỗn độn khác, đồng thời có thể kiểm tra và xác định giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô tốt hơn

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO

Tiếp cận bài toán bằng nguyên lý biến phân và sử dụng cả phương pháp giải tích và phương pháp số, luận án đã đạt được:

1 Kết quả đánh giá các hệ số đàn hồi

 Xây dựng được các công thức đánh giá tổng quát cho các hệ

số đàn hồi vĩ mô đa tinh thể hỗn độn d chiều Điểm mới của

luận án là đã đưa vào các thông tin hình học pha vật liệu và chọn trường thử khả dĩ tổng quát hơn trường phân cực HS