Giáo trình TOÁN TÀI CHÍNH CHƯƠNG 1 LÃI ĐƠN

Giá trị của tiền tệ theo thời gian là một khái niệm cơ bản trong tài chính. Một khoản tiền được gửi vào ngân hàng hôm nay, sau một thời gian sau sẽ tạo nên một số tiền tích luỹ cao hơn số tiền bỏ ra ban đầu. Sự thay đổi số lượng tiền sau một thời gian nào đó biểu hiện giá trị theo thời gian của tiền tệ. Ý nghĩa của tiền phải được xem xét trên hai khía cạnh: số lượng và thời gian. Giá trị của đồng tiền theo thời gian được biểu hiện qua lợi tức và tỷ suất lợi tức (lãi suất). Các khái niệm cơ bản này sẽ được trình bày trong chương 1 bên cạnh phương thức tính lợi tức theo lãi đơn, chương 1 cũng cung cấp các kiến thức về các loại lãi suất (lãi suất trung bình, lãi suất tương đương, lãi suất thực tế).

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH

ThS NGUYỄN NGỌC MAI

GIÁO TRÌNH

TOÁN TÀI CHÍNH

Tp Hồ Chí Minh, năm 2017

CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN

Mục tiêu của chương:

Giá trị của tiền tệ theo thời gian là một khái niệm cơ bản trong tài chính Một khoản tiền được gửi vào ngân hàng hôm nay, sau một thời gian sau sẽ tạo nên một

số tiền tích luỹ cao hơn số tiền bỏ ra ban đầu Sự thay đổi số lượng tiền sau một thời gian nào đó biểu hiện giá trị theo thời gian của tiền tệ Ý nghĩa của tiền phải được xem xét trên hai khía cạnh: số lượng và thời gian

Giá trị của đồng tiền theo thời gian được biểu hiện qua lợi tức và tỷ suất lợi tức (lãi suất) Các khái niệm cơ bản này sẽ được trình bày trong chương 1 bên cạnh phương thức tính lợi tức theo lãi đơn, chương 1 cũng cung cấp các kiến thức về các loại lãi suất (lãi suất trung bình, lãi suất tương đương, lãi suất thực tế)

1 TỔNG QUAN

1.1 Lợi tức (Lãi):

Lợi tức là một khái niệm được xem xét dưới hai góc độ khác nhau: góc độ của người cho vay và của người đi vay

- Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức là số tiền tăng thêm

trên số vốn đầu tư ban đầu trong một khoảng thời gian nhất định Khi nhà đầu tư đem đầu tư một khoản vốn, nhà đầu tư sẽ thu được một giá trị trong tương lai lớn hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản chênh lệch này được gọi là lợi tức

- Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người

đi vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định Trong thời gian cho vay, người cho vay có thể gặp phải những rủi ro như: người vay không trả lãi hoặc không hoàn trả vốn vay Những rủi ro này sẽ ảnh hưởng đến mức lợi tức mà người cho vay dự kiến trong tương lai

Khoản tiền đi vay (hay bỏ ra để cho vay) ban đầu gọi là vốn gốc Số tiền nhận được từ khoản vốn gốc sau một khoản thời gian nhất định gọi là giá trị tích luỹ

Lợi tức là số tiền chênh lệch giữa vốn gốc ban đầu và vốn thu hồi khi kết thúc quá trình đầu tư

1.2 Tỷ suất lợi tức – Lãi suất (Interest Rate): Là tỷ suất lợi tức nhận được (phải trả) so với vốn cho vay (đi vay) trong một đơn vị thời gian

Đơn vị thời gian có thể là năm, quý, tháng, ngày

Lãi suất có thể được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số thập phân

2 LÃI ĐƠN

2.1 Khái niệm lãi đơn: Lãi đơn là tiền lãi chỉ tính trên số vốn vay hoặc vốn gốc ban đầu trong suốt thời gian vay

Trong khái niệm này, chỉ có vốn phát sinh lãi

2.2 Công thức tính lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn:

Ta đưa vào sử dụng vốn với mong muốn đạt được lãi suất i%/kỳ trong thời gian n kỳ

Trong vòng n năm, giá trị đạt được theo lãi đơn sẽ là:

V  V 1+ni )

Nếu gọi là lợi tức đạt được theo lãi đơn (hay gọi tắt là lãi đơn) Khi đó:

I =V  V  V ni

Như vậy: Lãi đơn = Vốn đầu tư ban đầu  Lãi suất  Thời hạn

Lưu ý:

Trong công thức này giữa lãi suất và thời hạn phải có sự thống nhất về kì hạn Nếu lãi suất và thời hạn vay không cùng 1 đơn vị, chúng ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng được công thức trên

Cụ thể:

 Lãi suất i tính theo năm:

 Thời hạn vay tính theo năm: IĐ V ni0

 Thời hạn vay tính theo tháng 0

Đ

2

V ni I

1



 Thời hạn vay tính theo ngày: 0

Đ

V n 0

i I

36



 Lãi suất i tính theo tháng, Thời hạn vay tính theo ngày: 0

Đ

0

V ni I

3



Ví dụ 1: Một người gửi Ngân hàng 50 triệu đồng, lãi suất 7,2%/năm, từ ngày 15/01 đến ngày 16/07 Xác định lợi tức người đó đạt được

Bài giải:

Ta có: n = 182 ngày

Lợi tức đạt được là 0

Đ

50 *182 * 7, 2%

V n

1,82

360 360

i

Ví dụ 2: Hãy tính lãi cho các khoản vay sau

Số thứ tự khoản vay Số tiền cho vay

Biết lãi suất 9 %/năm

Bài giải:

Tiền lãi được tính theo công thức: 0

Đ

V n 0

i I

36



 Tiền lãi khoản vay thứ nhất:

Đ1

100 *152 * 9%

3,8 36

I

0

  triệu đồng

 Tiền lãi khoản vay thứ hai:

Đ2

50 * 238* 9%

2,9875 360

 Tiền lãi khoản vay thứ ba:

Đ3

300 * 269 * 9%

20,175 360

3 LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG

Hai mức lãi suất nào đó được gọi là tương đương khi chúng sinh ra hai mức lợi tức như nhau khi đầu tư cùng một số vốn ban đầu và trong 1 thời hạn nhất định

Theo định nghĩa trên, lãi suất %/tháng được gọi là tương đương với lãi suất i%/năm khi:

m

i i 12

 Tương tự lãi suất %/tháng được gọi là tương đương với lãi suất i%/năm khi:

m

i i 4



Một cách tổng quát, nếu i là lãi suất năm, iklà lãi suất kỳ tương đương với lãi suất năm thì:

k

i i k

 (k: số kỳ trong năm)

4 LÃI SUẤT TRUNG BÌNH

Trong quá trình đầu tư, nhà đầu tư có thể đạt được các mức lãi suất khác nhau trong những thời gian hoàn toàn khác nhau Do đó, cần phải tìm mức lãi suất trung bình để xác định giá trị đạt được vào cuối thời gian đầu tư một cách nhanh chóng

Lãi suất trung bình là lãi suất thay thế cho các mức lãi suất khác nhau trong những giai đoạn khác nhau sao cho giá trị đạt được hoặc lợi tức có được là như nhau

Giả sử có 1 khoản vốn được đầu tư trong khoảng thời gian n ngày, nhưng với các lãi suất biến đổi như sau:

 /kỳ trong thời gian kỳ

 /kỳ trong thời gian kỳ



 Tổng quát /kỳ trong thời gian kỳ

Ta gọi là lãi suất trung bình thì:

Ví dụ 1: Ông Chí Phèo đầu tư 100 triệu đồng đầu tư trong 125 ngày Trong

50 ngày đầu tiên, khoản vốn này sinh lợi 8%/năm, và thời gian còn lại sinh lời 10%/năm Hãy tính tỷ suất lợi tức trung bình của khoản vốn đầu tư này

Bài giải:

Áp dụng công thức:

/năm

Vậy tỷ suất lợi tức trung bình của khoản vốn đầu tư này là /năm

Ví dụ 2: Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu đồng với lãi suất thay

đổi như sau:

 8%/năm trong 6 tháng đầu

 10%/năm trong 3 tháng tiếp theo

 12%/năm trong 4 tháng cuối cùng

Hãy xác định:

a Lãi suất trung bình của số vốn vay trên

b Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đến hạn

Bài giải:

a Lãi suất trung bình của số vốn vay:

Áp dụng công thức:

Vậy lãi suất trung bình của số vốn vay trên là 9,46%/năm

b Tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đến hạn:

Áp dụng công thức tính lãi đơn, ta có:

=100.000.000(1+13/12*9,46%)=110.248.333 đồng

Vậy tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đến hạn là 110.248.333 đồng

5 LÃI SUẤT THỰC

Lãi suất thực là mức lãi suất thực tế mà người đi vay (hay cho vay) phải trả (hay được nhận) để sử dụng (hay từ việc giao quyền sử dụng) một khoản vốn vay (cho vay) trong một thời hạn nhất định

Nếu ta gọi:

 : là lãi suất thực

 : là chi phí vay

 : là vốn thực tế sử dụng

(nếu lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn vay) Khi đó:

Ví dụ 1: Hãy tính toán giúp Chí Phèo lựa chọn một trong hai phương án gởi

tiền vào ngân hàng như sau:

a Gởi tiết kiệm kì hạn 1 năm, lãi suất 0,7%/tháng, lãi nhận khi đáo hạn

b Mua kì phiếu ngân hàng, lãi trả ngay khi gởi với kì hạn 1 năm và lãi suất

8%/năm

Bài giải:

a Do gởi tiết kiệm nhận lãi khi đáo hạn nên lãi suất thực là 0,7%/tháng, như vậy lãi suất 12 tháng= 8,4%/năm

b Mua kì phiếu trả lãi trước 8%/năm Ngay khi Chí Phèo gởi, cùng lúc đó anh ta nhận được 8%X, thực tế anh ta chỉ gởi vào ngân hàng 92%X Nhưng đến cuối năm nhận được X Tức là tiền lời 8% tính trên giá trị cuối khi đáo hạn Lãi suất thực:

= 8%X/(100%X - 8%X) = 8,7%/năm

Do vậy, Chí Phèo nên chọn mua kì phiếu tại ngân hàng

Ví dụ 2:

Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng với các điều kiện sau:

 Lãi suất: 9,6%/năm

 Phí hồ sơ: 200.000 đồng

 Các khoản chi phí khác: 0,2% vốn gốc

Xác định lãi suất thực của khoản vay trên trong điều kiện sau:

 Thời gian vay là 1 năm

 Thời gian vay là 4 tháng

Nếu trong hợp đồng vay quy định người đi vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất thực sẽ thay đổi như thế nào?

Bài giải:

- Nếu lợi tức trả vào cuối kỳ:

 Trường hợp vay trong 1 năm:

Lợi tức phải trả 200.000.000 x 9,6% = 19.200.000 đồng

Các khoản chi phí khác 200.000.000 x 0,2% = 400.000 đồng Vốn thực ban đầu thực nhận sử

dụng

200.000.000 – 600.000 = 199.400.000

đồng

Ta có lãi suất thực: = 219.200.000/199.400.000 – 1 = 9,93%/năm

 Trường hợp vay trong 4 tháng:

Lợi tức phải trả 200.000.000 x 4/12 x 9,6% = 6.400.000

đồng

Các khoản chi phí khác 200.000.000 x 0,2% = 400.000 đồng

Vốn thực sử dụng 200.000.000 – 600.000 = 199.400.000

đồng

Ta có lãi suất thực: = 206.400.000/199.400.000 – 1 =3,51%/4tháng= 10,53%/năm

Như thế, thời gian càng ngắn, lãi suất thực càng tăng theo gánh nặng của các khoản chi phí cố định

- Nếu lợi tức trả vào đầu kỳ:

 Trường hợp vay trong 1 năm:

Vốn thực sử dụng: 200.000.000 – 19.800.000 = 180.200.000 đồng Giá trị phải trả cuối kỳ: 200.000.000 đồng

Lãi suất thực: = 200.000.000/180.200.000– 1 =10,99%/năm

 Trường hợp vay trong 4 tháng:

Vốn thực sử dụng: 200.000.000 – 7.000.000 = 193.000.000 đồng Giá trị phải trả cuối kỳ: 200.000.000 đồng

Lãi suất thực: = 200.000.000/193.000.000 – 1=3,63%/(4 tháng)~ Lãi suất 10,88%/năm

Trường hợp lãi vay phải trả ngay khi nhận vốn, lãi suất thực sẽ cao hơn trường hợp lãi vay trả vào cuối kỳ

BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài 1

a Cô Thị Nở cho vay 250 triệu đồng, lãi suất 10%/năm trong thời gian từ ngày 1/5/2013 đến 15/09/2013 Tính khoản lãi mà cô Thị Nở thu được

b Anh Chí Phèo gửi Ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng Xác định số tiền mà anh Chí Phèo nhận được vào ngày đến hạn

Bài 2 Ông An gửi vào ngân hàng 550 triệu đồng từ ngày 20/04/2013 đến

ngày 31/08/2013 thì thu được một khoản lợi tức là 14.630.000 đồng Xác định lãi suất tiền gửi

Bài 3 Ngày 01/06/2013, Công ty A vay của Ngân hàng 400.000.000 đồng

với lãi suất là 10%/năm Khi đáo hạn, Công ty phải trả 408.000.000 đồng Biết rằng Ngân hàng áp dụng phương pháp tính lãi đơn, hãy xác định ngày đáo hạn của khoản vay trên

Bài 4 Công ty B vay ngân hàng một số tiền từ ngày 20/04/2013 đến ngày

15/07/2013 với lãi suất 9%/năm Khi đáo hạn, công ty phải trả cả vốn lẫn lãi là 265.590.000 đồng Tính số tiền công ty đã vay

Bài 5 Một công ty vay ngân hàng 450 triệu đồng từ ngày 01/08/2013 đến

ngày 12/10/2013 Tính lợi tức mà công ty phải trả cho ngân hàng với lãi suất:

- Lãi suất 9,36%/năm

- Lãi suất 0,8%/tháng

Bài 6 Ông A gởi 1 khoản tiền 100 triệu ngày gởi 15/1/2001 theo loại hình

tiền gởi tiết kiệm kì hạn 3 tháng, lãi suất 0,65 % tháng

Tính tiền lãi mà Ông A nhận được

a Nếu rút tiền vào ngày 15/4/2001

b Nếu rút tiền vào ngày 15/7/2001

c Nếu rút tiền vào ngày 20/8/2001

Biết rằng nếu rút vốn trước hạn ngân hàng vẫn cho pháp với điều kiện chỉ được hưởng tiền lãi theo lãi suất không kì hạn hiện hành là 0,25% tháng

Bài 7 Ngân hàng ABC công bố mức lãi suất tiết kiệm loại kì hạn 6 tháng là

1%/tháng, trả lãi đầu kì Trong khi đó, ngân hàng BMN lại có mức lãi suất là 12,6%/năm nhưng trả lãi cuối kì Hãy tư vấn cho người gởi tiền gởi vào NH nào có lợi hơn?

Bài 8 Ngân hàng cho vay 1 số tiền 300 triệu đồng Tính lãi đơn với các mức

lãi suất thay đổi như sau:

- 12%/năm từ 20/05 đến 31/07

- 10%/năm từ 31/07 đến 18/09

- 15%/năm từ 18/09 đến 30/11

Yêu cầu: Tính lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay nêu trên và tổng lãi thu được vào ngày đáo hạn

Bài 9 Một người cho vay 1 số tiền 300 triệu đồng Tính lãi đơn với các mức

lãi suất thay đổi như sau:

- 10%/năm từ ngày 01/02/2013 đến ngày 06/04/2013

- 11%/năm từ ngày 07/04/2013 đến ngày 20/06/2013

- 10,5%/năm từ ngày 21/06/2013 đến ngày 28/07/2013

- 9%/năm từ ngày 29/07/2013 đến ngày 15/09/2013

Xác định mức lãi suất trung bình của vốn cho vay trên và tổng lợi tức mà ngân hàng thu được

Bài 10 Ngân hàng cho vay một khoản tiền với các mức lãi suất thay đổi như

sau:

- 1%/tháng trong 68 ngày

- 1,1%/tháng trong 112 ngày

- 1,2%/tháng trong 45 ngày

Khi đáo hạn, ngân hàng thu được 1 khoản lợi tức là 24.525.000 đồng.Hãy xác định số tiền mà ngân hàng đã cho vay

Bài 11 Tính tổng lợi tức thu được từ các khoản cho vay sau:

Vốn vay (triệu

đồng)

Bài 12 Tính tổng lợi tức đạt được từ các khoản cho vay sau:

Với lãi suất:

a 9%/năm

b 0,8%/tháng

Bài 13 Một người đi vay 80 triệu đồng từ ngày 15/04 đến ngày 16/08 với lãi

suất 0,8%/tháng Nếu lợi tức phải trả ngay khi nhận được vốn, hãy tính lãi suất thực

mà người đó phải gánh chịu

Bài 14 Công ty BM vay ngân hàng 2.500 triệu đồng, lãi suất 13%/năm, chi

phí phải trả ngay khi vay là 0,2% trên vốn gốc, thời hạn vay là 6 tháng

Hãy tính lãi suất thực mà công ty phải chịu khi trả lãi ngay cho ngân hàng khi vay vốn

Bài 15 Doanh nghiệp HP vay ngắn hạn 20 triệu đồng với các điều kiện sau:

- Lãi suất ngân hàng: 12%/năm

- Phí mua và hoàn tất hồ sơ: 150 ngàn đồng

- Các phí khác tỷ lệ với vốn vay: 0,16%

Xác định lãi suất thực của đợt vay trong thời gian:

a Một năm

b 120 ngày

Bài 16 Một người đi vay một số tiền 240 triệu đồng trong 5 tháng với lãi

suất 10%/năm Lệ phí vay 1 triệu đồng, Nếu lợi tức được trả ngay khi vay, hãy xác định lãi suât thực mà người đó phải chịu

Bài 17 Một người vay ngân hàng 120 triệu đồng trong 8 tháng, lãi suất

8,4% Chi phí vay bằng 0,5% vốn gốc Hãy xác định lãi suất thực trong hai trường hợp:

- Lợi tức được trả khi đáo hạn

- Lợi tức được trả ngay khi nhận vốn